1、1第八章第八章 小波图像编码小波图像编码 23主要内容主要内容45一维连续小波一维连续小波给定给定)()(2RLx)()(2/1,abxbaax0,abaR6一维连续小波变换一维连续小波变换CWTCWT设设|a|-1/2规范化因子，可使规范化因子，可使ba,是连续小波是连续小波 RLxf2)(dxabxxfabafWR)(,)(21记记bafbafW,)(则函数则函数的连续小波变换：的连续小波变换：22,|ba7基小波或允许小波基小波或允许小波设设则则 为一个基小波或允许小波。为一个基小波或允许小波。是连续小波且满足容许性条件：是连续小波且满足容许性条件：)()(2RLx dCR2)()(x8
2、允许小波的性质允许小波的性质1 1小波逆变换存在性小波逆变换存在性且有且有 2)(),)(|11)(,2RbadadbxbafWaCxf2,),)(),)(2RgfCdbadabagWbafW)(x)()(),(2RLxgxf9允许小波的性质允许小波的性质RRdadbbafWaCffdxxf22212),)(1,)()(x)()(2RLxf10允许小波的性质允许小波的性质npdxxxRp,2,10)(p=1可可直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式成立的成立的n越大越好越大越好.)(x11小波变换的性质小波变换的性质),)()(),)()(ba
3、gWxgbafWxf),)(),)()()(2121bafWkbafWkxgkxfk12小波变换的性质小波变换的性质如果如果),)()(bafWxf),)()(00 xbafWxxf13小波变换的性质小波变换的性质如果如果),)()(bafWxf0),)()(bafWxf14小波变换的性质小波变换的性质对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。（1 1）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说，）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而信号的小波
4、变换与小波重构不存在一一对应关系，而FourierFourier变换与反变换与反FourierFourier变换是一一对应的。变换是一一对应的。（2 2）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交小波、正交小波、双正交小波小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。甚至允许是彼此线性相关的）。1516离散小波离散小波取一个合理的值取一个合理的值a0，使尺度因子只取使尺度因子只取a0的的整数幂，即整数幂，即,10201000jaaaa a0jaa000bkabj0,100ba002/0,)(00kbxaaxjjkba
5、jZjk,17离散小波变换离散小波变换RkbakbajdxxxffkbafWjj)()(,),)(0000,00Zjk,18离散小波变换离散小波变换a02 2 j2 2 j 2 2 j2 2 j kxxjjkj22)(2/,kjfkjfW,),)(19框架理论框架理论 HJjjBA0H)(xf222,fBffAJjjJjj22,fAfJjj20框架理论框架理论 JjjfTffTjj,)(:BITTAI*I I恒等算子恒等算子 21框架理论框架理论 JjjJjTTjj,)*(1JjjJjjJjj22框架理论框架理论 1)*(TTTTJjjTTITT*JjJjjjjjfff,2324多分辨率分析多
6、分辨率分析 则空间集合称为依尺度函数则空间集合称为依尺度函数 的多分辨率分析的多分辨率分析)(2RL若下列条件成立：若下列条件成立：(1)(1)嵌套性：嵌套性：(2)(2)稠密性：稠密性：(3)(3)分立性分立性:(4)(4)尺度性尺度性:(5)(5)RieszRiesz基存在性基存在性:2,1,0,1,2,jVj中一系列嵌套函数子空间序列中一系列嵌套函数子空间序列 1jjVV RLVUjzj2 0jzjV0)2()(VxfVxfjj0Vzkkx,构成构成V0的的RieszRiesz基基 且且25小波分解和重建小波分解和重建 1012)(WWWWLkzkR )()()()()(101xgxgx
7、gxgxfZkkVk一个多分辨分析一个多分辨分析,Wk 是是Vk关于关于Vk+1的补空间的补空间 对对 RLxf2)(kkWg 26小波分解和重建小波分解和重建kkVxf)()()()(21xgxgxfkkk)()()(11xfxgxfkkk nxpxznn2 znnnxqx227小波分解和重建小波分解和重建Znnnnxbnxax)()()2(22Znnnnxbnxax)()()12(21212,1,0)()()2(22lnxbnxalxZnnlnl28小波分解和重建小波分解和重建kkVxf)(kkWg)2(),2(jxjxkk)2()()(jxkcxfkZjjk)2()()(jxkdxgkZ
8、jjk(a)29小波分解和重建小波分解和重建lklklxkcxf)2()1()(11lnknlknllnxbnxakc)2()2()1(22 nlklnlnlklnlnxkcbnxkca)2()1()2()1(22将将a a式代入式代入)()()(1xgxfxfkkk得得:)2()()2()()(1nxkdnxkcxfknnknnk nlklnlnlklnlnxkcbnxkca)2()1()2()1(2230小波分解和重建小波分解和重建由于：由于：，线性无关线性无关得分解算法得分解算法:，,nk,nk)1()()1()(22kcbkdkcakcllnlnllnln31小波分解和重建小波分解和重
9、建)2()()2()()()(lxkdlxkcxgxfkllkllkklnlnknlknlnlxqkdnlxpkc)22()()22()(11nlklnllnlnxqkdpkc)2()()(122)()()2()1()(11xgxfnxkcxfkknknk32小波分解和重建小波分解和重建由于：由于：，线性无关线性无关得重构算法得重构算法:,nk,nklllnlllnnkdqkcpkc)()()1(223334常用小波函数介绍常用小波函数介绍 n（1 1）HarrHarr小波小波 它其012112101)(xxxH01)(xH其它10 x35常用小波函数介绍常用小波函数介绍 （2 2）Daube
10、chiesDaubechies（db dbN N)小波系小波系 36常用小波函数介绍常用小波函数介绍 （3 3）SymltesSymltes（symNsymN）小波系小波系 37常用小波函数介绍常用小波函数介绍 （4 4）Coiflet(coifN)Coiflet(coifN)小波族小波族 38常用小波函数介绍常用小波函数介绍 （4 4）BiorthogonalBiorthogonal（biorNr.NdbiorNr.Nd）双正交小波系双正交小波系 39常用小波函数介绍常用小波函数介绍 （4 4）BiorthogonalBiorthogonal（biorNr.NdbiorNr.Nd）双正交小波
11、系双正交小波系 40与小波函数有关的与小波函数有关的MatlabMatlab函数函数 WAVEINFO WAVEINFO函数：函数：提供小波工具箱中所有小波信息。提供小波工具箱中所有小波信息。WAVEFUN函数：函数：返回一维小波的小波函数和尺度函数（如果尺度函返回一维小波的小波函数和尺度函数（如果尺度函数存在的情况下）的近似值。数存在的情况下）的近似值。WFILTERS函数：函数：返回指定小波的分解和重构滤波器返回指定小波的分解和重构滤波器 41与小波函数有关的与小波函数有关的MatlabMatlab函数函数 waveinfo(db);%显示显示db系小波信息系小波信息phi,psi,xva
12、l=wavefun(db2,10);%得到得到db2的尺度函数和小波函数的尺度函数和小波函数subplot(242);plot(xval,phi,k);%显示尺度函数显示尺度函数axis(0 3-0.5 1.5);axis square;title(db2 尺度函数尺度函数);subplot(243);plot(xval,psi,k);%显示小波函数显示小波函数axis(0 3-1.5 1.5);axis square;title(db2 小波函数小波函数);lo_d,hi_d,lo_r,hi_r=wfilters(db2);%得到得到db2的相关滤波器的相关滤波器subplot(245);s
13、tem(lo_d,ok);title(db2 分解低通滤波器分解低通滤波器);subplot(246);stem(hi_d,ok)；title(db2 分解高通滤波器分解高通滤波器);subplot(247);stem(lo_r,ok);title(db2 重构低通滤波器重构低通滤波器);subplot(248);stem(hi_r,ok);title(db2 重构高通滤波器重构高通滤波器);42与小波函数有关的与小波函数有关的MatlabMatlab函数函数 4344数字图像的小波分解数字图像的小波分解ZjjV11jjjVVVZjjV1)(2RL),(yx),(yxH),(yxV),(yxD
14、45数字图像的小波分解数字图像的小波分解)()(),(yxyx)()(),(yxyxH)()(),(yxyxV)()(),(yxyxDHVD46数字图像的小波分解数字图像的小波分解)()()2,2(2),(,2/,yxnymxyxnjmjjjjnmj)()()2,2(2),2/(,yxnymxyxnjmjjjHjnmjH)()()2,2(2),2/(,yxnymxyxnjmjjjVjnmjV)()()2,2(2),2/(,yxnymxyxnjmjjjDjnmjD47数字图像的小波分解数字图像的小波分解jlnmkInjmlInmkjlnmknjmlnmkcbdcac,;12,2,;,;12,2,
15、;48数字图像的小波分解数字图像的小波分解49数字图像的小波分解数字图像的小波分解50数字图像的重构数字图像的重构)(,;,312,2,;2,2,1ijlkjliijnlmjlkjnlmnmkdqcpc令重构序列为Lo_R和Hi_R 51数字图像的分解数字图像的分解其Matlab程序如下：I=imread(cameraman.tif,tif);%读入并显示原始图像figure(1)；subplot(121);imshow(I);ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(I,db2);%用db2小波对图像进行一层小波解I2=ca1,ch1*4;cv1*4,cd1*4;%组成变换后的矩阵%图像不能
16、反映实际情况，要作一些处理。min=min(I2(:);max=max(I2(:);subplot(122);imshow(I2,min,max);%显示变换后近似和细节图像X=idwt2(ca1,ch1,cv1,cd1,db2);%用idwt2作反变换rmes=compare(I,X)%反变换结果与原始图像比较52数字图像的分解数字图像的分解53数字图像的分解数字图像的分解54数字图像的分解数字图像的分解55小波基的选择小波基的选择 56小波基的选择小波基的选择 2/nh2/nhN0133445/6419/64-1/8-3/643/1281/21/4 57小波基的选择小波基的选择 2/nh2
17、/nhN013340.6029490.266864-0.078223-0.0168640.0267490.5575430.295636-0.028772-0.045636058小波基的选择小波基的选择 2/nh2/nhN013340.60.25-0.050017/2873/280-3/56-3/280059小波基的选择小波基的选择 2/nh2/nhN013340.6029490.266864-0.078223-0.0168640.0267491.11510.59127-0.057544-0.091272060小波变换域小波系数分析小波变换域小波系数分析 2,1jijifMNenergy61小波
18、变换域小波系数分析小波变换域小波系数分析 2.2.小波变换系数分析小波变换系数分析 62小波变换域小波系数分析小波变换域小波系数分析 2.2.小波变换系数分析小波变换系数分析 63小波变换域小波系数分析小波变换域小波系数分析 64小波变换域小波系数分析小波变换域小波系数分析 65直接阈值编码法直接阈值编码法 0),(),(jiCjiC),(),(jiCjiC66直接阈值编码法直接阈值编码法 67直接阈值编码法直接阈值编码法68基于小波树结构的矢量量化法基于小波树结构的矢量量化法 69基于小波树结构的矢量量化法基于小波树结构的矢量量化法 70基于小波树结构的矢量量化法基于小波树结构的矢量量化法
19、71嵌入式小波零树编码嵌入式小波零树编码 72嵌入式小波零树编码嵌入式小波零树编码 73嵌入式小波零树编码嵌入式小波零树编码 74嵌入式小波零树编码嵌入式小波零树编码 （2 2）逐次逼近量化）逐次逼近量化 75嵌入式小波零树编码嵌入式小波零树编码 简单例子简单例子 63-34 4910713-12 7-31 2314-13 346-115143-12 5-739-9-7-14 84-232-59-14746-2230-323-2042-36-436365115603-4476嵌入式小波零树编码嵌入式小波零树编码 简单例子简单例子 子带子带系数值系数值符号符号重构值重构值子带子带系数值系数值符号
20、符号重构值重构值LL363POS48LH2-9ZTR0HL3-34NEG-48LH2-7ZTR0LH3-31IZ0HL17Z0HH323ZTR0HL113Z0HL249POS48HL13Z0HL210ZTR0HL14Z0HL214ZTR0LH1-1Z0HL2-13ZTR0LH147POS48LH215ZTR0LH1-3Z0LH214IZ0LH12Z077嵌入式小波零树编码嵌入式小波零树编码 简单例子简单例子 78嵌入式小波零树编码嵌入式小波零树编码 简单例子简单例子 32-310713-127-31 2314-13346-115143-125-739-9-7-1484-232-59-1346-2230-323-2042-36-436365115603-44
