1、15.1第第1515章章 动能定理动能定理 在自然界中存在着多种运动形式，它们在一定条件下会相互转化。在自然界中存在着多种运动形式，它们在一定条件下会相互转化。度量各种形式的运动的物理量就是能量，简称为能。物体作机械运动度量各种形式的运动的物理量就是能量，简称为能。物体作机械运动时所具有的能，称为机械能，包括动能和势能。除了机械能，还有电能、时所具有的能，称为机械能，包括动能和势能。除了机械能，还有电能、热能、声能、光能等等。热能、声能、光能等等。度量能量变化的量是力所作的功。能与功既有密度量能量变化的量是力所作的功。能与功既有密切的联系，又是两个不同的概念：能是物质运动的度切的联系，又是两个
2、不同的概念：能是物质运动的度量量,功则是能量变化的度量。而揭示动能与力所作的功功则是能量变化的度量。而揭示动能与力所作的功之间关系的则是动能定理，它表达了机械运动状态变之间关系的则是动能定理，它表达了机械运动状态变化时能量之间的传递和转化规律。化时能量之间的传递和转化规律。15.215.1 功和功率 功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。对物体作用的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。15.1.1 15.1.1 功的概念及元功的表达式功的概念及元功的表达式 1
3、1恒力的功恒力的功 设有大小和方向都不变的力设有大小和方向都不变的力F作用在物体作用在物体上，力的作用点向右作直线运动。则此常力上，力的作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的在位移方向的 投影与位移的大小投影与位移的大小s的的乘积即为力乘积即为力F在位移在位移s上所作的功，即上所作的功，即 cosFcosFsW （15.115.1）也可写作也可写作 （15.215.2）WF S15.315.115.1 功和功率 式中式中 是力是力F与位移与位移s之间的夹角。根据功的定义，功是代数量。由上式之间的夹角。根据功的定义，功是代数量。由上式可知，当可知，当 力作正功，力作正功，力作负功，力作负功
4、，时力的功等于零。时力的功等于零。909090在国际单位制中，功的单位是焦耳（符号为在国际单位制中，功的单位是焦耳（符号为J），即），即1 1J1 1Nm1 1kgm2 2/s2 2 2.2.变力的功变力的功 设质点在变力设质点在变力F作用下作作用下作曲线运动。当质点从曲线运动。当质点从M1 1沿曲线运动到沿曲线运动到M2 2时，时，力力F所作的功的计算可处理为：所作的功的计算可处理为：（1 1）整个路程细分为无数个微段）整个路程细分为无数个微段d ds;（2 2）在微小路程上，力）在微小路程上，力F的大小和方向可视为不变；的大小和方向可视为不变；15.415.115.1 功和功率（3 3）d
5、 dr表示相应于表示相应于d ds的微小位移，当的微小位移，当d ds足够小时，足够小时，。sddr根据功的定义，力根据功的定义，力F在微小位移在微小位移d dr上所作的功（即元功）为上所作的功（即元功）为 （15.315.3）或用它们的直角坐标轴上的投影来表示：或用它们的直角坐标轴上的投影来表示：zFyFxFzyxFFFWzyxzyxddddddkjikji（15.415.4）当质点从当质点从M1 1沿曲线运动到沿曲线运动到M2 2时，力时，力F所作的功为所作的功为 sFWMMMMdcosd2121rF（15.515.5）cosWFdsF dr15.515.115.1 功和功率 或者或者 2
6、1dddMMzyxzFyFxFW（15.615.6）式（式（15.615.6）是功的解析表达式。）是功的解析表达式。3.3.合力的功合力的功 合力在任一路程上所作的功等于各分力在同一路程上所合力在任一路程上所作的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即作功的代数和。即 inWWWWW2115.615.115.1 功和功率1.1.重力功重力功 设有一重力为设有一重力为G的质点，自位置的质点，自位置 沿某曲线运动至沿某曲线运动至 ，如图所示如图所示坐标系中，有坐标系中，有 1111,zyxM2222,zyxMFx=0,=0,Fy=0,=0,Fz=0=0 根据计算功的公式根据计算功的公式(15(1
7、56)6)，有，有 122121ddddzzGzGzFyFxFWzzMMzyx或者或者 GhzzGW21（15.715.7）重力的功等于重力与始末位置高度差的乘积，与质点运动的路径无关。重力的功等于重力与始末位置高度差的乘积，与质点运动的路径无关。15.7 2.2.弹力的功弹力的功 设一弹簧，刚度系数为设一弹簧，刚度系数为k，质点，质点M与与其连接，弹簧自然长度为其连接，弹簧自然长度为l0 0,取弹簧自然长取弹簧自然长度位置为坐标原点，在变形过程中的任意度位置为坐标原点，在变形过程中的任意位置位置x（坐标（坐标x表示弹簧的变形表示弹簧的变形）时的弹）时的弹性力可由胡克定律来计算：性力可由胡克定
8、律来计算：kxFx 式中负号表示弹性力式中负号表示弹性力F在在x轴上的投影的符号与质点轴上的投影的符号与质点M的坐标的坐标x的符号的符号相反。弹性力相反。弹性力F的方位沿弹簧的轴线，指向变形恢复的一方。的方位沿弹簧的轴线，指向变形恢复的一方。由上式可看出弹性力是变力，其所作的功可根据（由上式可看出弹性力是变力，其所作的功可根据（15.615.6）式来计算。）式来计算。15.115.1 功和功率15.8 设物体由位置设物体由位置M1 1运动至位置运动至位置M2 2，弹簧的初变形量为，弹簧的初变形量为1 1，末变形为，末变形为2 2，在这一过程中弹性力的功为在这一过程中弹性力的功为 222121d
9、21kxkxW（15.815.8）弹性力的功与质点运动的路径无关，只与弹簧始末位置的变形量弹性力的功与质点运动的路径无关，只与弹簧始末位置的变形量有关。有关。3 3作用定轴转动刚体上力及力偶的功作用定轴转动刚体上力及力偶的功 设刚体可绕固定轴设刚体可绕固定轴z转动，力转动，力F作作用于其上的用于其上的M点，如图所示，转动的角点，如图所示，转动的角速度为速度为。（1 1）当刚体转过一个无限小角度时）当刚体转过一个无限小角度时ddrsMM15.115.1 功和功率15.9 （2 2）对于力）对于力F可分解为：轴向力、径向力、切向力，显然轴向力、径可分解为：轴向力、径向力、切向力，显然轴向力、径向力
10、都不作功。力向力都不作功。力F所作的元功等于切向力所作的元功，即所作的元功等于切向力所作的元功，即 （15.915.9）dddzMrFsFW因而因而 zzMMW0d（15.1015.10）式（式（15.1015.10）表明，作用于定轴转动刚体上常力矩的功，等于力矩与转角大）表明，作用于定轴转动刚体上常力矩的功，等于力矩与转角大小的乘积。当力矩与转角转向一致时，功取正值，相反时，功取负值。小的乘积。当力矩与转角转向一致时，功取正值，相反时，功取负值。如果作用在刚体上的是一力偶，其作用面垂直于转轴，则用如果作用在刚体上的是一力偶，其作用面垂直于转轴，则用Mz表示力偶矩表示力偶矩后，式（后，式（15
11、.915.9）和（）和（15.1015.10）就代表力偶所作的功。）就代表力偶所作的功。15.115.1 功和功率15.10例例15.1 15.1 原长为原长为 ，刚度系数，刚度系数k为的弹簧，与长为为的弹簧，与长为l，质量为，质量为m的均质杆的均质杆OA连接，直立于铅垂面内，如图所示。当连接，直立于铅垂面内，如图所示。当OA杆受到常力矩杆受到常力矩M作用时，求杆由作用时，求杆由铅直位置绕铅直位置绕O轴转动到水平位置时，各力所作的功及总功。轴转动到水平位置时，各力所作的功及总功。解：以解：以OA杆为研究对象，杆在运杆为研究对象，杆在运动过程中，只有重力、弹性力和力矩动过程中，只有重力、弹性力和
12、力矩作功。现分别计算各力的功。作功。现分别计算各力的功。2/mglWG22222117.02/2202/klllkkWF2/MMWM2/17.02/2MklmglWWWWMFG总功总功 l 215.115.1 功和功率功和功率15.1115.115.1 功和功率功和功率 功率：力在单位时间内作的功称为功率。如电动机或发动机的功率功率：力在单位时间内作的功称为功率。如电动机或发动机的功率愈大，表示在给定时间内它所作的功愈多。愈大，表示在给定时间内它所作的功愈多。力的功率：力的功率：（15.1115.11）作用于质点上力的功率，等作用于质点上力的功率，等于力在速度方向上的投影与速于力在速度方向上的
13、投影与速度的乘积。度的乘积。vFvttWPFrFddd力矩（力偶矩）的功率：力矩（力偶矩）的功率：（15.1215.12）转矩的功率，等于转矩与物体转动转矩的功率，等于转矩与物体转动的角速度的乘积。的角速度的乘积。MtMtWPddd功率的单位是瓦（功率的单位是瓦（W），），1 1W=1=1J/s 15.12思考：思考：1 1上坡时车辆减速以增加牵引力的道理是什么？试解释说明。上坡时车辆减速以增加牵引力的道理是什么？试解释说明。（答：当机器的功率一定时，减低速度或转速，即可增大力或转矩，（答：当机器的功率一定时，减低速度或转速，即可增大力或转矩，用以克服阻力。）用以克服阻力。）2 2机床加工工件
14、时，如欲增大切削力，采取何措施？机床加工工件时，如欲增大切削力，采取何措施？15.1 功和功率 15.1315.2 15.2 质点和刚体的动能质点和刚体的动能一切运动的物体都具有一定的能量。飞行的子弹能穿透钢板，运动的锻锤一切运动的物体都具有一定的能量。飞行的子弹能穿透钢板，运动的锻锤可以改变锻件的形状。物体由于机械运动所具有的能量称为动能。可以改变锻件的形状。物体由于机械运动所具有的能量称为动能。15.2.115.2.1 质点的动能 若质点的质量为若质点的质量为m，速度为，速度为v，则质点的动能定义为，则质点的动能定义为 221mvT（15.1315.13）上式表示：质点在某瞬时的动能等于质
15、点质量与其速度平方乘积的一半。上式表示：质点在某瞬时的动能等于质点质量与其速度平方乘积的一半。动能是一个标量，恒为正值，单位与功的单位相同。动能是一个标量，恒为正值，单位与功的单位相同。15.1415.215.2 质点和刚体的动能 设质点系中任一质点的质量为设质点系中任一质点的质量为mi，在某瞬时的速度值为，在某瞬时的速度值为vi，则在该瞬，则在该瞬时质点系内各质点时质点系内各质点称为质点系的动能，即称为质点系的动能，即 221iivmT（15.1415.14）例：如图所示的质点系有三个质点它例：如图所示的质点系有三个质点它们的质量分别为们的质量分别为m1 1=2=2m2 2=4=4m3 3。
16、忽略绳子的。忽略绳子的质量，并假设绳不可伸长，则三个质点的质量，并假设绳不可伸长，则三个质点的速度都等于速度都等于v，则质点系的动能为，则质点系的动能为 2323322221127212121vmvmvmvmT15.1515.215.2 质点和刚体的动能 对于刚体而言，由于各质点间的相对距离保持不变，故当它运动时，对于刚体而言，由于各质点间的相对距离保持不变，故当它运动时，各处质点的速度之间必定存在着一定的联系，因而可以推导出刚体作各各处质点的速度之间必定存在着一定的联系，因而可以推导出刚体作各种运动时的动能计算公式。种运动时的动能计算公式。1.1.平动刚体的动能平动刚体的动能 （15.151
17、5.15）222212121mvmvvmTiii刚体作平动时的动能等于刚体的质量与平移速度平方乘积的一半。刚体作平动时的动能等于刚体的质量与平移速度平方乘积的一半。2.2.刚体绕定轴转动时的动能刚体绕定轴转动时的动能 2222221212121ziiiiiiJrmrmvmT（15.1615.16）刚体绕定轴转动时的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的刚体绕定轴转动时的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。一半。15.1615.215.2 质点和刚体的动能 3.3.刚体作平面运动时的动能刚体作平面运动时的动能 刚体的平面运动可看成绕速度瞬心刚体的平面运动可看成绕速度瞬心
18、作瞬时转动，如图所示。作瞬时转动，如图所示。由式（由式（15151616）得）得 C221CJT（a）由转动惯量的平行轴定理可得由转动惯量的平行轴定理可得 2maJJCC（b）把（把（b b）代入式（）代入式（a a），可得到），可得到 222121CCmvJT（15.1715.17）刚体作平面运动时的动能等于刚体随质心平移的动能与绕质心转动的动刚体作平面运动时的动能等于刚体随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。能之和。15.1715.215.2 质点和刚体的动能 若一个系统包括几个刚体时，那么系统的动能等于组成该系统的各刚体的动若一个系统包括几个刚体时，那么系统的动能等于组成该系统的各刚体
19、的动能之和。能之和。22222121CCCmvRvmRmvT其它运动形式的刚体，应按其速度分布计算其它运动形式的刚体，应按其速度分布计算该刚体的动能。该刚体的动能。例如，一车轮在地面上滚动而不滑动，如图所示。若轮心作直线运例如，一车轮在地面上滚动而不滑动，如图所示。若轮心作直线运动，速度为动，速度为vC，车轮质量为，车轮质量为m,质量分布在轮缘，轮辐的质量不计，则车质量分布在轮缘，轮辐的质量不计，则车轮的动能为轮的动能为 15.1815.215.2 质点系的动能 例例15.2 15.2 均质细长杆长为均质细长杆长为l，质量为，质量为m，与水平面夹角，与水平面夹角 ，已知端点，已知端点B的瞬时速
20、度为的瞬时速度为vB，如图所示。求杆，如图所示。求杆AB的动能。的动能。30 解：杆作平面运动，速度瞬心为解：杆作平面运动，速度瞬心为C，杆的角速度为杆的角速度为 lvBCvBB2质心速度质心速度C为为 BCvlv2则杆的动能为则杆的动能为 22222232212121212121BBBCCmvlvmlmvJmvT15.1915.315.3 动能定理15.3.115.3.1 质点的动能定理 设质量为设质量为m的质点在力的质点在力F作用下作曲线作用下作曲线运动，由运动，由M1 1运动到运动到M2 2，速度由，速度由v1 1变为变为v2 2，质点的动力学基本方程：质点的动力学基本方程：Fvtmdd
21、等式两边分别乘以微段位移等式两边分别乘以微段位移d dr，得，得 rFrvddddtm可写为（可写为（）srdd rFvvddm15.20而而 ,代入上式，有代入上式，有 22ddvmmvvWvm22dWvm22d将上式沿曲线将上式沿曲线M1 1M2 2积分，得积分，得 2121d21d2MMvvmvrFWmvmv21222121即即 WTT12（15.1815.18）15.315.3 动能定理15.21 式（式（15.1815.18）表明：在任一机械运动过程中质点动能的变化，等于）表明：在任一机械运动过程中质点动能的变化，等于作用在质点上的力在此过程中所作的功。这就是质点的动能定理。作用在质
22、点上的力在此过程中所作的功。这就是质点的动能定理。动能的改变量是由功来度量的。力的功大，动能的改变量就大；反动能的改变量是由功来度量的。力的功大，动能的改变量就大；反之，动能的改变量就小。若力对质点作正功，质点的动能增加；反之则之，动能的改变量就小。若力对质点作正功，质点的动能增加；反之则减少。减少。动能和功都是标量，动能定理是一个标量方程，利用它运算时动能和功都是标量，动能定理是一个标量方程，利用它运算时系作代数运算，因而比较方便。动能定理提供了速度、力与路系作代数运算，因而比较方便。动能定理提供了速度、力与路程之间的数量关系式，可用来求解这三个量中的任一个未知量。程之间的数量关系式，可用来
23、求解这三个量中的任一个未知量。15.315.3 动能定理15.22 例例15.3 15.3 为测定车辆运动阻力系数为测定车辆运动阻力系数k（k为运动阻力为运动阻力F与正压力之比），与正压力之比），将车辆从斜面上将车辆从斜面上A处无初速度地任其滑下。车辆滑到水平面后继续运行到处无初速度地任其滑下。车辆滑到水平面后继续运行到C处处停止。如已知斜面长度停止。如已知斜面长度l,高度高度h，斜面的投影长度，斜面的投影长度 ，水平面上车辆的运行，水平面上车辆的运行距离距离s，如图所示。求车辆运行时的阻力系数，如图所示。求车辆运行时的阻力系数k值。值。s分析：（分析：（1 1）车辆视为质点；）车辆视为质点；
24、（2 2）由于动能定理提供了速度、）由于动能定理提供了速度、力与路程之间的数量关系式，可力与路程之间的数量关系式，可用来求解这三个量中的任一个未用来求解这三个量中的任一个未知量；知量；解：（解：（1 1）取车辆研究，分析车轮的在两阶段的受力。）取车辆研究，分析车轮的在两阶段的受力。（2 2）计算始末位置时的动能。）计算始末位置时的动能。15.315.3 动能定理15.23始位置始位置A处，车辆静止，处，车辆静止，末位置，末位置C处，车辆停止，处，车辆停止，。01T02T（3 3）计算由）计算由A到到C这一过程中各力所作的功。这一过程中各力所作的功。AB段段 GhWGsGkskGskFsFWNF
25、coscoscoscos111BC段段 GksksFsFWNF222（4 4）利用动能定理计算末知量）利用动能定理计算末知量 WTT12即即 GkssGkGh00解得解得 sshk15.315.3 动能定理15.24质点的动能定理推广到质点系。质点的动能定理推广到质点系。刚体可视为各质点间的距离始终保持不变的质点系。刚体可视为各质点间的距离始终保持不变的质点系。设刚体内某质点的质量为设刚体内某质点的质量为mi，在某一段路程的末了和起始的位置的速度，在某一段路程的末了和起始的位置的速度分别为分别为vi2 2，vi1 1，作用在质点上的外力的合力作的功为，作用在质点上的外力的合力作的功为 ，内力的
26、合力，内力的合力作的功为作的功为 ，根据质点的动能定理有，根据质点的动能定理有 eiW iiW iieiiiiiWWvmvm21222121将刚体内所有质点的方程相加得将刚体内所有质点的方程相加得 iieiiiiiWWvmvm2122212115.315.3 动能定理15.25 对刚体来讲，各质点间的相对位置固定不变，因此内力功的代数和等对刚体来讲，各质点间的相对位置固定不变，因此内力功的代数和等于零。故有于零。故有 eWTT12（15.1915.19）上式表明，刚体动能在任一过程中的变化，等于作用在刚体上所有外力在同上式表明，刚体动能在任一过程中的变化，等于作用在刚体上所有外力在同一过程中所
27、作功的代数和。这就是刚体的动能定理。一过程中所作功的代数和。这就是刚体的动能定理。理解动能定理时注意：理解动能定理时注意：1.1.研究对象若是质点系，应分析内力是否作功；对刚体来说，只需考虑外研究对象若是质点系，应分析内力是否作功；对刚体来说，只需考虑外力的功。力的功。2.2.在计算外力功时，应清楚主动力的功和约束力的功；主动力的功前面已学在计算外力功时，应清楚主动力的功和约束力的功；主动力的功前面已学过，而约束属于理想约束（如光滑接触面、光滑铰链、不可伸长的柔索等）过，而约束属于理想约束（如光滑接触面、光滑铰链、不可伸长的柔索等）时，它们的约束反力或不作功，或者作功之和为零，则方程中只包括主
28、动力时，它们的约束反力或不作功，或者作功之和为零，则方程中只包括主动力所作的功。如遇摩擦力作功，可将摩擦力当作特殊的主动力看待。所作的功。如遇摩擦力作功，可将摩擦力当作特殊的主动力看待。15.315.3 动能定理15.26应用动定理求解动力学问题的方法步骤：应用动定理求解动力学问题的方法步骤：（1 1）选取研究对象（质点、质点系或某一部分）；）选取研究对象（质点、质点系或某一部分）；（2 2）确定力学过程（从某一位置运动到另一位置）；）确定力学过程（从某一位置运动到另一位置）；（3 3）计算系统动能（分析质点或质点系运动，计算在确定的力学过程中）计算系统动能（分析质点或质点系运动，计算在确定的
29、力学过程中起始和终了位置的动能）；起始和终了位置的动能）；（4 4）计算所有力所作的功（主动力、摩擦力等的功，分析内力、约束反）计算所有力所作的功（主动力、摩擦力等的功，分析内力、约束反力是否作功）；力是否作功）；（5 5）应用动能定理建立方程，求解欲求的未知量。）应用动能定理建立方程，求解欲求的未知量。应用动能定理求动力学问题时，一般都有一个力学过程，例如应用动能定理求动力学问题时，一般都有一个力学过程，例如s距离或转距离或转动一个动一个 角，因此解题时若题目未给出，可以假设一个角，因此解题时若题目未给出，可以假设一个s或或 。15.315.3 动能定理15.27 例例15.4 15.4 均
30、质圆柱质量为均质圆柱质量为m，半径为，半径为R,放在倾角为放在倾角为 的斜面上，如的斜面上，如图所示，由静止开始纯滚动，求轮心图所示，由静止开始纯滚动，求轮心O下滑下滑s距离时圆柱的角速度距离时圆柱的角速度。解：（解：（1 1）取均质圆柱为研究对象。在滚动过）取均质圆柱为研究对象。在滚动过程的任一瞬时分析受力。程的任一瞬时分析受力。（2 2）计算动能）计算动能 圆柱作平面运动（纯滚动），圆柱作平面运动（纯滚动），C为速为速度瞬心，则始末位置的动能分别为：度瞬心，则始末位置的动能分别为：01T,2222121OOJmvT式中式中 ，RvO,221mRJO15.315.3 动能定理15.28（3
31、3）计算力的功）计算力的功 sinmgsWG摩擦力摩擦力Ff，法向约束力，法向约束力FN在滚动过程中均不作功。在滚动过程中均不作功。（4 4）列方程）列方程 sin0212122mgsJmvOO解得解得 3sin2gsR15.315.3 动能定理15.29 例例15.5 15.5 曲柄连杆机构如动画所示。已知曲柄曲柄连杆机构如动画所示。已知曲柄OA=r，连杆，连杆AB=4=4r，C为连杆之质心，在曲柄上作用一不变转矩为连杆之质心，在曲柄上作用一不变转矩M。曲柄和连杆皆为均质杆，质。曲柄和连杆皆为均质杆，质量分别为量分别为m1 1和和m2 2。曲柄开始时静止且在。曲柄开始时静止且在O轴右边的水平
32、位置。不计滑块的轴右边的水平位置。不计滑块的质量和各处的摩擦，求曲柄转过一周时的角速度。质量和各处的摩擦，求曲柄转过一周时的角速度。分析：（分析：（1 1）此题是一个力学过程）此题是一个力学过程问题，即曲柄在不变转矩问题，即曲柄在不变转矩M的作用的作用下，转过一周时的角速度，可应用下，转过一周时的角速度，可应用动能定理求解。动能定理求解。（2 2）此题是刚体的动力学）此题是刚体的动力学问题，应注意分析刚体的运动，这问题，应注意分析刚体的运动，这样才能正确计算刚体的动能。样才能正确计算刚体的动能。15.315.3 动能定理15.30解：（解：（1 1）取刚体系统曲柄连杆机构为研究对象，分析受力。
33、）取刚体系统曲柄连杆机构为研究对象，分析受力。（2 2）计算动能）计算动能 始位置：始位置：01T末位置：末位置：2222212212121CCOJvmJT式中式中 2131rmJO2222344121rmrmJC,221rvvAC444112rrrvA,代入上式得代入上式得 21221261rmmT15.315.3 动能定理15.31（3 3）计算各力的功）计算各力的功 曲柄转过一周，在此过程中各力的功分别为曲柄转过一周，在此过程中各力的功分别为 力偶力偶M所作的功所作的功 MWM2；重力的功为零；理想约束，约束力不作功。重力的功为零；理想约束，约束力不作功。（4 4）列方程）列方程 Mrmm206121221解得解得 21132mmMr15.315.3 动能定理15.32附加题：图示卷扬机中，均质鼓轮的半径为附加题：图示卷扬机中，均质鼓轮的半径为r，重为，重为P，绕，绕固定轴固定轴O转动。作用在鼓轮上的主动力偶矩为转动。作用在鼓轮上的主动力偶矩为M。小车的。小车的重量为重量为Q，斜面的倾角为，斜面的倾角为，略去绳重和摩擦。小车由静，略去绳重和摩擦。小车由静止开始，求它沿斜面走过路程止开始，求它沿斜面走过路程S时的速度。时的速度。15.33作业15.10
