1、第第2424章圆知识体系复习章圆知识体系复习本章知识结构图圆的基本性质圆的基本性质圆圆圆的对称性圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形和圆正多边形和圆有关圆的计算有关圆的计算点和圆的位置关系点和圆的位置关系切线切线直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形的外接圆三角形内切圆三角形内切圆等分圆等分圆圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系弧长弧长扇形的面积扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积一一.圆的基本概念圆的基本概念:1.圆的定义圆的定义:到定点的距离等于
2、定长的点的到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆集合叫做圆.2.有关概念有关概念:(1)弦、直径弦、直径(圆中最长的弦圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距弦心距O二二.圆的基本性质圆的基本性质1.圆的对称性圆的对称性:(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直经过圆心的每一条直线都是它的对称轴线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合任何一个角度都能与自身重合,即圆具即圆具有旋转不变性有旋转不变性.2.垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦垂
3、直于弦的直径平分这条弦,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧.ADBPCCD是圆是圆O的直的直径径,CDABAP=BP,ACBC=ADBD=3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果圆心角相等如果圆心角相等,那么它所那么它所对的弧相等对的弧相等,所对的弦相等所对的弦相等.(2)在圆中在圆中,如果弧相等如果弧相等,那么它所对的圆心角相那么它所对的圆心角相等等,所对的弦相等所对的弦相等.(3)在一个圆中在一个圆中,如果弦相等如果弦相等,那么它所对的弧相那么它所对的弧相等等,所对的圆心角相等所对的圆心角相等.ABDC
4、O COD=AOBABCD=AB=CD1、如图、如图,已知已知 O的半径的半径OA长长为为5,弦弦AB的长的长8,OCAB于于C,则则OC的长为的长为 _.OABC3AC=BC弦心距弦心距半径半径半弦长半弦长反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中，任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求出第三个量：CDBAO2：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ，DC2，直径，直径CEAB于于D，求半径求半径OC的长。的长。DCEOAB垂径垂径直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.3、如图，、如图
5、，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。关于弦的问题，常常需关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅这是一条非常重要的辅助线。助线。圆心到弦的距离、半径、圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三角形的问题。角形的问题。MAPBOA 4.圆周角圆周角:定义定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角角，叫做圆周角.性质性质:(1)在同一个圆中在同一个圆中,同弧所对的圆周同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
6、的一半角等于它所对的圆心角的一半.OABCBAC=BOC12OBADEC在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的同弧或等弧所对的所有的圆周角相等圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.圆周角的性质圆周角的性质(2)ADB与与AEB、ACB 是同弧所对的圆周角是同弧所对的圆周角ADB=AEB=ACB性质性质 3:半圆或直径所对的圆周角都半圆或直径所对的圆周角都相等相等,都等于都等于900(直角直角).性质性质4:900的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径.OABCAB是是 O的直径的直径 ACB=900圆周角的性质圆周角的性质:15ABCOD3.
7、6作圆的直径与找作圆的直径与找90度的圆周度的圆周角也是圆里常用的辅助线角也是圆里常用的辅助线2.如图，如图，AB是是 O的直径的直径,BD是是 O的弦，延长的弦，延长BD到点到点C,使使 DC=BD,连接连接AC交交 O与点与点F.（1）AB与与AC的大小有什么关的大小有什么关 系系?为什么为什么?（2）按角的大小分类）按角的大小分类,请你判断请你判断 ABC属于哪一类三角形，属于哪一类三角形，并说明理由并说明理由.(05宜昌宜昌)O OF FD DC CB BA A1.在在 O中，弦中，弦AB所对的圆心角所对的圆心角AOB=100，则，则弦弦AB所对的圆周角为所对的圆周角为_.（05年上海
8、）年上海）500或或1300 3.如图在比赛中如图在比赛中,甲带球向对方球门甲带球向对方球门PQ进攻进攻,当他带球冲到当他带球冲到A点时点时,同伴乙同伴乙已经助攻冲到已经助攻冲到B点点,此时甲是直接射门此时甲是直接射门好好,还是将球传给乙还是将球传给乙,让乙射门好让乙射门好?为什为什么么?PQAB(2)点在圆上点在圆上(3)点在圆外点在圆外(1)点在圆内点在圆内1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系ACB如果规定点与圆心的距离为如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径圆的半径为为r,则则d与与r的大小关系为的大小关系为:点与圆的位置关系 d与r的关系 点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外
9、drdrdr三三.与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系:7.在在Rt ABC中，中，C=90,BC=3cm,AC=4cm,D为为AB的中点，的中点，E为为AC的中点，以的中点，以B为圆心，为圆心，BC为为半径作半径作 B，问：（问：（1）A、C、D、E与与 B的位置关系如何？的位置关系如何？（2）AB、AC与与 B的位置关系如何？的位置关系如何？EDCAB2.如图如图,OA是是 O的半径的半径,已知已知AB=OA,试探试探索当索当OAB的大小如何变化时点的大小如何变化时点B在圆内在圆内?点点B在圆上在圆上?点点B在圆外在圆外?ABO2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系:OOOl ll ll
10、 l(1)相离相离:(2)相切相切:(3)相交相交:一条直线与一个圆没有公共点一条直线与一个圆没有公共点,叫做叫做直线与这个圆相离直线与这个圆相离.一条直线与一个圆只有一个公共点一条直线与一个圆只有一个公共点,叫叫做直线与这个圆相切做直线与这个圆相切.一条直线与一个圆有两个公共点一条直线与一个圆有两个公共点,叫叫做直线与这个圆相交做直线与这个圆相交.OOl l(1)当直线与圆相离时当直线与圆相离时dr;(2)当直线与圆相切时当直线与圆相切时d=r;(3)当直线与圆相交时当直线与圆相交时dr.直线与圆位置关系的识别直线与圆位置关系的识别:drl ldrOl ldr设圆的半径为设圆的半径为r,圆心
11、到直线的距离为圆心到直线的距离为d,则则:1.与圆有一个公共点的直线。与圆有一个公共点的直线。2.圆心到直线的距离等于圆的半圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。径的直线是圆的切线。3.经过半径的外端且垂直于这条经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。半径的直线是圆的切线。OAl lOA是半径是半径,OA l直线直线l是是 O的切线的切线.切线的性质切线的性质:(1)圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.OA
12、l OA l直线直线l是是 O的切线的切线,切切点为点为A切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。这两条切线的夹角。BAPOPA、PB为为 O的切线的切线PA=PB,APO=BPO过过D点作点作DF AC于于F点，然后证明点，然后证明DF等于圆等于圆D的半的半径径BD如图，如图，AB在在 O的直径，点的直径，点D在在AB的延长的延长线上线上,且且BD=OB,点点C在在 O上上,CAB=30.(1)CD是是 O的切线吗？说明你的理由的切线吗？说明你的理由;(2)AC=
13、_，请给出合理的解释，请给出合理的解释.A B C D O 只要连接只要连接OC，而后证明而后证明OC垂直垂直CD不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆.OCBA三角形的外接圆与内切圆三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.等边三角形的外心与内心重合等边三角形的外心与内心重合.特别的特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.OABCD二、过三点的圆及外接圆1.过一点的圆有过一点的圆有_个个
14、2.过两点的圆有过两点的圆有_个，这些圆的圆心个，这些圆的圆心的都在的都在_ 上上.3.过三点的圆有过三点的圆有_个个4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）庄距离相等）5.锐角三角形的外心在三角形锐角三角形的外心在三角形_，直角三角，直角三角形的外心在三角形形的外心在三角形_ _，钝角，钝角三角形的外心在三角形三角形的外心在三角形_。无数无数无数无数0或或1内内外外连结着两点的线段的垂直平分线连结着两点的线段的垂直平分线在斜边的中点上在斜边的中点上OCAB经过三
15、角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。三角形叫做圆的内接三角形。问题问题1：如何作三角形的外接圆？：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？如何找三角形的外心？问题问题2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形内吗？在三角形内吗？OCABC90OCABABC是锐角三角形是锐角三角形OCABABC是钝角三角形是钝角三角形3.如图如图,是某机械厂的一种零件平面图是某机械厂的一种零件平面图.(1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的请你根据所学的知识找出该零件所在
16、圆的圆心圆心(要求正确画图要求正确画图,不写做法不写做法,保留痕迹保留痕迹).(2)若弦若弦AB=80cm,AB的中点的中点C到到AB的距离是的距离是20cm,求该零件所在的半径长求该零件所在的半径长.EF HG4.如图，如图，O为为ABC的内切圆，切点分的内切圆，切点分别为别为D，E，F，P是弧是弧FDE上的一点，若上的一点，若A+C=110度，则度，则FPE=_度度CoDEABFP5 5如图，已知如图，已知ABCABC的三边长分别为的三边长分别为AB=4cmAB=4cm，BC=5cmBC=5cm，AC=6cmAC=6cm，OO是是ABCABC的内切圆，切点分别是的内切圆，切点分别是E E、
17、F F、G G，则则AE=AE=，BF=BF=，CG=CG=。7如图，M与x 轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，求圆心M的坐标AO y.MCxB圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系:.外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含O1O2O1O2O1O2O2O1O1O2 两圆的位置关系数量关系及识别方法 外离 外切 相交 内切 内含dR+rd=R+rd=R-rdR-rR-rdR+r1.如图，如图，O1和和 O2内切于点内切于点T，O2的弦的弦TA，TB分别交分别交 O1于于C，D，连接，连接AB，CD求证：求证：AB/CDo1o2ABCDT典型例题典型例题:1.如图如图,O的直径的
18、直径AB=12,以以OA为直径的为直径的 O1交大圆的弦交大圆的弦AC于于D,过过D点作小圆的点作小圆的切线交切线交OC于点于点E,交交AB于于F.EO1ODCBAF(2)猜想猜想DF与与OC的位的位置关系置关系,并说明理由并说明理由.(1)说明说明D是是AC的中点的中点.(3)若若DF=4,求求OF的长的长.2.如图如图,正方形正方形ABCD的边长为的边长为2,P是线段是线段BC上的一个动点上的一个动点.以以AB为直径作圆为直径作圆O,过点过点P作圆作圆O的切线交的切线交AD于点于点F,切点为切点为E.DCBAFPOE(1)求四边形求四边形CDFP的周长的周长.(2)设设BP=x,AF=y,
19、求求y关关于于x的函数解析式的函数解析式.Q三三.正多边形正多边形:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径个正多边形的半径.中心：一个正多边形外接圆的圆心中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心叫做这个正多边形的中心3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角的圆心角叫做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边形一边的距离边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距叫做这个正多边形的边心距OABFDCEG3 正多边形和圆正多边形和圆（1）.有关概念有关概念（2）
20、.常用的方法常用的方法（3）.正多边形的作图正多边形的作图EFCD.边心距r中心角边OABCRd12a2221()2adRa1.1.圆的周长和面积公式圆的周长和面积公式2.2.弧长的计算公式弧长的计算公式3.3.扇形的面积公式扇形的面积公式S=360nr2L L=180nr=12l lr rS或或四四.圆中的有关计算圆中的有关计算:周长周长C=2r面积面积s=r2Or4.圆柱的展开图圆柱的展开图:DBCArhS侧侧=2r hS全全=2r h+2 r25.圆锥的展开图圆锥的展开图:底面底面侧面侧面aahrS侧侧=r aS全全=r a+r21、扇形扇形AOB的半径为的半径为12cm,AOB=120
21、,求求扇形的面积和周长扇形的面积和周长.2、如图如图,当半径为当半径为30cm的转动轮转过的转动轮转过120时时,传送带上的物体传送带上的物体A平移的距离为平移的距离为_.AlA BC l4.如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制成圆锥形玩具，已知成圆锥形玩具，已知C=90度，度，AC=BC=4cm，使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其他边相切，设计裁剪的方案图，直接写出扇形他边相切，设计裁剪的方案图，直接写出扇形的半径长。的半径长。ACBACBACBBCAOO12 2r 24r 32r 44 24r 5、扇
22、形的面积是它所在圆的面积的、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇，这个扇形的圆心角的度数是形的圆心角的度数是_.322406、圆锥的母线为圆锥的母线为5cm，底面半径为，底面半径为3cm，则，则圆锥的表面积为圆锥的表面积为_24cm27、已知：在、已知：在RtABC,求以求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。cm5BC,cm13AB.90C0 分析：分析：以以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。积就是求两个圆锥
23、的侧面积。D C B A9.如图，圆锥的底面半径为如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为，母线长为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，出发，沿圆锥侧面爬行一周回到沿圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？行的最短路线长是多少？BAOAECBAOD常见的基本图形及结论常见的基本图形及结论:1.如图如图,在以在以O为圆心的为圆心的两个同心圆中两个同心圆中,大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D,则则:AC=BD若大圆的弦切小圆于若大圆的弦切小圆于C,则则OACBAC=BC两圆之间的环形面积两圆之间的环形面积S=AB2412.如图如图,以
24、等腰以等腰ABC的腰的腰AB为直径作为直径作 O交底边交底边BC于点于点D,则则:OCBAD点点D是是BC的中点的中点.OPBADC3.如图如图,已知已知PA、PB切圆切圆O于点于点A,B,过弧过弧AB上任一点上任一点E作圆作圆O的切线的切线,交交PA,PB于点于点C,D,则则:(1)PCD的周长的周长=2PA(2)COD=900-APB21EOABCOABCDFEDFE4.如图如图,ABC各边分各边分别切圆别切圆O于点于点D、E、F.(1)DEF=900-A21(3)S ABC=(a+b+c)r21(2)BOC=900+A21ABCOEFD5.在在Rt ABC中中,ACB是直角是直角,三边分
25、三边分别是别是a、b、c,内切圆半径是内切圆半径是r,则则:内切圆半径内切圆半径r=a+b-c26.如图如图,AB是圆是圆O的直径的直径,AD,BC,DC均均为切线为切线,则则:(1)DC=AD+BC(2)DOC=900OBDCAE3 3已知：已知：ABAB为为OO的直径，的直径，P P为为ABAB弧的中弧的中点点（1 1）若）若OO与与OO外切于点外切于点P P（见图甲），（见图甲），APAP、BPBP的延长线分别交的延长线分别交OO于点于点C C、D D，连，连接接CDCD，则，则PCDPCD是是 三角形；三角形；（2 2）若）若OO与与OO相交相交于点于点P P、Q Q（见图乙），连接（
26、见图乙），连接AQAQ、BQBQ并延长分并延长分别交别交OO于点于点E E、F F，请选择下列两个问题，请选择下列两个问题中的一个作答：中的一个作答：问题二：判断线段问题二：判断线段AEAE与与BFBF的关系，并的关系，并证明你的结论证明你的结论.问题一：判断问题一：判断PEFPEF的形状，并证明的形状，并证明你的结论；你的结论；5.已知 O1、O2，相交与A，B两点，两圆的半径分别是 和 ，公共弦的长AB=6，求O1 O2和 O1 A O2 3 22 3BAO1O2DABO1O2D=3+或3-2 32 3O1 O2 O1 A O2=75度或15度6.某电机长生产一批直径分别为某电机长生产一批
27、直径分别为10cm和和20cm的圆的圆形硅钢片形硅钢片,现在有宽度为现在有宽度为20cm的硅钢片的硅钢片,现设计了现设计了两种裁料方法两种裁料方法:1.如图（一），把两种规格的圆钢片分开排料：如图（一），把两种规格的圆钢片分开排料：2.如图（二）把如图（二）把2片小的和片小的和1片大的圆钢片间隔起来排料：片大的圆钢片间隔起来排料：问题问题1.上述问题主要反映了有关圆的位置关系是上述问题主要反映了有关圆的位置关系是_问题问题2.比较两种不同的方案，通过计算说明哪一种排料方比较两种不同的方案，通过计算说明哪一种排料方法更节约用料？法更节约用料？专题一：与圆有关的辅助线的作法：专题一：与圆有关的辅助
28、线的作法：辅助线，辅助线，莫乱添，莫乱添，规律方法记心间；规律方法记心间；圆半径，圆半径，不起眼，不起眼，角的计算常要连，角的计算常要连，构成等腰解疑难；构成等腰解疑难；切点和圆心，切点和圆心，连结要领先；连结要领先；遇到直径想直角，遇到直径想直角，灵活应用才方便。灵活应用才方便。弦与弦心距，弦与弦心距，亲密紧相连；亲密紧相连；2、已知、已知 O1与与 O2相交于相交于C、D，O1 O2的延长线和的延长线和 O1交于交于A，AC、AD分别与分别与 O2相交于点相交于点E、F。求证：求证：CE=DFCDo1o2AFEGH4、如图，O1、O2外切于P，AB与 O1、O2切于A、B，CP为 O2的内
29、公切线并交AB于C，求证：O1CO2C。B12ACOOP第第1部分部分 圆的基本性质圆的基本性质第第2部分部分 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系本本章章安安排排复复习习内内容容第第3部分部分 正多边形和圆正多边形和圆第第4部分部分 弧长和面积的计算弧长和面积的计算第第5部分部分 有关作图有关作图 对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形高、弓形高h，这四个量中，只要，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：个量，如图有：d+h=r222)2(adrhda2O经验点拔经验点拔
30、垂径定理的垂径定理的应用应用ABCO1O2要记住这个模型，他的结论有很多的应用要记住这个模型，他的结论有很多的应用ABC叫做切点三角形叫做切点三角形熟练掌握以下的结论熟练掌握以下的结论）（，则）（）；（，其中）则内切圆半径（，的对边，面积为、中分别为、设cbarCcbappsrSCBAABCcba21902211rr记住：在具体计算时往往用到的是面积记住：在具体计算时往往用到的是面积法和方程思想法和方程思想三三.正多边形正多边形:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径个正多边形的半径.中心：一个正多边形外接圆的圆心中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心叫做这个正多边形的中心3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角的圆心角叫做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边形一边的距离边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距叫做这个正多边形的边心距OABFDCEG
