1、 一、振动及分类一、振动及分类 振动：振动：物理量在某值附近往复变动物理量在某值附近往复变动(运动运动)分类：分类：按策动力按策动力 自由振动自由振动 受迫振受迫振 按阻尼按阻尼 无阻尼振动无阻尼振动 有阻尼振动。有阻尼振动。1.微分方程微分方程 xFx 二、动力学方程及求解二、动力学方程及求解弹簧振子模型弹簧振子模型 线性回复力线性回复力:微分方程微分方程:22d xmkxdt 即即20 xx 其中其中20kmxxoFm2.通解通解 xFx 220 tx te20km令令:得本征方程得本征方程i 如此如此 12cosi ti tx tcec eAt 线性系统无阻尼自由振动线性系统无阻尼自由振
2、动 简谐振动简谐振动此时振幅、初相位此时振幅、初相位0,A,.速度、加速度为速度、加速度为 sinv tAt 22sina tAtx 讨论：算符讨论：算符t等于什么等于什么？例例.K=1.6 N/m，m=0.1kg (1)平衡处向 x 击打,使初速=0.628 m/s；(2)拉到 x=0.08m 处放手。求求:,x(t).=0 A=0.08m x(t)=0.08 cos4t解：解：1 24(Hz),22(Hz)k m2000,0.628sinxvA 得2,0.05mA 0.05cos 42.x tt(1)(2)000.08cos,0sinxAvA 得0,0.08mA 0.08cos 4.x t
3、t3.总结总结 cosx tAtx t tt0+Tt0-+2-A-Ax0振动曲线oxA(t=0)A(t)oxA22/3-2/3A1 简谐振动：物理量与时间 t 为余(正)弦函数关系,则称该物理量在做简谐振动 振幅矢量图表示法振幅矢量A以以 旋转,A在在x轴投影为 x(t)优点：,A运动方向 直观;比较和合成方便规定：简谐振动用A(0)表示 规定取余弦形式(与复数形式对应).22T 位相 tt 0()初相位一个线性系统可以同时存在两个或多个简谐振动一个线性系统可以同时存在两个或多个简谐振动.系统的实际振系统的实际振动就是这些简谐振动的合成动就是这些简谐振动的合成一、线性系统的迭加原理一、线性系统
4、的迭加原理20 xx 若x1,x 2(同频)是解(满足方程)，则x=x1+x2也是解 无阻尼自由振动一、同频同振动方向一、同频同振动方向(标量标量)简谐振动的合成简谐振动的合成振动方向皆为x方向x21AA2A1111222coscosxAtxAt令:12cosxxxAt振幅矢量12AAA11222122coscoscossinsinsinAAAAAA得 22121221112211222costansinsincoscosAAAA AAAAA讨论：0 和 的情况。1212AAAAAA二、同振动方向不同频二、同振动方向不同频(标量标量)简谐振动的合成简谐振动的合成 拍拍1.合成令:1210202
5、0102010coscos 2 coscos22xxxAtAtAtt取1 =2 =0，对不同频 不重要,通过选 t 零点可使 =0110220coscosxAtxAt则:，拍的定义得20102010 2010cos,2 cos2 cos2x tAttAtAtAt调调调其中，txTATT拍A(t)20102平2.拍三、振动方向互相垂直相同频率简谐振动的合成三、振动方向互相垂直相同频率简谐振动的合成1.同频展开得质点参与互垂的两个谐振动 x(t)、y(t),做平面运动r(t)=x(t)i+y(t)j 1122cos,cosx tAty tAt2221222122cossin()xyA A xyAA
6、 椭圆coscoscossinsinttt消去cos,sintt2121 Py xA2A1(1)判椭圆长轴方向。矢径端点旋转方向(光学)P点:x P=A1cos1=A1cos y P=A2 (2=2n 1=2n)0 P在I象限,长轴在I、III象限 /2 x P0 右旋(顺时针)(,0),v P x0 左旋(逆时针)(2)特例=0,y/x=A2/A1 直线运动谐振 =/2 x2/A12+y2/A22=1 正椭圆 yxA2A1=0(若A1=A2为圆)2.频率不同利萨如图 x=A1cos(1 t+1)y=A2 cos(2t+2)1:2=整数比 时 矢径端点轨迹为闭合曲线利萨如图 1=1=3/41=
7、/21=/41=0图形与频率关系:沿图形一周,在x方向上达到最大值的次数之比等于1、2之比例2.1:2=2:1例1.1:2=3:2,2=0作业思考题9.29.7习题9.2.29.4.1一、波的概念一、波的概念波动：波动：最常见的物理现象，贯穿于声、光、电、热.任何物理量随时间、地点的变化满足波动方程称此物理量做波动讨论机械波(一维)。连续介质受到作用后内部的整体反响波动:各个质点在平衡位置附近振动，彼此的振动互相关联;振动状态和能量随波传播。波的传播速度波的传播速度波速v;质点振动速度u;质点位移 横波横波：u v ;纵波纵波:u/v二、简谐波的描述二、简谐波的描述简谐波波上各点都做简谐振动的
8、波。波长 =v T 或 v=周期T,频率描述简谐波：任意点处振动 z;任意时刻波形 t(一维)波的表达式:=(z,t)投影 =(z,t)波形图 t：纵波画图。z 疏密疏纵波波形图平衡位置实际位置2k圆频率zz1 zz0 1.一维平面简谐波表达式简谐波的传播可看作位相波形的传播A.位相的传播 位相 =t+若上游与下游距离,则上下=2 若上游与下游距离l,则上下=2 l/z0点(参考点)振动 (z0,t)=Acos(t+0)=Acos(z0)(2)向向 z方向传播方向传播 z0下游,z上游 (z)(z0)=k(z z0)(z,t)=Acos(z)=Acos(t+k z+)=0k z0(1)向向+z
9、方向传播方向传播(z0)(z)=k(zz0)=2(zz0)/.(z,t)=Acos(z)=Acos(t k z+),=0+kz0(波数1/,为单位长度上波的数目)2 平面简谐波表达式 表达式 (z,t)=Acos(t k z+)“+”:向 z 传播;“”:向+z传播.以+z方向传播为例z0处振动：(z0,t)=Acos(t+k z0)t0时刻波形：(z,t0)=Acos(k z t0)唯一的确定的波动状态:t kz+=常数,记为0(1)取=0 则0=0为t=0时刻原点处峰,t=T 时刻到达z=处0=为t=0时刻z=/2处峰,t=T/2时刻到原点(2)z=(t+0)/k 同一状态的z、t关系t
10、z 同一波动状态随时间向右传播。k=v,v为位相传播速度相速度。(3)dz/dt=3.平面波与球面波三维空间传播的谐波A.相关概念波线(波射线ray)：沿波传播方向的有向曲。波面（波阵面）：同一时刻波到达地点(平衡位置)构成的面。对简谐波，为位相相同点构成的面（同相面）。波前:最前面的波面；各向同性介质中波线垂直波面。球面波：波面为同心球面(距波源足够远处)。平面波：波面为平行平面(小范围球面波)。v rarzzv yxr k zr yxr0rB.平面简谐波 沿z方向传播(r,t)=Acos(tkz+)换成(x,y,z)波矢k=kz=k 则 kz=k r=kxx+kyy+kzz，与坐标系无关任
11、意坐标系 (r,t)=Acos(t k r+)特点：振幅不变;k为常矢;同相面为平面C.球面简谐波cos(tkr+)，=0+kr0krk能量密度 r 2 振幅A(r)r 1 令A(r)=a/r (a为正常数)位相关系：同一波线上(r0)(r)=k(r r0)已知(r0)=t+0(r,t)=A(r)cos(r)=ar4.简谐波的复数表示.复振幅(r,t)=Acos(t k r+)=ReAe i(t k r+)=记为）Ae i(t k r+)(r,t)=cos(t k r+)=ReA(r)e i(t k r+)=（记为）A(r)e i(t k r+)ar统一为：A(r)e i(r)e i t=U(
12、r)e i t线性运算(迭加、分解、微积分)都可以用复数形式,结果取实部波的T,由波源决定,波速v由介质决定。1弦上横波三、波动方程与波速均匀柔弦(仅拉应力).上下小振动.线密度.对小段m,T1 T2，sin tan=/zzzz2z1cTTT221T1o21zzTzzm(2c/t2)=T2sin2T1sin12222Ttzm=z T1 T2 sin tan=/z z(2/t2)=Tz(2/z2)即：一维波动方程2 一维波动方程的解凡弦上传播(实现)的波 该波动方程的解通解：(z,t)=f(z v t)+g(z+v t)，f、g为任意函数,v=22222=()()vd f duTd f du左边
13、右边验证:令u=z v t，则：f/z=d f/d u，f/t=v(d f/d u)=v(f/z).类似验证g(z+vt)是解f(zvt)为向+z传播的平面波；g(z+vt)为向 z传播的平面波。f u坐标系中f(u)图形不变刚性波形。z坐标系中,f(u)图形以v匀速向右运动(zu=vt)f(z-vt)为向+z传播的平面波。类似可说明g(z+vt)为向z传播的平面波。f(z vt)是解一、惠更斯原理一、惠更斯原理.反射和折射定律反射和折射定律 惠更斯原理不涉及波的性质以及介质性质,适用于所有情况1.原理原理:媒质中波传到的各点（波前）都可以看作开始发出子波的点波源；此后某一时刻在波前进方向上这
14、些子波的包络面就是实际波在该时刻的波前例1.在各向均匀同性介质中,波沿直线传播波遇障碍、小孔要绕行;在介质交界面处反射、折射例2.波的衍射.波遇小孔传播方向偏离直线波的衍射2 反射和折射定律反射和折射定律112介质1介质2v1,v1v2BDACEt时刻波前ABt+时刻波前CD(反射);CE(折射)1111sinsinvvBC=v1 AD=v1 AE=v2CAB=1 ACD=1 ACE=2 反射定律：若 则光学：n=c/v n1sin1=n2sin2 11,vv 11.2211sinsinvv折射定律3.全反射全反射光学:若12,nn则当1121sinCnn时，22全反射全反射机械波:若12,v
15、v则当1112sinCv v时，22全反射全反射介质2介质1211zo二、二、垂直入射时反射和透射波的振幅与位相垂直入射时反射和透射波的振幅与位相以纵波为例.入射波111expi tAik z e反射波1111expi tAi k ze折射波2222expi tAi k ze边界条件：(1)媒质连续(位移相等)，(2)应力连续(作用力=反作用力)，即：12112111200(1)(0),iizzzAAeA e取得1211121111220021 122(2),iizzYzzYzZAAeZ A eYvZvv kv k，得1211121221112iiA AZZeZZAAZ eZZ211212,A
16、 A A Z Z,都是正实数1121,1,0,iZZe 若透射波无位相透射波无位相突变突变 1121,1,iZZe 若波密波密波疏反射波波疏反射波无位相突变无位相突变221,0,ie 波疏波疏波密反射波波密反射波有位相突变有位相突变(半波损半波损失失)三、三、谐波迭加谐波迭加.非简谐波的传播非简谐波的传播1.波的迭加原理波的迭加原理 波的独立传播和迭加原理:线性介质中同时存在几列波时,每一波的传播与其他波是否存在无关，即彼此互不影响独立传播；各点的振动是各列波单独存在时在该点的振动之和。原理的依据:波动方程为线性，所以 1、2分别是解则 1+2也是解。原理应用的限度(波动方程为线性的条件)：（
17、1）应变不太大，保证胡克定律成立；（2）无耗散。即：取决于介质、波(横,纵,电磁)、波的强度,使应力与应变为线性关系,得到线性波动方程线性媒质。所以，是否为线性媒质并不仅仅取决于介质本身，还与波的种类和强度有关。一般情况：固体可以看作线性媒质(一般固体中波强度较小);真空中电磁波方程总是线性的，介质对普通电磁波也是线性的；气体弹性不服从胡克定律，在pP 0时才近似有弹性模量K 波迭加原理波迭加原理=振动可加性振动可加性+波的独立传播性波的独立传播性 2 谐波迭加谐波迭加 几列简谐波使某点做几种谐振动,将其合成即为该点的合振动;确定任意点(所有点)的合振动即完成了谐波的迭加，所以谐波迭加实质上是
18、任意点的谐振动的合成。例1.同频、同传播方向、同振动方向的两个平面谐波的合成(矢量和代数和)。1211112212coscosit kziit kziit kziAtkzAeeA eeAtkzAee仍为平面谐波121211221122112211221 222121221 coscossinsincoscoscossinsinsin2coscouniiiAeAeA eAAi AAAAAAAAAAAA At干涉现象:两波相遇区域内，各处形成稳定的强弱分布 12III1212121 22,20,1,2nrrnAAAA IIII In 极大处，程差 此为相长干涉1212121 2211 2,20,1
19、,2nrrnAAAAIIII In 极小处，程差 此为相消干涉I I12干涉条件：(1)标量波迭加 或 同振动方向的矢量波迭加(振动互垂波不干涉)(2)干涉项2cos 0 要求频率相同 (否则 =(t)，=0)波源有恒定位相差 (否则 =0(t)+k(r1 r2)=(t)=0)相干波 满足相干条件的两列波；相干波源发出相干波的若干波源相干迭加:I=I1+I2+2 cos 非相干迭加 I=I1+I2 (相干项平均为零)干涉的实现：机械波由人为的相干波源产生;光波用普通光源时要巧妙设计3.一维非谐波的传播一维非谐波的传播(1).单色波 平面简谐波波形可以无变化地在无吸收介质（无论是否有色散）传播单
20、色：即单频 v与有关有色散,介质称为色散介质;v与无关无色散,介质称为无色散介质介质对机械波一般无色散(深水波有色散),对光波一般有色散(2).平面非谐波在(不吸收)无色散介质中,波形不变地传播数学上 若v为常数 则=f(z vt)为波动方程的解(3).平面非谐波在(不吸收)有色散介质中传播时波形改变.此时v非常数 =f(z vt)不是波动方程的解非谐波为许多谐波的合成,包含许多频率zt1t24.群速度群速度非谐波的传播速度非谐波的传播速度(1).波包波包(群):由一群频率相近的谐波构成,轮廓上有峰包重要的非谐波 (脉冲波,调制波)波包携带信息、能量.波包中心速度为群速度vg,即信息、能量的传
21、播速度无色散介质v与无关,vg=vP波包形状不变；有色散介质v=v(),vg vP波包形状改变(2).群速用最简单方法构成波包，讨论群速的计算z=2/k2Acoskz(z,0)t=0波形1 21 21 21 21121212121212cos2coscos2;2,2;2AtkzAtk ztkzkkkkkk，震动方向相同为+z方向传播的波包:固定z时间拍,振幅缓变的谐振;固定t空间拍,振幅缓变的谐波波形时间拍长度的倒数=拍频拍=差频=12空间拍长度 122112212112k 拍，I A2,所以能量集中在波包中心处，vg为波包中心也就是轮廓波的传播速度 ，对一般频率连续分布情况：折射定律得到的v
22、=c/n为相速度;光信号传播速度为群速度例:钠黄光在SO2中,n=1.64，vp=c/1.64，vg=c/1.7612,()gvkk 相速度0,ppgppdvdvdkvvkvdkdkd 四、四、驻波驻波行波(波形传播的波)在有限介质中暂时存在不满足边界条件驻波(z,t分开不传播的波)可以长久存在于有限介质单频驻波起行波中简谐波(单频行波)的作用1 驻波驻波(单频单频)(1).驻波的形成特殊的干涉现象驻波可由同频、同幅、同振动方向（或标量波）、传播方向相反的两列简谐波形成.(单列波在自由端或固定端全反射就形成这样一对波)1122122121coscos ,coscos2,2,2AtkzAtkzz
23、 tAkztAA，驻波(2).驻波特点zA-A=0t=T/4t=T/8t=3T/8t=T/2t=0波腹波节z(1)满足波动方程 (2)波形不传播.各点做谐振动，振幅为z函数 取 =0 ,coscoscosz tAtA ztA zAkzCoskz 0,;coskz0,A(z)=0 波节;A(z)=A 波腹;相临波节与波腹的距离=/40 (3)各点之间相互关联，但位相不传播两波节之间coskz同号,振动各点同位相.一个波节两侧(相临波节)coskz异号,相临波节位相差为(反位相)。222222222222222224 ,00112cossin=1cos21cos228112sincos=1cos21cos22811cos2cos24pkpkppkeeeeAkztAkzttevAkztAkztzeeeAkzt波节处，波腹处=也是驻波，不传播,在波节和波腹之间振荡zet=0 最大 /t0 eK0 eP最大 emax在波节z zeet=T/4 0 /z0 eP0 eK最大 emax在波腹T=T/8波节处F 0 =0 /t=0 Fv=0 波腹处F=0 0 /t0 Fv=0所以，能量不能通过波节、波腹传播驻波：其中各点的振动相互关联称为波;能量、位相、波形不传播称为驻波。
