1、1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式一、二阶行列式一、二阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 :122a,2212221212211abxaaxaa :212a,1222221212112abxaaxaa 得得两式相减消去两式相减消去,2x一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入)2()1(.,22221211212111bxaxabxaxa;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的
2、解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称由四个数排成二行二列（横排称行行(row)、竖排称竖排称列列(column)的数表的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa.2112aa 2.二阶行列
3、式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式,2221211ababD .2211112babaD 二二元线性方程组的解元线性方程组的解为为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx 3.则当系数行列式则当系数行列式时，时，0 D .2975,10462121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解7546 D)20(42 ,
4、062 7294101 D,186 2951062 D,124 DDx11,362186 DDx22.262124 二、三阶行列式二、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表式称为数表（5 5）所确定的所确定的.对角线法则对角线法则2.2.三阶行列式的计算三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaa3
5、32211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号蓝线上三元素的乘积冠以负号.01140101 )1(xx求解方程求解方程(1)方程左端方程左端12 xD解得解得由由012 x.1121 xx或或2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数一、概念的引入一、概念的引入二、全二、全排列排列三、三、排列逆序数排列逆序数一、全一、全排列排列问题问题同的排法？同的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n定义定义把把
6、 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.nn 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.nnP1233 P.6 nPn)1(n)2(n123 !.n 同理同理1.由由1,2,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称个数）组成的一个全排列称 为一个为一个n级排列级排列。如：如：1234512345，5432154321，4351243512均为均为5 5级排列级排列2.2.123123(n-1)-1)n(具有自然顺序的排列为具有自然顺序的排列为)标准排列标准排列。二、排列的逆序数二、排列
7、的逆序数 在一个排列在一个排列 中中,若数若数 则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.nstppppp21,stpp 1.定义定义n 个不同的自然数，规定由小到大为个不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.(即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序）即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序）2.定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排一个排列中所有逆序的总数称为此排列的列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列 32514 中，中，3.3.排列的奇偶性排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶
8、排列.4.4.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法设排列为设排列为 ,21npppit为为ip构成的逆序数构成的逆序数则其逆序数为则其逆序数为121)(21 nppptttNtn例例1 1 求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的计算下列排列的逆序数，并讨论它们的 奇偶性奇偶性.21763541 321212 nnn3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、三阶行列式的结构一、三阶行列式的结构二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、一、三阶行列式的结构三阶行列式的结构三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaa
9、aD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 6 项，即项，即 3!项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 ,211312 t322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 ,101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号,负号负号.
10、)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn21222211121121221)1(记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由1.定义定义).det(ija简记作简记作:其中其中为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121
11、22221112111 )3(.)!(21级排列之和级排列之和个个指指nnnppp 0004003002001000 432114321 t.24 解解:例例计算行列式计算行列式0004003002001000;21n n 21例例4 4 证明证明n 21 .12121nnn (2)(1)对角行列式对角行列式nnnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 例例5 5 计算上计算上三角行列式三角行列式解解nnnnaaaaaa00022211211例例6?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD
12、.1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa.2于零于零还多，则此行列式必等还多，则此行列式必等素比素比阶行列式中等于零的元阶行列式中等于零的元如果一个如果一个nnn 注意注意 上三角行列式和下三角行列式统称为上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式三角行列式已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x思考题解答思考题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 4334221112341aaaat 443322111aaa
13、at ,1344332211xaaaat 343342211123421xaaaat .13 的系数为的系数为故故 x5 行列式的性质行列式的性质一、定义一、定义二、行列式的性质二、行列式的性质三、应用举例三、应用举例一、定义一、定义行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211二、行列式的性质二、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此因此行列式的性质
14、凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,571571 266853.825825 361567567361266853 互换行列式的两行互换行列式的两行 ,行列式变号行列式变号.（列）（列）推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 .0 D,DD .82582532 cc361567567361,57157132 rr266853266853.,两行，记作两行，记作交换交换jijirr.,两列，记作两列，记作交换交换jijicc 行列式的某一行（列）中所有
15、的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 k，等于用数，等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素对应行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零成比例，则此行列式为零性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.nnnininnniiniiaa
16、aaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式值不变列式值不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222
17、221111111 k例如例如三、应用举例三、应用举例 计算行列式常用方法计算行列式常用方法 利用运算利用运算 把把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值值jikrr 例例10112012120112110 D4 D例例2213132321 D例例3 计算阶行列式计算阶行列式abbbbbabbbbbabbbbbabbbbbaD bababababbbbbarrii 0000000000000000415,4,3,2.)(4(4baba 解解abbbbababbbabbabbabbbababbbbbaccc44444521 D例例5 5nnnnnk
18、nkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化化为为下下三三角角形形行行列列式式，把把作作运运算算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji.0111112nnnnnqqqqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji,nnkkqqppD1111 故故.21DD
