1、简单的线性规划问题简单的线性规划问题xyo一、线性规划在实际中的应用：一、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：例例5、
2、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg的的脂肪，脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg蛋白蛋白质，质，0.14kg脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1食物食物B含有含有0.105kg碳碳水化合物，水化合物，0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg脂肪，花费脂肪，花费21元。为元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物低，需要同时食用食物A和
3、食物和食物B多少多少kg？食物食物kg碳水化合物碳水化合物kg蛋白质蛋白质/kg脂肪脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格二、例题二、例题解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为总成本为z那么那么00671461475770006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx目标函数为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数把目标函数z28x2
4、1y 变形为变形为xyo5/75/76/73/73/76/72834zxy 它表示斜率为它表示斜率为随随z变化的一组平行直变化的一组平行直线系线系34 是直线在是直线在y轴上轴上的截距，当截距最的截距，当截距最小时，小时，z的值最小的值最小.28zM 如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可行域经过可行域上的点上的点M时，截距最小，时，截距最小，即即z最小最小.43yx M点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组6714577yxyx得得M点的坐标为：点的坐标为：7471yx所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，
5、食物食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为最低成本为16元元.例例6 6、某人准备投资、某人准备投资12001200万元兴办一所完全中学。万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）（以班级为单位）分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费16001600元，高中每人每年可收学费元，高中每人每年可收学费27002700元。那么开设
6、初中元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？学段学段班级学生数班级学生数 配备教师数配备教师数初中初中45226班班2人人高中高中40354班班2人人万元硬件建设万元教师年薪把上面四个不等式合在一起，把上面四个不等式合在一起，得到得到0y0 x2yxyx403020yx2030402030o 另外，开设的班级不能为负，则另外，开设的班级不能为负，则x0，y0.而由于资金限制而由于资金限制，26x54y22x23y1200 1200 解：设开设初中班解：设开设初中班x个，高中班个，高中班y个。因办学规模以个。因办学规模以2030个班为宜
7、，所以，个班为宜，所以，20 xy30yx2030402030o 由图可以看出，当直由图可以看出，当直线线Z7.2x10.8y经过可经过可行域上的点行域上的点M时，截距时，截距最大，即最大，即Z最大最大.设收取的学费总额为设收取的学费总额为Z万元，则目标函数万元，则目标函数Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y.Z7.2x10.8y变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关与这条直线的截距有关.54532zxy32M 易求得易求得M（20，10），则），则Zmax 7.2x10.8y 252 故开设故开设20个初中班和个初中班和10个高中班，收取
8、的学费最个高中班，收取的学费最多，为多，为252万元万元.例例7 7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 4t、硝酸盐硝酸盐1818t；生生产产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 1t、硝酸盐硝酸盐1515t.现库存磷酸盐现库存磷酸盐1010t、硝酸盐硝酸盐6666t，在此基础上生产这在此基础上生产这两种混合肥料两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多出相
9、应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？少车皮，能够产生最大的利润？解：设解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：皮数，于是满足以下条件：xyo0y0661518104xyxyx解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮车皮、乙种、乙种肥料肥料y车皮，能够产生车皮，能够产生利润利润Z万元。目标函数为万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：可行域如图：把把Zx0.5y变形为变形为y2x2z，它表示斜率为它表示斜率为2，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2z的一组直线系的一组直线系.xyo由图可以看出
10、，当直线经过可行域上的点由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，时，截距截距2z最大，即最大，即z最大最大.故生产甲种、乙种肥料各故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润为3万元万元.M 容易求得容易求得M点的坐标为点的坐标为（2，2），则），则Zmin3三、练习题三、练习题 某某厂拟厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为别为3000元、元、2000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A、B两种两种设备上加工，在每台设备上加工，在每台A、B上加工上加工1件甲所需工时分别为件甲所需工时分别为
11、1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为两种设备每月有效使用台数分别为400h和和500h.如何安排生产可使收入最大？如何安排生产可使收入最大？设每月生产甲产品设每月生产甲产品x件，生产乙产品件，生产乙产品y件，每月收件，每月收入为入为z，目标函数为目标函数为Z3x2y，满足的条件是满足的条件是0050024002yxyxyx Z 3x2y 变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关与这条直线的截距有关.223zxy23xyO400200250500 当直线经过点当直线经过点M时，截距最大，时，截距最大，Z最大最大.M解解方程组方程组5002400
12、2yxyx可得可得M（200，100）Z 的最大值的最大值Z 3x2y800故故生产甲产品生产甲产品200件，件，乙产品乙产品100件，收入最件，收入最大，为大，为80万元万元.0050024002yxyxyx四四.课时小结课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路：线性规划的两类重要实际问题的解题思路：1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数确定线性目标函数.2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较.）3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解问题的解，即结合实际情况求得最优解.
