1、会计学1专升本中值定理与导数的应用专升本中值定理与导数的应用1.1罗尔罗尔(Rolle)定理定理21.2拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理 1.3柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理微分中值定理微分中值定理函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态第1页/共79页1.1罗尔(Rolle)定理.0)(f使得使得abxyo)(xfy C12 图图1在定理的条件下在定理的条件下,区间区间 内至少存在内至少存在),(ba)(,(f一点一点 ，使得曲线在点，使得曲线在点 具有水平切线具有水平切线。几何意义：几何意义：)(xf定理定理1(Rolle)若函数若函数满足
2、条件：满足条件：,ba(1)在闭区间在闭区间上连续；上连续；),(ba(2)在开区间在开区间内可导；内可导；)()(bfaf(3),(ba则至少存在一点则至少存在一点第2页/共79页有且仅有两个实根，并指出根存在的区间有且仅有两个实根，并指出根存在的区间.)3)(2)(1()(xxxxf0)(xf例例1设设，证，证明明证证 方程方程 有解有解0)(xf3,2,1321xxx2,1 3,2在区在区间间和和上用定理上用定理1，可知，可知),3,2(),2,1(21,0)(,0)(21ff使得使得 有且仅有两个根，且分别位于有且仅有两个根，且分别位于)2,1()3,2(和和内。内。又又)(xf 0)
3、(xf为二次函数，最多有两个实根，故为二次函数，最多有两个实根，故第3页/共79页1.2拉格朗日中值定理abafbff)()()(或写成或写成).)()()(abfafbf上述公式称为上述公式称为拉格朗日中值公式。拉格朗日中值公式。,ba（1）在闭区间）在闭区间上连续；上连续；),(ba（2）在开区间）在开区间内可导；内可导；),(ba则在则在内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得定理定理2(Lagrange)设函数设函数)(xf满足条件：满足条件：也成立也成立.ab 且对于且对于第4页/共79页.),(,(ABfAB线平行于弦在该点处的切点上至少有一在曲线弧ab1 2 xCxy0ABNM几
4、何意义几何意义:)(xfy如果连续曲线如果连续曲线上除端点外处处上除端点外处处x具有不垂直具有不垂直于于轴的切线轴的切线,则则图图2推论推论 设函数设函数)(xf即即).,(,)(),(,0)(baxCxfbaxxf其中其中C为常数为常数.),(ba0)(xf在开区间在开区间内可导内可导,且且)(xf为常数为常数.则在则在),(ba内内第5页/共79页例例2 2 验证函数验证函数 12xxy2,0在区间在区间上满足拉上满足拉12xxy证证2,0为二次函数，故在为二次函数，故在上连续上连续,满足定理满足定理2的条件，从而的条件，从而)2,0(.122)0()2(ff使得使得由由1)0(,7)2(
5、ff.1得得格朗日中值定理的条件格朗日中值定理的条件,并 求 出 定 理 中并 求 出 定 理 中的的值值.在在)2,0(内可导内可导,第6页/共79页例例3 证明证明.2cotarctanxarcx证令证令,cotarctan)(xarcxxf.01111)(22xxxf,即即.2C所以所以.2cotarctanxarcxCxf)(2441cot1arctanarc又又第7页/共79页证证),1ln()(ttf设)0(),0)()0()(xxffxf ,2,0)(的条件上满足定理在xtf,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xx,11xxxx .)1ln(1xxxx 即
6、即x 0又又,11111 xx1110 x例例4 4 证明证明:当当.)1ln(1xxxx时时,第8页/共79页定义定义.00)()(lim)()()()(型未定式或常把这种极限称为在通可能存在、也可能不存极限大，那末都趋于零或都趋于无穷与时，两个函数或如果当xgxfxgxfxaxxax第9页/共79页)()(limxgxf函数之商的极限函数之商的极限 导数之商的极导数之商的极限限 转化转化00(或 型)()(limxgxf洛必达法则 本节研究本节研究:第10页/共79页0)(lim)(lim)1(00 xgxfxxxx0)(xg.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx2.
7、1 型未定式 00 定理定理1 设设)()(xgxf与满足条件满足条件:(2)在点在点0 x),(0 xUo内可导内可导,且且的某个去心邻域的某个去心邻域(3)()(lim0 xgxfxx存在或为存在或为)()(lim0 xgxfxx则则存在存在(或为或为),且且第11页/共79页bxaxxsinsinlim0例例1求求).0(b解解.coscoslimsinsinlim00babxbaxabxaxxx例例2 求求.sinlim30 xxxx616sinlim3cos1limsinlim02030 xxxxxxxxxx解解第12页/共79页xxxxx33123lim例例3 求求.01333li
8、m23lim221331xxxxxxxx解解注意:不是未定式不能用洛必达法则!第13页/共79页2.2 型未定式 定理定理2 2 设设 满足条件满足条件:)()(xgxf与0)(xg(3)存在或为存在或为 )()(lim0 xgxfxx.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx)(lim,)(lim)1(00 xgxfxxxx0 x),(0 xUo(2)在点在点内可导内可导,且且的某个去心邻域的某个去心邻域)()(lim0 xgxfxx则则存在存在(或为或为),且且第14页/共79页例例4 求求).(,lnlim Nnxxnx解解01lim1limlnlim1nxnxnxnx
9、nxxxx例例5 求求.lim310 xexx310limxexx.06lim3limlim23tttttteetetxt1,得得解令解令第15页/共79页提示提示:对对型，再利用洛必达法则求值。型，再利用洛必达法则求值。00,1,0,0,先将其转化为先将其转化为或00解决方法解决方法:转化00取倒数型0)(1)()(1)()()(xfxgxgxfxgxf即即第16页/共79页例例7 求求.lnlim0 xxnx)0(nxnxxxxx1lnlimlnlim00解解0lim0nxnx若遇有对数函数或反三角函数若遇有对数函数或反三角函数,取倒数时一般取倒数时一般应应将将对数函数对数函数或或反三角函
10、数保留在分子反三角函数保留在分子.提示提示1001limlnlimnxnxnxxxx第17页/共79页例例8 求求)().sin11(lim0 xxx)sin11(lim0 xxxxxxxxxxxxxcossin1coslimsinsinlim00解解.0sincos2sinlim0 xxxxx一般是通过一般是通过通分通分或或有理化有理化的的方法将其化为方法将其化为或00型型.解决方法解决方法:第18页/共79页,1,000先取对数先取对数,将其转化为将其转化为再转化为再转化为 0或00型型.解决方法解决方法:第19页/共79页例例9 求求.limsin0 xxx)0(0解解 设设xxysin
11、xxylnsinlnxxyxxcsclnlimlnlim000sincossinlimcossinlimcotcsc1lim0200 xxxxxxxxxxxxx)(xxxsin0lim.1lim0lnlimln00eeeyyxx于是于是,取对数得取对数得第20页/共79页10第21页/共79页.sintanlim20 xxxxx例例11 求求提示提示:先作一个等价无穷小代替，再用洛必达法先作一个等价无穷小代替，再用洛必达法则则.解解3020tanlimsintanlimxxxxxxxxx.316tansec2lim31seclim20220 xxxxxxx第22页/共79页例如,xxx21li
12、m21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1用洛必达法则1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.说明:第23页/共79页,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例例12xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1(limxxx12)若 第24页/共79页xyoxyoabABabBA3.1 函数的单调性 第25页/共79页例例1 1判定函数判定函数xxysin),(解解 函数的定义域为函数的定义域为.),(x0cos1xy0 y又又)(,2Znnx均为弧立点均为弧立点,),(在在 内内,函数函
13、数单调增加单调增加.的单调性。的单调性。第26页/共79页导数等于零的点导数等于零的点(驻点驻点)和不可导点，可能是单调区间的分界和不可导点，可能是单调区间的分界点点问题:如上图，函数在定义区间上不是单调的，但在各个 部分区间上单调定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区 间称为函数的单调区间.方法:用方程 f(x)=0 的根及 f(x)不存在的点来划分 函数 f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号。第27页/共79页12xoy12例 确定函数 f(x)=2x3 9x2+12x 3 的单调区间.解：f(x)=6x2 18x+12 =6(x 1)(x 2)令 f(x)=0，得 x
14、=1，x=2，x f(x)f(x)1 2 (,1)(1,2)(2,+)+0 0 2 1 故 f(x)的单调增区间为(,1)，(2,+)；单调减区间为 (1,2).列表讨论第28页/共79页yxo(1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点。单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点。例如例如，(2)如果函数在某驻点两边导数同号，如果函数在某驻点两边导数同号，则不改变函数的单调性。则不改变函数的单调性。例如例如，yox说明：第29页/共79页.82 的单调性讨论xxy),0()0 ,(:定义域282xy)4(222xx得令,0 y,2 ,221xxxyy)2,(20),2(02),0
15、(2),2(00例1解第30页/共79页xxy82 ,函数综上所述 )(2,)2,(；内单调增加在 .)2 ,0(,)0 ,2(内单调减少在 列表可使问题明朗化第31页/共79页 函数的单调性在证明中的应用函数的单调性在证明中的应用1.利用函数的单调性利用函数的单调性证明不等式证明不等式，x时0.1211xx例例3 证明：当证明：当证证 取取,0,0)111(2112121)(xxxxf,0,0)0()(xfxf,1211)(xxxf)(xf,0在区间在区间上单调增加，从而上单调增加，从而即即当当时时,有有，x0.1211xx第32页/共79页小结小结 利用函数增减性证明函数不等式（在某利用函
16、数增减性证明函数不等式（在某指定区间内）的指定区间内）的步骤步骤为为:(1)移项，使不等式一边为移项，使不等式一边为0,另一边设为函数另一边设为函数 ；)(xf作比较即得所证。作比较即得所证。(2)求求 f x()(xf在所指定区间的增减性；在所指定区间的增减性；,并验证并验证(3)求出区间端点的函数值，然后求出区间端点的函数值，然后)(xf由单调性由单调性第33页/共79页2.利用函数的单调性利用函数的单调性证明方程根的唯一性证明方程根的唯一性 015 xx例例1 试证方程试证方程有且仅有一个根。有且仅有一个根。),(,015)(5xxxf)(xf15 xx证令证令,有有x轴最多有一个交点，
17、即轴最多有一个交点，即 与与)(xf)(xfy),(在在上单调增加，因此曲线上单调增加，因此曲线015 xx有一个实根有一个实根.又又 最多最多,01)1(,01)0(ff即即c为上方为上方程的根。故程的根。故方程有且只有一个根方程有且只有一个根.)(xf在在 1,01,0c由零点定理可知，由零点定理可知，,0)(cf,使使上连续上连续,第34页/共79页36有且只有一个实根。有且只有一个实根。证明方程证明方程0arctan4 xx，设设xxxfarctan4)(.1)1(,4)0(ff.)(至至少少有有一一个个零零点点函函数数xf.)(至多有一个零点至多有一个零点xf.)(单单调调增增加加x
18、f0111)(2 xxf又又由连续函数的零点存在定理知，由连续函数的零点存在定理知，有有且且只只有有一一个个实实根根。0)(xf利用函数的单调性讨论方程的根。利用函数的单调性讨论方程的根。例例2 2证证第35页/共79页定义定义1 设函数设函数 在区间在区间 内有定义内有定义,)(xf),(ba),(0bax 如果存在点如果存在点 的某个邻的某个邻域域 0 x),(),(0baxU,使得对于使得对于)(),(00 xxxUx)()(0 xfxf,有有,则称则称 为为)(0 xf)(xf的的极小值极小值.称为称为 的的极小值点极小值点;0 x)(xf)(),(00 xxxUx,则称则称)(0 x
19、f若若对对)()(0 xfxf有)(xf的的极大值极大值.称为称为 的的极大值点极大值点.0 x)(xf为为极大值和极小值统称为极大值和极小值统称为极值极值;极大值点和极小值点统极大值点和极小值点统称为称为极值点极值点。第36页/共79页3.2 函数的极值 第37页/共79页第38页/共79页oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第39页/共79页第40页/共79页xyoxyo0 x0 x(是极值点情形)xyoxyo0 x0 x(不是极值点情形不是极值点情形)+第41页/共79页及及)(xf 不存在的点。不存在的点。第42页/共79页解解 函数的定义域为函数的定
20、义域为)1)(2(61266)(2xxxxxf).,(令令 ,得驻点得驻点 0)(xf1,220 xx.例例5 5 求函数求函数11232)(23xxxxf的极值。的极值。)(xf)(xf+00+有 极大 值有 极小 值x)2,(2)1,2(),1(1列表讨论列表讨论:)(xf2x21)2(f在在处取得极大值处取得极大值1x6)1(f在在处取得极小值处取得极小值第43页/共79页解解 在在 内连续内连续.当当)(xf),(0 x时时,例例6 求函数求函数3223)(xxxf的极值。的极值。,)1)(1)(1(23313132xxxx0 x)(xf 当当 时时,不存在不存在.0)(xf1x令令
21、,有有 .3343)1(222)(xxxxxf第44页/共79页列表讨论如下列表讨论如下:)(xf 不存在0极小值2极大值 0极小值2x)1,(1)0,1(),1(0,1)01)(xf+0在在 处取得极大值处取得极大值.0 x可知可知 在在 处取得极小值处取得极小值 )(xf1x2)1(f,第45页/共79页第46页/共79页定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件)0 x)(xf设设 在在 处具有二阶处具有二阶0)(0 xf导数导数,且且,那末那末0)(0 xf(3)当当 时时,)(0 xf 可能是极值可能是极值,也可能不也可能不是是极值极值.0 x0)(0 xf)(xf(2)当 时,函数
22、在 处取得极小值.)(xf0)(0 xf0 x(1)(1)当当 时时,函数函数 在在 处取得极大值处取得极大值;第47页/共79页)1(6)(),1(333)(32222xxxfxxxxxf 解解,1,10)(21xxxf令令012)1(f,012)1(,f1x是函数的极大值点是函数的极大值点,为极大值为极大值;4)1(f 是函数的极小值点是函数的极小值点,为极小值为极小值.1x4)1(fxxxf3)(3例例7求函数求函数的极值。的极值。第48页/共79页.)1()(322的极值求 xxf,),()(xxf的定义域：3312)1)(1(342)1(32)(xxxxxxf,0 ,0)(xxf得驻
23、点令,)(,1 ,1 不存在时又xfxx .1 ,0 ,1 xxx极值可疑点为故列表讨论单调性,判别极值:例5解第49页/共79页xyy)1,(1)0 ,1(0)1 ,0(1),1(极小极小极大0)2(f0)5.0(f0)5.0(f0)2(f的极小点为：)(xf;1 ,1xx极小值为：.0)1(,0)1(ff的极大点为：)(xf;0 x极大值为：.1)0(f自己总结求极值的步骤0第50页/共79页.12)(3的极值求xxxf,),()(xxf的定义域：123)(2xxf)2)(2(3xx0)(xf令,2 ,2 xx驻点,6)(xxf 又,012)2(f,16)2(,2 fx极大值为极大点故,0
24、12)2(f,16)2(,2fx极小值为极小点例6解第51页/共79页在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映到数学上就是最优化问题.优化技术应用价值很大第52页/共79页,)()1(,baxf若,)(为最大值则bf.)(为最小值af,)()2(,baxf若,)(为最大值则af.)(为最小值bf,),()()3(baCxf若 ),(内只有唯一点一个在ba极大(小)值点,则该点就是函数的最大(小)值点.第53页/共79页 ,I 0 x可疑点上只有唯一的一个极值在区间 I )(上在区间函数而由实际问题可以断定xf )()(
25、0的最必为函数值，则点小存在最大xfx.)(值点小大 )I ()(，且在处理实际问题时：若Cxf第54页/共79页 .2 ,2 52)(24上的最大和最小值在求xxxfxxxf44)(3)1)(1(4xxx ,0)(xf令:得极值可疑点)(,1 ,0 ,1驻点xxx计算函数值:;4)1(,5)0(,4)1(fff ,13)2(,13)2(ff(端点值)例8解第55页/共79页 :2 ,2 )(上的最大值和最小值为在故xf13 13,13,4 ,5 ,4maxmaxy4 13,13,4 ,5 ,4minminy .2 ,2 :xx最大值点为.1 ,1 :xx最小值点为 没有什么新的东西第56页/
26、共79页求最值的一般步骤求最值的一般步骤:2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值;设设 在在 上连续上连续.)(xf,ba1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点:kxxx,21;上的最大值上的最大值,最小者为最小值最小者为最小值.即即)(),(),(,),(),(max)(max21,bfafxfxfxfxfkbax)(),(),(,),(),(min)(min21,bfafxfxfxfxfkbax3.比较它们的大小比较它们的大小,其中最大者为其中最大者为,ba)(xf在在第57页/共79页例例8求函数求函数7186223xxxy4,1在在 上的上的最大值、最小
27、值最大值、最小值.解解4,11),3)(1(618126)(2xxxxxf得得解方程解方程,0)(xf,3,121xx不予考虑不予考虑.又又 1,47)4(,61)3(,29)1(fff上的最大值和最小值上的最大值和最小值.故故29)1(f61)3(f)(xf4,1和和分别为分别为 在在第58页/共79页第59页/共79页dhb解解 由由222bdh,得得及及261bhw),(6132bbdw.0db).3(6122bdw0w.31db 令令,得得例例9 把一根直径为把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁的圆木锯成截面为矩形的梁,问矩形截面的高问矩形截面的高h 和宽和宽d 应如何选择才能使梁
28、的应如何选择才能使梁的).612bhw抗弯截面模量最大？抗弯截面模量最大？(抗弯截面模量为抗弯截面模量为第60页/共79页由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，又由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，又在在 内只有一个根内只有一个根 0w),0(d.31db,3231222222dddbdhdh32得得.1:2:3:bhddb31当的值最大。由的值最大。由w时时,从而有从而有.2733dw 第61页/共79页(k 为某一常数)AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20AB120C解解:设,(km)xAD x则,2022
29、xCD,)34005(2xxky23)400(40052xky 总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,问Dkm,公路,例10 铁路上 AB 段的距离为120 km,工厂C 距 A 处20第62页/共79页令,0 y得,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小点,故 AD=15 km 时运费最省.从而为最小点,第63页/共79页65一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法第64页/共79页66xyo)(xfy xyo)(xfy 0)(xf0)(xf定定理理.),(,)(内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数babaxfy 上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果
30、在如果在）（,)(0)(),(1 baxfyxfba .,)(0)(),()2(上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在baxfyxfba 第65页/共79页67问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoNABM第66页/共79页68设函数设函数)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内内二阶可导二阶可导.xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y1 1、定、定理理(1 1)如如果果,0)(xf,),(bax 则曲线则曲线)(xfy 在在,ba上是上是凹的；凹的；(2 2)如如果果,0)(
31、xf,),(bax 则则曲曲线线)(xfy 在在,ba上上是是凸凸的的；凹凸区间的分界点叫拐点第67页/共79页69例例8 8.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(是曲线的拐点是曲线的拐点点点x yO3xy 第68页/共79页连续曲线上凸弧与凹弧度分界点,称为曲线的拐点.OxyOxy)(xfy)(xgy 2.曲线拐点的定义及判别法第69页/共79页 求拐点一般步骤:)(拐点的一般步骤求曲线xfy;)()()1 (或确定讨论区间的定义域
32、求xf;)(,)(,)()2(xfxfxf 如需要可求出计算;)(0)(不存在的点的点和使xfxf .)4(否确为拐点根据定理判别可疑点是 :)3(求拐点可疑点第70页/共79页.,22并求拐点的凹凸性讨论曲线xey),(:定义域为,22xxey,)1(222xexy :0 得拐点可疑点令 y)(1 ,1横坐标xxxy y)1 ,(1)1 ,1(1),1(00拐点拐点例4解第71页/共79页,),1()1,(内为凹的及在.1),1(内为凸的在.),1 (),1(2121为其拐点及点eeOxy1122xey:22xey曲线第72页/共79页,0 )2.5 ,2(2的拐点为曲线已知点ybxayx
33、.,的值求ba.0 :2bx由题意 ,得由隐函数求导法则,22bxayxy,)(246222bxybxayxy .0 :1 y由拐点的必要条件得 :5.2,2 代入得以yx(1)05860ba例6解 :,得其坐标满足曲线方程又拐点在曲线上 (2)05.2210ba ,)2(,)1(解之得成方程组联立,320a.34b第73页/共79页75例例9 9.14334的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹凹凸凸凹凹拐点拐点拐点拐点)
34、1,0()2711,32(第74页/共79页76).,32,32,0,0,(凹凸区间为凹凸区间为第75页/共79页77例例1010解解拐点的求法：拐点的求法：1.1.找出二阶导数为零的点或不可导点；找出二阶导数为零的点或不可导点；2.2.若它两边的二阶导数值异号若它两边的二阶导数值异号,则为拐点则为拐点,若同号则不是拐点若同号则不是拐点.3的的拐拐点点求求曲曲线线xy ,0时时当当 x,3132 xy,9235 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,(y内内但在但在,0,),0(y内内在在.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 第76页/共79页78例例11
35、11.32的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解当当0 x和和当当0 x时时,均均有有0 y,，3132 xy，3494 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx 故故)0,0(不不是是拐拐点点.第77页/共79页,0 )2.5 ,2(2的拐点为曲线已知点ybxayx .,的值求ba.0 :2bx由题意 ,得由隐函数求导法则,22bxayxy,)(246222bxybxayxy .0 :1 y由拐点的必要条件得 :5.2,2 代入得以yx(1)05860ba例6解 :,得其坐标满足曲线方程又拐点在曲线上 (2)05.2210ba ,)2(,)1(解之得成方程组联立,320a.34b第78页/共79页
