1、概率模型概率模型（一）传送系统的效率问题（一）传送系统的效率问题（二）（二）报童的诀窍报童的诀窍（三）航空公司的超额订票问题（三）航空公司的超额订票问题 确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型数学期望数学期望离散型随机变量离散型随机变量 X 的概率分布为的概率分布为),2,1()(nipxXPii则随机变量则随机变量 X 的
2、数学期望值为的数学期望值为),2,1()(nipxXEii连续型随机变量连续型随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为)(xf则随机变量则随机变量 X 的数学期望值为的数学期望值为dxxxfXE)()(期望值反映了随机变量取值的期望值反映了随机变量取值的“平均平均”意义！意义！传送系统的效率l在机械化生产车间里，你可以看到这样的情景：排列整齐的工作台旁工人们紧张的生产同一种产品，工作台上方一条传送带在运转，带上若干个钩子，工人们将产品挂在经过他上方的钩子上带走，当生产进入稳态后，请大家构造一个衡量传送系统效率的指标，并建立模型描述此指标与工人数量、钩子数量等参数的关系。效率：工人所生产的
3、产品数，传送系统带走的产品数，稳态：工人生产一件产品的时间长短相同，即，生产周期相同，当生产进入稳态后，工人生产一件产品的时刻再一个周期那是等可能，工人的生产是相互独立的。钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子为空钩。模型的建立：工人人数n个 钩子个数 m个 带走的产品数s个 定义：当生产进入稳态后，衡量传送系统 效率的指标，在一个生产周期内 D带走的产品数/生产的产品数 s/n S的确定：与空钩个数有关 从工人角度：每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率与工人位置有关。从钩子的角度：钩子无次序，处于同等地位，在一周期内，m个钩子求出非空的概率p，则s=mplP的确定 任一只钩子被一名工人触
4、到的概率：任一只钩子不被一名工人触到的概率：工人相互独立，任一只钩子不被n名工人挂产品的概率：任一只钩子非空的概率为 l则传送系统效率为：d=s/n=mp/n =)11(1 nmnmnmmnmnnmnnmD211)2)1(1(1 2当n10,m=40%5.87D报童的诀窍报童的诀窍1.确定设计变量和目标变量确定设计变量和目标变量2.确定目标函数的表达式确定目标函数的表达式l每天的总收入为目标变量每天的总收入为目标变量l每天购进报纸的份数为设计变量每天购进报纸的份数为设计变量3.寻找约束条件寻找约束条件l寻找设计变量与目寻找设计变量与目标变量之间的关系标变量之间的关系l设计变量所受的限制设计变量
5、所受的限制若每天购进若每天购进 0 份，份，则则收入为收入为 0。若每天购进若每天购进 1 份，份，售出，则售出，则收入为收入为 a-b。退回，则退回，则收入为收入为(b-c)。若每天购进若每天购进 2 份，份，售出售出1份，则份，则收入为收入为 a-b(b-c)。退回，退回，则则收入为收入为 2(b-c)。售出售出2份，则份，则收入为收入为 2(a-b)。收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。1 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为
6、G(n)3 每天需求量为每天需求量为 r 的概率的概率 f(r),r=0,1,22 售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-cnr nr nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n)最大最大每天的收入函数记为每天的收入函数记为U(n)，则，则rnnbarnrncbrbarnU )()()(),(收入函数的期望值为收入函数的期望值为rbar)(赚售出)(rncbrn赔退回nban)(赚售出nndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()()(将r视为连续变量概率密度）()()(rprfdndGnndrrpbadrr
7、pcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0dndGnndrrpbadrrpcb0)()()()(使报童日平均收入达到最大的购进量使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足上式。应满足上式。因为cabadrrpn0)(10drrp 10drrpdrrpnn售完的售完的概率概率cbbadrrpdrrpnn)()(0因为当购进n份报纸时，drrpPn01是需求量r不超过n的概率 drrpPn2是需求量 超过rn的概率售不完的售不完的概率概率上式意义为：购进的份数上式意义为：购进的份数n之比，
8、恰好等于卖出一份赚的钱之比，恰好等于卖出一份赚的钱ba与退回一份赔的钱与退回一份赔的钱cb之比。之比。应该使卖不完与卖完应该使卖不完与卖完的概率的概率根据需求量的概率密度 rp的图形可以确定购进量n在图中用21,PP分别表示曲线下的两块面积，则cbbaPP21 rpO n r1P2Pcbbadrrpdrrpnn)()(0当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。时，报童购进的份数就应该越多。结论注意注意l求解技巧：求解技巧：连续化连续化l建模方法：建模方法：从特殊到到一般从特殊到到一般归纳抽象归纳抽象201
9、9年年B题题 灾情巡视路线灾情巡视路线单旅行商到多旅行商单旅行商到多旅行商2019年年B题题 钻井布局钻井布局网格的平行移动到旋转运动网格的平行移动到旋转运动2000年年B题题 钢管的订购与运输钢管的订购与运输线形到树形线形到树形2000年年C题题 飞越北极飞越北极球形到椭球形球形到椭球形人口模型，战争模型人口模型，战争模型l随机变量的目标函数：随机变量的目标函数：期望值期望值航空公司的超额订票模型航空公司的超额订票模型 利用上述模型计算，若每份报纸的购进价利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为为0.750.75元，售出价为元，售出价为1 1元，退回价为元，退回价为0.60.6元，元，需求量服
10、从均值需求量服从均值500500份，均方差份，均方差5050份的正态份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？均收入最高，最高收入是多少？cbbadrrpdrrpnn)()(03515.025.0)(1)(00cbbadrrpdrrpnncbbadrrpdrrpnn)()(03515.025.0)(1)(00cbbadrrpdrrpnn625.085)(0ndrrp625.0)0()(n625.0)10()50500(n125.0 5.0625.0)50500(n32.050500n516n查概率积分表得1 问题的提出问题的
11、提出航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损。试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。2 问题分析问题分析公司的经济利益公司的经济利益公司的社会声誉公司的社会声誉利润利润=收入收入-成本成本-赔偿金赔偿金已订票但被挤掉的乘客的数量已订票但被挤掉的乘客的数
12、量怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤掉的乘客的数量尽可能小。掉的乘客的数量尽可能小。问题转化为问题转化为以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。订票策略：订票策略：为了航空公司的经济利益与社会声誉，为了航空公司的经济利益与社会声誉，确定预订票的最佳数量。确定预订票的最佳数量。3 模型假设模型假设l飞机容量为常数 n，机票价格为常数 g，飞行 费用为常数 r。机票价格按照 来制订，其中 是利润调节因子，如 表示飞机60%满员就不亏本。nrg)1(6.0l预订票数量的限额为常数 m(n)，每位
13、乘客不按时前来登机的概率为 p，各位乘客是否按时登机是相互独立的。l每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b。4 模型建立模型建立l先不考虑社会声誉的影响。公司的经济利益用平均利润（数学期望）来衡量订票的总人数是 m，m有可能超出 n航空公司可能从航班中得到的利润为nkmbnkmrngsnkmrgkms ,)(,当有 k个人误机时，k个人误机的概率是 ，kP平均利润 即(数学期望值)，S10)()(nmkmnmkkkrgkmPbnkmrngPmS设有 pqqpCPkmkkmk1,s1 ,00mkkmkkPmpkP10)(nmkkknmPgbrqmgmS由得当 给定后，可以求 m 使 最大。bprg
14、n,)(mS10)()(nmkmnmkkkrgkmPbnkmrngPmS1010nmkknmkkrgkmPrgkmP100)()()(nmkmkkkrgkmPrgkmbnkmrngPmS10)(nmkkknmPgbrqmgmS1000)()()()(nmkmkmkkkkrmgPgkPnkmPgbmS10)()()(nmkkrmgmpgnkmPgbmS考虑到社会声誉，应该要求被挤掉的乘客不能太多。而由于被挤掉者的数量是随机的。用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为衡量标准。设被挤掉的乘客数超过 人的概率为 ，则j)(mPj10)(jnmkkjPmP被挤掉的乘客数超过 j 人等价于m位预订票的乘客中
15、不按时前来登机的不超过 m-n-j 人。l从社会声誉和经济利益两方面考虑nm-njm-n-j所建模型为双目标的优化模型10)(maxnmkkknmPgbrpmgmS10)(minjnmkkjPmP116.0110nmkkknmPgbpmnrS模型变形航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是航班载客量的60%，即rng 6.0116.01)(max10nmkkknmPgbpmnrSmJ10)(minjnmkkjPmP10)(.jnmkkjPmPts116.01)(max10nmkkknmPgbpmnrSmJ10计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设 05.0p20./gb5
16、 模型求解模型求解m300302304306308310312314316P5000000.00050.00440.02320.0791J10.58330.59390.60440.61500.62540.63550.64450.65190.6568m318320322324326328330332334P50.19310.36270.55580.72950.85650.93350.9730J10.65940.66000.65920.65770.65580.65370.6517结果表明：当超额订票的乘客数分别为20和36时，可以达到最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率分别为36%和5
17、4%。当超额订票的乘客数分别为18和36时，可以达到较大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为20%和30%。1.0p20./gbm300302304306308310312314316P5000000000J20.50000.51000.52000.53000.54000.55000.56000.57000.580031832032232432632833033233433600.00020.00080.00300.00930.02430.05470.10740.18690.29220.59000.59990.60970.61930.62830.63650.64360.6492
18、0.65330.65596 模型推广模型推广1）酒店酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再接受有过失信记录的顾客的预订。一些酒店在接受预订时会要求顾客交纳押金，以此来确保顾客住房的概率（施行这种方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多），而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。这种多价格系统的经营方式是可以考虑的。3）图书馆图书馆都有可能购买一些畅销书籍的多种版本。特别是在学院或大学图书馆里，时常购买一系列课本。某些版本极有可能仅限在图书馆内，以方便学生们的使用。可以尝试建立书籍使用的模型。2）汽车出租公司汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内）
19、以出租给顾客。出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折，以此来确保公司能有最低量的收入。而一些长期出租品（一次出租一周或一个月）也会标上优惠的价格，因为这给出了一个至少确定了未来的一段日子会有收入的策略。在预测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可能充分地留出比它们计划中要多的汽车。求解双（多）目标的优化模型求解双（多）目标的优化模型l根据对多目标的偏好程度，通过加权组合形式，化为单目标规划问题。l把一个目标作为约束条件，解另一个目标的规划问题。7 注意注意 假设在某一高校里只有两类餐厅，一类是学校假设在某一高校里只有两类餐厅，一类是学校公办餐厅，另一类是私人的承包餐厅，通过调查发现，公办餐厅，另一类是私人的承包餐厅，通过调查发现，在公办餐厅就餐的学生有在公办餐厅就餐的学生有60%60%会回到这类餐厅，而在承会回到这类餐厅，而在承包餐厅就餐的学生有包餐厅就餐的学生有50%50%的回头率，试建立数学模型求的回头率，试建立数学模型求解学生在每类餐厅长期就餐的百分比。解学生在每类餐厅长期就餐的百分比。课堂练习课堂练习学生就餐问题学生就餐问题
