1、案例案例3 3 降落伞的选择降落伞的选择 为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长共16根绳索连接的载重m位于球心正下方球面处，如图。问题问题 每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。r(m)2 2.5 3 3.5 4 C1(元)65 170 350 660 1000 降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=30
2、0kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻t的高度，见表2。试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。如果救灾物资以每袋100kg或200kg等包装空投(每降落伞可多包捆扎空投，但不可将一包分开)，降落伞的选购方案如何？t(s)0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 X(m)500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 一、问题分析一、问题分析由题意，每种伞的价格是确定的，建模目的，要确定降落伞的选购方案即共需要多少个伞，每个伞的半径多大（在给定的半径的伞中选），在满
3、足空投要求的条件下，使费用最低思路思路确定每种伞在满足空投的条件下最大载重量)(rM用最小二乘法确定空气阻力系数k建立线性整数规划，运用分枝定界法(Lingo软件)求解二、假设与记号二、假设与记号假假设设1.救灾物资2000千克可以任意分割2.降落伞落地时的速度不超过20 m/s3.降落伞以及绳索的质量可以不计4.伞在降落过程中，只受到重力和一个可以认为是非重 力因素共同作用的合力的空气阻力的作用5.空气阻力的阻力系数k是定值与其他因素无关记记号号:)(rM表示半径为r伞在满足空投条件最大的载重量:k空气阻力系数:t降落伞从开始下降计时的时间:)(tH降落伞从降落位置到t时刻所下降的距离:m降
4、落伞负重质量:s降落伞伞面面积:rn选购的半径为r的降落伞的个数三、模型的建立与求解三、模型的建立与求解1.1.确定空气阻力系数确定空气阻力系数 k0)0(vmkvsgdtdv（1）tmkseksmgksmgtv)(（2）tdttvtH0)()(（3）222222)(skgmeskgmksmgttHtmks（4）对给定r=3(m)，m=300(kg)附表数据，确定kt(s)0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 H(m)0 30 75 128 183 236 285 340 392 445 499法一法一由附表数据处理得从 t-H 关系表可以看出后阶段基本是线性关系即后阶段降
5、落伞是作匀速运动kvsmg 由9.2,/17ksmv法二法二tmkseksmgksmgtv)(v(t)一开始增长是较快，但很快接近于极限值ksmgvt可以知道9秒以后是近似于匀速运动bvttH)(利用Matlab9575.2,/5794.17ksmv2.2.求取半径为求取半径为 r r 伞在满足空投的条件最大的载重量伞在满足空投的条件最大的载重量)(rM由tmkseksmgksmgmv)()(mv是关于 m增函数是关于 v增函数)(vm 由222222)()(skgmeskgmksmgttHeksmgksmgtvmksttmks（5）t消去ksmvskmgksvgmH)/()1ln(222（6
6、）由 H=500，v=20，k=2.9575代入 M(2)M(2.5)M(3)M(3.5)M(4)151.695 237.023 341.313 464.565 606.779取整 152 237 341 465 6073.3.计算每种伞的单价计算每种伞的单价半径为 r伞用绳索总长度：)2(16r r 2 2.5 3 3.5 4 c1 65 175 350 660 1000 c2 181.02 226.27 271.53 316.78 362.04 c3 200 200 200 200 200 c 446.02 596.27 821.53 1176.78 1562.04取整 c 446 596
7、 822 1177 15624.确定降落伞个数确定降落伞个数15621177822596446min45.335.22nnnnnY2000607463341237152.45.335.22nnnnnts运用分枝定界法(lingo软件)0,0,6,0,045.335.22nnnnn总费用为4932元需要选购半径为3 m的降落伞6把，每个降落伞的承受的质量可以按照3334+3342分配方式结结果果四、模型的检验及推广四、模型的检验及推广1.上面 r=3，运动后期降落伞作近似匀速运动拟合 k.可以检验r 2 2.5 3 3.5 4M(r)151.695 237.023 341.313 464.565 606.779 S 25.133 39.27 56.549 76.969 100.531M/s 6.03574 6.03573 6.03579 6.035739 6.035739通过对降落伞的运动情况进行检验gkvsm2.由 t-v关系可以看出降落伞的大幅度加速过程就很快结束，对给定的承载质量很快进入近似匀速运动，而且速度与空投高度基本上无关.所以空投高度并不十分重要，只要能保证空投位置准确.3.一般模型)()()(min2121lrlrrnrcnrcnrcYMnrMnrMnrMtslrlrr)()()(.2121
