1、6.2 柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理和不定式极限一、柯西一、柯西(Cauchy)中值定理中值定理二二.洛必达法则洛必达法则三、小结三、小结一、柯西一、柯西(Cauchy)中值定理中值定理()Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBC,.LagrangeABCAB由中值定理知在光滑曲线弧上至少有一点在该点处的切线平行于弦考虑用参数方程来表示():,()XF xABYf x设的参数方程为,AB曲线弧axb,x其中 是参数 于是(,)ABX Y曲线弧上各点处的切线斜率为:()()dYfxdXF x()():()()f bf aABF bF a弦的斜率为,:从而 可得柯西（柯西（Ca
2、uchy）中值定理）中值定理 几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 ,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbfLagrange中值定理是Cauchy中值定理的特例,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf(,),()0.a b 则在内至少存在一点使得()0,()0)Ff否则与(3)矛
3、盾()0F证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x 例例4 4).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(2)
4、(fff 即即例证明:(),(0),(,),f xa b aa b若函数在上连续 在内可导(,),:()()()lnba bf bf afa则至少存在一点使()ln,xx xa b令F(0)a,(),(),f xxa b容易验证F在上满足Cauchy定理条件(,),:a b故至少存在一点使()()().()()()f bf afF bF aF()()()lnlnlnxf bf afbax即 ()()()lnbf bf afa.00)()(lim,)()(,)()(型未定式型未定式或或称为称为那末极限那末极限大大都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与两个函数两个函数时时或或如果当如果当 x
5、FxfxFxfxaxxax二二.洛必达法则洛必达法则 1.0:0型及型未定式解法 洛必达法则定义定义例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(1),()();(2),()(),()0;()(3)lim(,);()()()limlim.()()xaxaxaxaf xF xafxF xF xfxA AF xf xfxAF xF x设当时 函数及都趋于零在点的某去心邻域内及都存在 且可为实数 也可为或那末定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的
6、值的方法称为洛必达法则.,.xxaxax 当时 以及时 该法则仍然成立0,0 xa型 洛必达法则(1),()();(2),()(),()0;()(3)lim(,);()()()limlim.()()xxxxf xF xfxF xF xfxA AF xf xfxAF xF x +设当时 函数及都趋于零在的某邻域(c,+)内及都存在 且可为实数 也可为或那末定理定理例如例如 ,:x 当时 有证证定义辅助函数定义辅助函数,0),()(1 axaxxfxf,0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯
7、西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有1111()()()()()()f xfxf aF xF xF a()()xxfF()xxa在 与 之间,xxaa当时,)()(limAxFxfax ()lim,()xxaxfAF()()limlim.()()xxxaaxff xAF xF例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111l
8、imxxx 原式原式221limxxx .1)00(-(1)lim()lim();(2)(),()(),()0;()(3)lim(,);()()()limlim.()()xaxaxaxaxaf xF xaUafxF xF xfxA AF xf xfxAF xF x 设在点的某左邻域内及都存在 且可为实数 也可为或那末定理定理,xa型 洛必达法则证明分析:,于是0,ayxa若由柯西定理()1()()1()f yf xF yF x()()()()f xf yF xF y()()fF()yx,0,xa由于 当时00,:xaya故总可以令较快些 以使得()()0,0()()f yF yf xF x(0
9、,0)xayaxa0axy(),()f xF x ()()f xF x,.于是 命题得证,要证,0,0,0 xa 即证当时,有:xa0axy()lim()xaf xAF x()()f xAF x技巧()()()()()()()()()()()()f xf xf xf yf xf yAAF xF xF xF yF xF y22证明:()lim(),()xafxAF x实数,:yxax对满足不等式的每一个 有()()2fxAF x(2),fF由条件和 满足由柯西定理条件(,)(,),:y xy a故存在使()()()()()()f xf yfF xF yF()()()()2f xf yAF xF
10、y,另外()()()()()()f xf xf yF xF xF y0,()yUa ()1()()()1()()()1()F yf xf yF xf yF xF yf xxa0axy,0,xa由于 当时()(),0,0()()f yF yyf xF x对固定的()(),()()f xf yF xF y又为有界量()()()0()()()f xf xf yF xF xF y0,(,)(,),:xaay a 即存在有()()()()()()2f xf xf yF xF xF y()()f xAF x()()()()f xf yAF xF y(),lim()xaf xAF x于是()()()()()
11、()f xf xf yF xF xF y(),()f xF x xa0axya例例4 4解解0ln sinlim.ln sinxaxbx求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式.1)(axbxxcoscoslim0 类似地证明,A 或 的情形,xa型,xa型 洛必达法则可类似地给出,x 型,x 型,x 型例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 .3)(注意
12、：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310.31 不是不定式的极限不能应用洛比达法则计算,否则会导致错误.在应用洛必达法则计算不定式的极限时,可能会出现 说明:000,0,1,型未定式解法例例7 7解解.lim2xxex 求求)0(xexx2lim 原式原式2limxxe 2limxxe.关键关键:将其它类
13、型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()(1).0 型步骤步骤:,10 .0100 或或2.例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 .0 2).型步骤步骤:步骤步骤:003).0,1,型00 ln0ln100 ln01eee=.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 例例1010解解.lim111xxx 求
14、求)1(xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件说明
15、:例32解(),0()0,0g xxf xxx设(0)(0)0,(0)3,(0).gggf且已知试求2()(0)()0f xfg xxx:由洛必达法则得(0)f 20()limxg xx0()lim2xg xx01()(0)lim20 xg xgx1(0)2g错(0)f 20()limxg xx0()lim2xg xx320()lim2xgx1(0)2g解例211lim 1nnnn解:211limln 1211lim 1xxxxxxexx222ln1ln11limln 1lim1xxxxxxxxx222112lim1xxxxxx222lim1xxxxx1由归结原理:211lim 1nnnn21
16、1lim 1xxxxe求极限先求函数极限Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理来源于同一个几何模型。并且它们有如下关系来源于同一个几何模型。并且它们有如下关系:注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 思考题思考题思考题解答思考题解答不
17、一定不一定例例,sin)(xxxf xxg)(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在一、一、填空题：填空题：1 1、洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00”，及”，及“”两种”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题.2 2、xxx)1ln(lim0=_.=_.3 3、xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题010001 1 二、二、用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ；2 2、xxxarctan)11ln(lim；3 3、xxx2cotlim0；4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim；6 6、xxxtan0)1(lim；7 7、xxx)arctan2(lim .练习题答案练习题答案
