1、2022-12-8数学建模数学建模与数学实验数学建模与数学实验 最短路问题最短路问题2022-12-8数学建模实验目的实验目的实验内容实验内容2会用会用MATLAB软件求最短路软件求最短路1了解最短路的算法及其应用了解最短路的算法及其应用1图图 论论 的的 基基 本本 概概 念念2最最 短短 路路 问问 题题 及及 其其 算算 法法3最最 短短 路路 的的 应应 用用4建模案例：最优截断切割问题建模案例：最优截断切割问题5实验作业实验作业2022-12-8数学建模图图 论论 的的 基基 本本 概概 念念一、一、图图 的的 概概 念念1图的定义图的定义2顶点的次数顶点的次数 3子图子图二、二、图
2、图 的的 矩矩 阵阵 表表 示示1 关联矩阵关联矩阵2 邻接矩阵邻接矩阵返回返回2022-12-8数学建模定义定义有序三元组G=(V,E,)称为一个图图,如果：图的定义图的定义2022-12-8数学建模定义定义定义定义规定用记号和分别表示图的顶点数和边数.2022-12-8数学建模2022-12-8数学建模返回返回2022-12-8数学建模顶点的次数顶点的次数4()4dv5)(3)(2)(444vdvdvd2022-12-8数学建模定理定理)(2)()(GvdGVv推论推论任何图中奇次顶点的总数必为偶数例例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.返回返回2022-12-8数学建模子图子图
3、返回返回2022-12-8数学建模关联矩阵关联矩阵注：假设图为简单图返回返回2022-12-8数学建模邻接矩阵邻接矩阵注：假设图为简单图2022-12-8数学建模无向赋权图的邻接矩阵可类似定义返回返回2022-12-8数学建模最最 短短 路路 问问 题题 及及 其其 算算 法法一、一、基基 本本 概概 念念二、固二、固 定定 起起 点点 的的 最最 短短 路路三、每三、每 对对 顶顶 点点 之之 间间 的的 最最 短短 路路返回返回2022-12-8数学建模基基 本本 概概 念念通路44112544141vevevevevWvv道路4332264521141vevevevevevTvv路径45
4、21141vevevPvv2022-12-8数学建模定义定义（）任意两点均有路径的图称为连通图连通图（）起点与终点重合的路径称为圈圈（）连通而无圈的图称为树树返回返回2022-12-8数学建模固固 定定 起起 点点 的的 最最 短短 路路最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路 假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树 因此,可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路2022-12-8数学建模2022-12-8数学建模算法步骤：算法步骤：（4）若S，转 2，否则，停止.（2）更新l v()、z v()：vSVS,若l v()l uW u
5、v()(,)则令l v()=l uW u v()(,),z v()=u2022-12-8数学建模 TO MATLAB(road1)2022-12-8数学建模2022-12-8数学建模 1 2 34 5 6 7 8返回返回uuuuuuuu2022-12-8数学建模每每 对对 顶顶 点点 之之 间间 的的 最最 短短 路路(二二)算算法法原原理理1求距离矩阵的方法求距离矩阵的方法2求路径矩阵的方法求路径矩阵的方法3查找最短路路径的方法查找最短路路径的方法（一）算法的基本思想（一）算法的基本思想（三）算法步骤（三）算法步骤返回返回2022-12-8数学建模算法的基本思想算法的基本思想返回返回2022
6、-12-8数学建模算法原理算法原理 求距离矩阵的方法求距离矩阵的方法返回返回2022-12-8数学建模算法原理算法原理 求路径矩阵的方法求路径矩阵的方法)()0()0(ijrR,jrij)0(每求得一个 D(k)时，按下列方式产生相应的新的 R(k)否则若)1()1()1()1()(kkjkikkijkijkijdddrkr在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R 即当k被插入任何两点间的最短路径时，被记录在R(k)中，依次求 时求得 ，可由 来查找任何点对之间最短路的路径)(D)(R返回返回)(Rv2022-12-8数学建模i j算法原理算法原理 查找最短路路径的方法查找最短路路径的方法若1)(
7、prij，则点 p1是点 i 到点 j 的最短路的中间点.pkp2p1p3q1q2qm则由点i到j的最短路的路径为：jqqqpppimk,21,12返回返回2022-12-8数学建模算法步骤算法步骤Floyd 算法：算法：求任意两点间的最短路(2)更新 d(i,j),r(i,j)对所有 i,j，若 d(i,k)+d(k,j)d(i,j)，则 d(i,j)d(i,k)+d(k,j),r(i,j)k(3)若 k=，停止否则 kk+1，转（）2022-12-8数学建模例例 求下图中加权图的任意两点间的距离与路径 TOMATLAB(road2(floyd)53334343315432433323444
8、41,0646960243420256420793570RD951d，故从 v5到 v1的最短路为51r所以从 v5到 v1的最短路径为：1435.返回返回2022-12-8数学建模最最 短短 路路 的的 应应 用用一、一、可化为最短路问题的多阶段决策问题可化为最短路问题的多阶段决策问题二、二、选选 址址 问问 题题1 中心问题中心问题2 重心问题重心问题返回返回2022-12-8数学建模可化为最短路问题的多阶段决策问题可化为最短路问题的多阶段决策问题 例例 1 设备更新问题：企业使用一台设备，每年年初，企业领导就要确定是购置新的，还是继续使用旧的.若购置新设备，就要支付一定的购置费用；若继续
9、使用，则需支付一定的维修费用.现要制定一个五年之内的设备更新计划，使得五年内总的支付费用最少.已知该种设备在每年年初的价格为：第一年第二年第三年第四年第五年1111121213 使用不同时间设备所需维修费为：使用年限0112233445维修费56811182022-12-8数学建模2022-12-8数学建模（3）问题转化为顶点Xb1到Xrk6()的最短路问题.五年的最优购置费为 kbrkd XX1 2 3 4 516,()min(,)其中 d(Xb1,Xrk6()为顶点Xb1到Xrk6()的最短路的权.2022-12-8数学建模返回返回2022-12-8数学建模 选址问题选址问题-中心问题中心
10、问题则kv就是要求的建立消防站的地点此点称为图的中心点中心点 TO MATLAB(road3(floyd)2022-12-8数学建模05.15.55.86475.10475.45.25.55.54032475.8730571065.42502545.24720375.5710530DS(v1)=10,S(v2)=7,S(v3)=6,S(v4)=8.5,S(v5)=7,S(v6)=7,S(v7)=8.5S(v3)=6,故应将消防站设在v3处.返回返回2022-12-8数学建模 选址问题选址问题-重心问题重心问题返回返回2022-12-8数学建模实验作业实验作业 生产策略问题生产策略问题：现代化生
11、产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率.生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会.可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便适时调整生产率，获取最大收益.某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增.若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损失费C3=0.4元.假定生产率每调整一次带有固定的调整费C1=1万元，问：工厂应如何制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小？返回返回
