1、 1.1 用图解法求解下列线性规划问题。并指出问用图解法求解下列线性规划问题。并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。行解。0,422664.32min)1(21212121xxxxxxstxxZ0,124322.23max)2(21212121xxxxxxstxxZ85105120106.max)3(212121xxxxstxxZ0,23222.65max)4(21212121xxxxxxstxxZ是一个最优解无穷多最优解，3,31,10,422664.32min)1(2121212121ZxxxxxxxxstxxZ该问题无解
2、0,124322.23max)2(21212121xxxxxxstxxZ16,6,1085105120106.max)3(21212121ZxxxxxxstxxZ唯一最优解，该问题有无界解0,23222.65max)4(21212121xxxxxxstxxZ 1.2 1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。将下述线性规划问题化成标准形式。.,0,2321422245243min)1(43214321432143214321无约束xxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxZ无约束321321321321,0,0624322min)2(xxxxxxxxxstxxxZ.,0,23214222452
3、43min)1(43214321432143214321无约束xxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxZ0,232142222455243max64241321642413215424132142413214241321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxZ无约束321321321321,0,0624322min)2(xxxxxxxxxstxxxZ0,6243322max43231214323121323121323121xxxxxxxxxxxxxxstxxxxZ 1.3 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行
4、解，并确定最优解。些是基可行解，并确定最优解。）（6,1,0031024893631223max)1(6153214321321jxxxxxxxxxxxstxxxZj)4,1(,0322274322325min)2(432143214321jxxxxxxxxxstxxxxZj）（6,1,0031024893631223max)1(6153214321321jxxxxxxxxxxxstxxxZj基可行解x1x2x3x4x5x6Z03003.503001.5080300035000.7500022.252.25)4,1(,0322274322325min)2(432143214321jxxxxxx
5、xxxstxxxxZj基可行解x1x2x3x4Z00.5205001152/5011/5043/5 1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。法中可行域的哪一顶点。0,825943.510max)1(21212121xxxxxxstxxZ 0,24261553.2max)2(21212121xxxxxxstxxZ l.5 上题上题(1)中，若目标函数变为中，若目标函数变为max Z=cx1+dx2，讨论讨论c,d的值如何变化，使该问题可行域
6、的每个顶点依的值如何变化，使该问题可行域的每个顶点依次使目标函数达到最优。次使目标函数达到最优。解：得到最终单纯形表如下：解：得到最终单纯形表如下：Cjcd00CB基bx1x2x3x4dx23/2015/14-3/4cx1110-2/1410/35j00-5/14d+2/14c 3/14d-10/14c 当当c/d在在3/10到到5/2之间时最优解为图中的之间时最优解为图中的A点；当点；当c/d大于大于5/2且且c大于等于大于等于0时最优解为图中的时最优解为图中的B点；当点；当c/d小于小于3/10且且d大于大于0时最优解为图中的时最优解为图中的C点；当点；当c/d大于大于5/2且且c小于等于
7、小于等于0时或当时或当c/d小于小于3/10且且d小于小于0时最优解时最优解为图中的原点。为图中的原点。式中，式中，1c13,4c26,-1a113,2a125,8b112,2a215,4a226,10b214,试确定试确定目标函数最优值的下界和上界。目标函数最优值的下界和上界。0,.max21222212112121112211xxbxaxabxaxastxcxcZ l.6 考虑下述线性规划问题：考虑下述线性规划问题：最优值（上界）为：最优值（上界）为：2121 0,14421221.63max21212121xxxxxxstxxZ 解：上界对应的模型如下（解：上界对应的模型如下（c,b取大
8、，取大，a取小）取小）最优值（下界）为：最优值（下界）为：6.46.40,1064853.4max21212121xxxxxxstxxZ 解：下界对应的模型如下（解：下界对应的模型如下（c,b取小，取小，a取大）取大）l.7 l.7 分别用单纯形法中的大分别用单纯形法中的大M M法和两阶段法求解法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪下列线性规划问题，并指出属哪类解。类解。该题是无界解。）（3,1,00222623max)1(3231321321jxxxxxxxxstxxxZj6,0,54,590,623824.32min)2(3212121321321ZxxxxxxxxxxstxxxZ最
9、优解之一：该题是无穷多最优解。517,0,1,59,524,1,042634334max)3(43214213212121ZxxxxjxxxxxxxxxstxxZj该题是唯一最优解：）（该题无可行解。）（3,1,052151565935121510max)4(321321321321jxxxxxxxxxxstxxxZj 1.8 1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形法迭代后得到下面表格，试求括弧中未知数纯形法迭代后得到下面表格，试求括弧中未知数a a l值。值。项 目X1X2X3X4X5X46(b)(c)(d)10X51-13(e)01CjZj
10、a-1200X1(f)(g)2-11/20X54(h)(i)1 1/21CjZj0-7jk(l)b=2,c=4,d=-2,g=1,h=0,f=3,i=5,e=2,l=0,a=3,j=5,k=-1.5 1.9 若若X(1)、X(2)均为某线性规划问题的最优解，均为某线性规划问题的最优解，证明在这两点连线上的所有点也是该问题的最优解。证明在这两点连线上的所有点也是该问题的最优解。也是最优解。所以也是可行解，且满足：两点连线上的点对于任何满足：和设XXCXCXaCaXCXaCaXCXCXaaXXXaXbAXXCZXXTTTTTTTT,)1()1(,100max)2()2()2()1()2()1()2
11、()1()2()1(1.10 1.10 线性规划问题线性规划问题max Zmax ZCX,AXCX,AXb b，X0X0，设，设X X0 0为问题的最优解。若目标函数中用为问题的最优解。若目标函数中用C C*代替代替C C后，问题后，问题的最优解变为的最优解变为X X*，求证，求证(C(C*-C)(X-C)(X*-X-X0 0)0)00)()()(;0max;0max0*00*0*00XXCXXCXXCCXCXCXCZXCXCXCXZX的最优解，故是的最优解，故是 1.11 1.11 考虑线性规划问题考虑线性规划问题0,)(75232)(24.42min432143214214321xxxxi
12、ixxxxixxxstxxxxZ 模型中模型中，为参数，要求：为参数，要求：(1)(1)组成两个新的约束组成两个新的约束(i)(i)(i)+(ii)(i)+(ii)，(ii)(ii)(ii)(ii)一一2(i)2(i)，根据，根据(i)(i)，(ii)(ii)以以x x1 1,x,x2 2为基变量，列出为基变量，列出初始单纯形表；初始单纯形表；1)(23)(32431xxiixxxiCja21-4CB基bx1x2x3x4ax13+2011-12x21-10-10j003-aa-4 (2)(2)在表中，假定在表中，假定0 0，则，则为何值时，为何值时，x x1 1,x,x2 2为问为问题的最优基
13、题的最优基变量变量；解：解：如果如果=0，则当3a 4时，x x1 1,x,x2 2为问题的最优基为问题的最优基变量变量；(3)(3)在表中，假定在表中，假定3 3，则，则为何值时，为何值时，x x1 1,x,x2 2为问为问题的最优基。题的最优基。解：解：如果如果a=3，则当-1 1时，x x1 1,x,x2 2为问题的最优基为问题的最优基变量。变量。1.12 1.12 线性规划问题线性规划问题max Zmax ZCXCX，AXAXb b，X0X0，如如X X*是该问题的最优解，又是该问题的最优解，又0为某一常数，分别讨论为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化。下列情况时最优解的变化。(
14、1)(1)目标函数变为目标函数变为max Zmax ZCXCX；(2)(2)目标函数变为目标函数变为max Zmax Z(C+(C+)X)X；(3)(3)目标函数变为目标函数变为max Zmax ZC/C/*X X，约束条件变为，约束条件变为AXAXb b。解解:(1)最优解不变最优解不变;(2)C为常数时最优解不变为常数时最优解不变，否则可能发生变化否则可能发生变化。(3)最优解变为最优解变为:X/。1.13 1.13 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需至少需700g700g蛋白质、蛋白质、30g30g矿物质、矿物质、100mg100mg维生素。现
15、有维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每五种饲料可供选用，各种饲料每kgkg营养成分含量及单营养成分含量及单价如价如下下表所示。表所示。饲料饲料 蛋白质蛋白质(g)(g)矿物质矿物质(g)(g)维生素维生素(mg)(mg)价格（元价格（元/kg/kg）1310.50.2220.51.00.7310.20.20.446220.35180.50.80.8 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。最省的选用饲料的方案。(建立这个问题的线性规划建立这个问题的线性规划模型，不求解模型，不求解)5,4,3,2,1,01008.022.05
16、.0305.022.05.0700186238.03.04.07.02.0min5,4,3,2,1,54321543215432154321ixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZiixii种饲料数量表示第设 1.14 1.14 某医院护士值班班次、每班工作时间及各某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如班所需护士数如下页下页表表格格所示。所示。班次班次工作时间工作时间所需护士数（人）所需护士数（人）1 16:00 6:00 10:0010:0060602 210:0010:00 14:0014:0070703 314:0014:00 18:0018:0060604 418:0
17、018:00 22:0022:0050505 522:0022:00 2:002:0020206 62:00 2:00 6:006:003030 (1)(1)若护士上班后连续工作若护士上班后连续工作8h8h，该医院最少需多少，该医院最少需多少名护士，以满足轮班需要；名护士，以满足轮班需要；且为整数，班开始上班的护士人数表示第设,6,5,4,3,2,1,0302050607060min65,4,3,2,1,655443322161654321ixxxxxxxxxxxxxxxxxxxZiixii (2)(2)若除若除2222：0000上班的护士连续工作上班的护士连续工作8h8h外外(取消第取消第6
18、 6班班)，其他班次护士由医院排定上，其他班次护士由医院排定上1-41-4班的其中两个班，班的其中两个班，则该医院又需多少名护士满足轮班需要。则该医院又需多少名护士满足轮班需要。解解:第第5 5班一定要班一定要3030个人，个人，4,3,2,1,10,02,1,502,1,602,1,702,1,6030min4,3,2,1,44434241444443342241143433323133443333223113242322212244233222211214131211114413312211114321jiyxyyyyyxyxyxyxyyyyyyxyxyxyxyyyyyyxyxyxyxyy
19、yyyyxyxyxyxyxxxxZiixijii变量是第四班约束第三班约束第二班约束第一班约束班开始上班的护士人数表示第设 1.15 1.15 艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量见后面的表格。现有容积与最大允许载重量见后面的表格。现有3 3种货物待种货物待运，已知有关数据列于后面的表格。运，已知有关数据列于后面的表格。又为了航运安全，前、中、后舱的实际载重量大又为了航运安全，前、中、后舱的实际载重量大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求：体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例的偏差不超过前、后
20、舱分别与中舱之间载重量比例的偏差不超过1515，前、后舱之间不超过，前、后舱之间不超过1010。问该货轮应装载。问该货轮应装载A A，B B，C C各多少件运费收入才最大各多少件运费收入才最大?试建立这个问题的线性规试建立这个问题的线性规划模型。划模型。商品商品数量数量（件）（件）每件体积每件体积(m(m3 3/件件)每件重量每件重量(t/(t/件件)运价运价（元（元/件）件）A A60060010108 810001000B B100010005 56 6700700C C8008007 75 5600600项目项目前舱前舱中舱中舱后舱后舱最大允许载重量（最大允许载重量（t t）200020
21、003000300015001500容积（容积（m m3 3）400040005400540015001500 MAX=1000（X(1,1)+X(1,2)+X(1,3)）+700（X(2,1)+X(2,2)+X(2,3)）+600（X(3,1)+X(3,2)+X(3,3)）SUBJECT TO X(i,j)表示第商品表示第商品i在舱在舱j的装载量，的装载量，i,j=1,2,3 商品数量约束：商品数量约束：1 X(1,1)+X(1,2)+X(1,3)=600 2 X(2,1)+X(2,2)+X(2,3)=1000 3 X(3,1)+X(3,2)+X(3,3)=800 商品容积约束：商品容积约束
22、：4 10X(1,1)+5X(2,1)+7X(3,1)=4000 5 10X(1,2)+5X(2,2)+7X(3,2)=5400 6 10X(1,3)+5X(2,3)+7X(3,3)=1500 最大载重量约束：最大载重量约束：7 8 X(1,1)+6X(2,1)+5X(3,1)=2000 8 8 X(1,2)+6X(2,2)+5X(3,2)=3000 9 8 X(1,3)+6X(2,3)+5X(3,3)=1500 重量比例偏差约束：重量比例偏差约束：10 8X(1,1)+6X(2,1)+5X(3,1)=2/3（1-0.15）8X(1,2)+6X(2,2)+5X(3,2)12 8X(1,3)+6
23、X(2,3)+5X(3,3)=1/2（1-0.15）8X(1,2)+6X(2,2)+5X(3,2)14 8X(1,3)+6X(2,3)+5X(3,3)=3/4（1-0.1）8X(1,1)+6X(2,1)+5X(3,1)1.16 1.16 某厂生产某厂生产I I，两种食品，现有两种食品，现有5050名熟练工人，名熟练工人，每名熟练工人每每名熟练工人每h h可生产食品可生产食品110kg110kg或食品或食品6kg6kg。由于需。由于需求量将不断增长求量将不断增长(见见下页下页表表格格)，该厂计划到第，该厂计划到第8 8周末前培周末前培训出训出5050名新工人，组织两班生产。已知一名工人每周工名新
24、工人，组织两班生产。已知一名工人每周工作作40h40h，一名熟练工人用，一名熟练工人用2 2周时间可培训出不多于周时间可培训出不多于3 3名新工名新工人人(培训期间熟练工人和被培训人员均不参加生产培训期间熟练工人和被培训人员均不参加生产)。熟。熟练工人每周工资练工人每周工资360360元，新工人培训期间工资每周元，新工人培训期间工资每周120120元，元，新工人培训结束后工作每周工资新工人培训结束后工作每周工资240240元，且生产效率同熟元，且生产效率同熟练工人。培训过渡期，工厂将安排部分熟练工人加班，练工人。培训过渡期，工厂将安排部分熟练工人加班，加班加班1h1h另加付另加付1212元。又
25、生产食品不能满足订货需求，推元。又生产食品不能满足订货需求，推迟交货的赔偿费分别为：食品迟交货的赔偿费分别为：食品I I为为0.500.50元元(kg(kg周周)；食；食品品为为0.600.60元元(kg(kg周周)。工厂应如何全面安排，使各项。工厂应如何全面安排，使各项费用总和最小，试建立线性规划模型。费用总和最小，试建立线性规划模型。周次周次食品食品1 12 23 34 45 56 66 67 78 8101010101212121216161616161620202020 6 67.27.28.48.410.810.812121212121212121212 设设x(i)，y(i)表示从
26、事两个产品生产的人数，表示从事两个产品生产的人数，xx(i)，yy(i)表示从事生产两个产品的加班小时数，表示从事生产两个产品的加班小时数，f1(i),f2(i)表示两个产品推迟交货的数量，表示两个产品推迟交货的数量，r1(i),r2(i)表示两个产表示两个产品的需求数量，品的需求数量，w(i),n(i)分别表示开始从事培训工作的人分别表示开始从事培训工作的人数和新接受培训的工人人数。数和新接受培训的工人人数。MIN=360X(i)+360Y(i)+360W(i)+12XX(i)+12yy(i)+0.5 f1(i)+0.6 f2(i)+(120+120)n(i)+240(7-i)n(i)n(i
27、)=nx(i)+ny(i)N(8)=0 -3 W(i)+N(i)=0 XX(i)=1000 YY(i)=1000 400 X(i)+10 XX(i)=116000 240 y(i)+6 yy(i)=79200 400*x(1)+10*xx(1)+f1(1)=10000;400*(x(1)+x(2)+10*(xx(1)+xx(2)+f1(2)=20000;for(a(i)|i#ge#3#and#i#le#s:400*x(1)+400*x(2)+10*xx(1)+10*xx(2)+sum(a(j)|j#le#i#and#j#gt#2:400*(x(j)+nx(j-2)+10*xx(j)+f1(i)
28、=sum(a(j)|j#le#i:r1(j);f1(s)=0;240*y(1)+6*yy(1)+f2(1)=6000;240*(y(1)+y(2)+6*(yy(1)+yy(2)+f2(2)=13200;for(a(i)|i#ge#3#and#i#le#s:240*y(1)+240*y(2)+6*yy(1)+6*yy(2)+sum(a(j)|j#le#i#and#j#gt#2:240*(y(j)+ny(j-2)+6*yy(j)+f2(i)=sum(a(j)|j#le#i:r2(j);f2(s)=0;x(1)+y(1)+w(1)=50;x(2)+y(2)+w(1)+w(2)=50;for(a(i)
29、|i#gt#2:x(i)+y(i)+w(i-1)+w(i)=50);sum(a(i)|i#le#s:n(i)=50;for(a(i):gin(x(i);for(a(i):gin(y(i);for(a(i):gin(w(i);for(a(i):gin(n(i);1-17 时代服装公司生产时代服装公司生产款新的时装，据预测今款新的时装，据预测今后后6个月的需求量如下表所示。每件时装用工个月的需求量如下表所示。每件时装用工2h和和10元元原材料费，售价原材料费，售价40元。该公司元。该公司1月初有月初有4名工人，每人名工人，每人每月可工作每月可工作200h，月薪，月薪2000元。该公司可于任何元。该
30、公司可于任何个个月初新雇工人，但每雇月初新雇工人，但每雇1人需人需次性额外支出次性额外支出1500元，元，也可辞退工人，但每辞退也可辞退工人，但每辞退1人需补偿人需补偿1000元。如当月生元。如当月生产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库存费产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库存费每件每月每件每月5元。当供不应求时，短缺数不需补上。试帮元。当供不应求时，短缺数不需补上。试帮助该公司决策，如何使助该公司决策，如何使6个月的总利润达到最大。个月的总利润达到最大。月份月份123456需求需求500600300400500800 max=30(y1+y2+y3+y4+y5+y6)-1500(
31、p1+p2+p3+p4+p5+p6)-1000(d1+d2+d3+d4+d5+d6)-5(pp1+pp2+pp3+pp4+pp5+pp6)-2000(x1+x2+x3+x4+x5+x6)-1000 x6;x0=4;x表示工人人数，表示工人人数，y表示产品产量，表示产品产量，p表示新工人人数表示新工人人数 d表示辞退工人人数表示辞退工人人数p1-d1=x1-x0;p2-d2=x2-x1;p3-d3=x3-x2;p4-d4=x4-x3;p5-d5=x5-x4;p6-d6=x6-x5;pp0=0;pp表示库存量表示库存量,dd表示缺损额表示缺损额 pp1-dd1=y1+pp0-500;pp2-dd2
32、=y2+pp1-600;pp3-dd3=y3+pp2-300;pp4-dd4=y4+pp3-400;pp5-dd5=y5+pp4-500;pp6-dd6=y6+pp5-800;生产能力约束：生产能力约束：y1=100*x1;y2=100*x2;y3=100*x3;y4=100*x4;y5=100*x5;y6=100*x6;总产量约束：总产量约束：y1+y2+y3+y4+y5+y6=3100;gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);gin(y6);gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);1.18 1.
33、18 童心玩具厂下一年度的现金流童心玩具厂下一年度的现金流(万元万元)如如下下表所示，表中负号表示该月现金流出大于流人，为此表所示，表中负号表示该月现金流出大于流人，为此该厂需借款。借款有两种方式：一是于上一年末借一该厂需借款。借款有两种方式：一是于上一年末借一年期贷款，一次得全部贷款额，从年期贷款，一次得全部贷款额，从1 1月底起每月还息月底起每月还息1 1，于，于1212月归还本金和最后一次利息；二是得到短期月归还本金和最后一次利息；二是得到短期贷款，每月初获得，于月底归还，月息贷款，每月初获得，于月底归还，月息1.51.5。当该厂。当该厂有多余现金时，可短期存款，月初存人，月末取出，有多
34、余现金时，可短期存款，月初存人，月末取出，月息月息0.40.4。问该厂应如何进行存贷款操作，既能弥补。问该厂应如何进行存贷款操作，既能弥补可能出现的负现金流，又可使年末现金总量为最大可能出现的负现金流，又可使年末现金总量为最大?月份月份123456789101112现金流现金流-12-10-8-10-45-7-21512-745 MAX=1.004 Z(12)-1.01y-1.015 W(12)SUBJECT TO 1 Y -Z(1)+W(1)=12 2-.01Y+1.004Z(1)-.1015W(1)-Z(2)+W(2)=10 3-.01Y+1.004Z(2)-.1015W(2)-Z(3)+
35、W(3)=8 4-.01Y+1.004Z(3)-.1015W(3)-Z(4)+W(4)=10 5-.01Y+1.004Z(4)-.1015W(4)-Z(5)+W(5)=4 6-.01Y+1.004Z(5)-1.015W(5)-Z(6)+W(6)=-5 7-.01Y+1.004Z(6)-1.015W(6)-Z(7)+W(7)=7 8-.01Y+1.004Z(7)-1.015W(7)-Z(8)+W(8)=2 9-.01Y+1.004Z(8)-1.015W(8)-Z(9)+W(9)=-15 10-.01Y+1.004Z(9)-1.015W(9)-Z(10)+W(10)=-12 11-.01Y+1.004Z(10)-1.015W(10)-Z(11)+W(11)=7 12-.01Y+1.004Z(11)-1.015W(11)-Z(12)+W(12)=-45
