1、高等代数考研复习高等代数考研复习 二次型二次型 2014年 8月 第四章 二次型二次型理论的背景是解析几何中化二次曲线二次型理论的背景是解析几何中化二次曲线和二次曲面的方程为标准形的问题和二次曲面的方程为标准形的问题.本章主要问题有两个：本章主要问题有两个：1)1)二次型矩阵和二次二次型矩阵和二次型的标准型型的标准型 2)2)正定二次型正定二次型二次型与矩阵、行列式、以及线性方程组有二次型与矩阵、行列式、以及线性方程组有紧密的联系，可以看到他们是处理二次型问紧密的联系，可以看到他们是处理二次型问题的工具题的工具.1.1.二次型矩阵与二次型的标准型二次型矩阵与二次型的标准型 1.1 1.1 二次
2、型及其矩阵二次型及其矩阵 1)定义：设定义：设P P是数域是数域,系数在数域系数在数域P P上的关于上的关于的二次齐次多项式的二次齐次多项式称为数域称为数域P P上的一个上的一个n n元二次型元二次型.2)2)二次型的矩阵表示：二次型的矩阵表示：令12,nx xx21211 112 1211222222211(,)222,.nnnnnnnnnnijijijjiijf x xxa xa x xa x xa xa x xa xa x xaa12,(,)nXx xx利用积和式积和式可将二次型化为矩阵形式其中，矩阵 满足 称它为二次型的矩阵.积和式为：积和式为：它在代数式与矩阵互化中起着重要的作用！它
3、在代数式与矩阵互化中起着重要的作用！12(,)nf x xxX AXA.AA 121 12 212,nnnnbba ba ba ba aab注意：如果注意：如果 但是但是 那么那么A A不是二次型的矩不是二次型的矩阵阵.f.f的矩阵为的矩阵为1.2 1.2 线性替换及矩阵的合同线性替换及矩阵的合同 1)1)线性替换：设线性替换：设令令 称为由称为由 到到 的线性替换的线性替换.当当 时，称为非退化线性替换；当时，称为非退化线性替换；当C C是正交矩阵时是正交矩阵时称为正交替换称为正交替换.结论：非退化线性替换将二次型变为二次型结论：非退化线性替换将二次型变为二次型.fX AX,AA 1().2
4、AA12(,)nYy yy XCY12,(,)nXx xx 12,nx xx12,ny yy|0C().X CYfX AXY C AC YYBY 2)2)矩阵的合同：设矩阵的合同：设A A、B B为为n n阶矩阵，如果存在可逆矩阶矩阵，如果存在可逆矩阵阵C C使得使得 则称矩阵则称矩阵A A与合同与合同.合同是一种等价关系，它具有三性合同是一种等价关系，它具有三性.合同的性质：合同矩阵有相同的秩；合同的性质：合同矩阵有相同的秩；合同矩阵的行列式同号合同矩阵的行列式同号.结论：二次型经过非退化线性替换得到的新二次型的结论：二次型经过非退化线性替换得到的新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的矩阵与原
5、二次型矩阵是合同的.1.3 1.3 二次型的标准型与规范形二次型的标准型与规范形 1)1)二次型标准型定义：只含有平方项的二次型二次型标准型定义：只含有平方项的二次型 称为标准型称为标准型.其中其中,C ACB2221 122nnfd xd xd x 中非零的个数即为二次型的秩中非零的个数即为二次型的秩.定理：数域定理：数域P P上的任意二次型都可经过非退化线上的任意二次型都可经过非退化线性替换化为标准形性替换化为标准形.换一种说法：数域换一种说法：数域P P上任意一个对称矩阵都合同于一个上任意一个对称矩阵都合同于一个对称矩阵对称矩阵.注意：注意：二次型的标准型一般不唯一！二次型的标准型一般不
6、唯一！(1,2,)id in2)2)二次型的规范形：复数域与实数域上的二次型的标二次型的规范形：复数域与实数域上的二次型的标准型称为规范形准型称为规范形.a)a)复数域上二次型的规范形：复数域上任意一个二复数域上二次型的规范形：复数域上任意一个二次型都可经过非退化替换化为规范形次型都可经过非退化替换化为规范形 其中其中 且规范形唯一且规范形唯一.换为矩阵说法：复数域上任意一个换为矩阵说法：复数域上任意一个n n阶对称矩阵阶对称矩阵A A都合都合同于唯一的同于唯一的n n阶对角矩阵阶对角矩阵复数域上两个对称矩阵合同的充分必要条件是这两个复数域上两个对称矩阵合同的充分必要条件是这两个矩阵的秩相等矩
7、阵的秩相等.22212X CYrfyyy()rA0.00rEb)b)实数域上二次型的规范形实数域上二次型的规范形(惯性定理惯性定理)：实数域上任实数域上任意一个二次型都可经过非退化替换化为规范形意一个二次型都可经过非退化替换化为规范形 其中其中 ，正平方的个，正平方的个数数p p称为二次型称为二次型f f的正惯性指数，负平方项的个数的正惯性指数，负平方项的个数称为称为f f的负惯性指数，的负惯性指数，称为符合差，且称为符合差，且p p、q q有二次型唯一确定有二次型唯一确定.用矩阵语言描述为：实数域上任意一个对称矩阵用矩阵语言描述为：实数域上任意一个对称矩阵A A都合都合同于唯一的同于唯一的n
8、 n阶对角矩阵阶对角矩阵2221X CYprfyyy()rAq r p pq()r Apq.0pr pEE注意注意：实数域上的两个对称矩阵合同的充分必：实数域上的两个对称矩阵合同的充分必要条件是这两个矩阵有相同的秩与正惯性指数要条件是这两个矩阵有相同的秩与正惯性指数.1.4 1.4 化二次型为标准型的方法化二次型为标准型的方法 a)a)配方法；配方法；b)b)初等变换法；初等变换法；设设 是对称矩阵，故存在可逆矩阵是对称矩阵，故存在可逆矩阵 使使由由 可逆知，存在初等矩阵可逆知，存在初等矩阵 使得使得 于是于是A,C12.nddC ACDdC12,sP PP12,sCPPP122112.ssn
9、ddPP PAPPPDd这样这样，将二次型将二次型 化为标准形化为标准形fX AX2221122nnfd yd yd y时所用线性变换时所用线性变换XCY中的系数矩阵中的系数矩阵 满足满足 且且C2112.ssPP PAPPPD12sEPPPC由此可见，对由此可见，对 的列和行施以相同的初等列变换的列和行施以相同的初等列变换和行变换，当二次型的矩阵和行变换，当二次型的矩阵 化为对角矩阵化为对角矩阵 时，时，AEAD单位矩阵单位矩阵 就成了相应的可逆线性变换的矩阵就成了相应的可逆线性变换的矩阵 了，即了，即ECADEC c)c)正交变换法正交变换法.正交变换法的步骤：正交变换法的步骤：(1)(1
10、)先求出矩阵先求出矩阵A A的特征值、特征向量，其中特征的特征值、特征向量，其中特征值就是标准型中的系数值就是标准型中的系数.(2)(2)将将A A的属于同一特征值的特征向量单位化正交的属于同一特征值的特征向量单位化正交化，然后将它们作为列向量做成矩阵化，然后将它们作为列向量做成矩阵T T，即为正交，即为正交矩阵，此时有矩阵，此时有12nT AT=.题型分析题型分析:(1):(1)化二次型为标准型；化二次型为标准型；(2)(2)矩阵合同的应用；矩阵合同的应用；(3)(3)惯性定理的应用惯性定理的应用.例例1 1 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 (1)(1)(2)(2)例例2
11、2 将将 化为标准型化为标准型.例例3 3 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形方法：对二次型方法：对二次型 做正交替换做正交替换 其中其中T T为为正交矩阵，得标准型正交矩阵，得标准型 222123121 323422.fxxxx xx xx x121 3243433.fx xx xx xx x222122331()()().fxxxxxx222123121 323552844.fxxxx xx xx xfX AXXTY2221122.X TYnnfX AXyyy这里这里 是矩阵是矩阵A A的特征值的特征值.例例4 4 已知已知 经过正交经过正交变换化为变换化为 求求a a及
12、所做的正交变换及所做的正交变换.例例5 5 已知已知 的的秩为秩为2 2，(1)(1)求求a(2)a(2)用正交变换将用正交变换将f f化为标准型化为标准型 (3)(3)求方程求方程 的解的解.i222123232332(0).fxxxax x a22212325.fyyy22212312(1)(1)22(1)fa xa xxa x x123(,)0f x x x例例6 6 设实二次型设实二次型 (1)(1)写出写出f f的矩阵的矩阵.(2)(2)证明：证明：f f的秩等于矩阵的秩等于矩阵 的秩的秩.例例7 7 证明：证明：是一个二次型，是一个二次型，并求它的矩阵并求它的矩阵.2121 122
13、1(,)sniiinnif x xxa xa xa x1111nssnaaAaa12111121121222120nnnnnnnnxxxxaaaxaaafxaaa(2)(2)矩阵合同的应用矩阵合同的应用 例例1 1 证明：秩等于证明：秩等于r r的对称矩阵可以表示成的对称矩阵可以表示成r r个个秩等于秩等于1 1的对称矩阵之和的对称矩阵之和.例例2 2 设设 A A是是n n阶是对称矩阵，阶是对称矩阵，A A 的特的特征值是征值是 ，求，求B B的特征值的特征值.例例3 3 反对称矩阵的性质反对称矩阵的性质 (1)A (1)A是反对称矩阵的充分必要条件是：对是反对称矩阵的充分必要条件是：对任意
14、的任意的n n维向量维向量X X都有都有 (2)A (2)A是反对称矩阵，则是反对称矩阵，则A A的特征值只能为零的特征值只能为零 0,0ABA12,n 0.X AX0110011000和纯虚数和纯虚数.(3)(3)奇数阶反对称矩阵一定不可逆奇数阶反对称矩阵一定不可逆.(4)(4)证明：任意反对称矩阵一定合同于矩阵证明：任意反对称矩阵一定合同于矩阵 (3)(3)惯性定理的应用惯性定理的应用例例1 1 证明：一个实二次型可以分解为两个实系证明：一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于它的秩等于2 2和符号差等于和
15、符号差等于0 0或秩等于或秩等于1.1.例例2 2 设设A A为一个为一个n n阶实对称矩阵，且阶实对称矩阵，且 证明：证明：存在实存在实n n维列向量维列向量 使得使得例例3 3 设设 是一个实二次型，若是一个实二次型，若存在存在n n维向量维向量 使得使得证明：证明：|0.A 00,X 000.X AX12(,)nf x xxX AX12,XX11220,0X AXX AX0000=0.XX AX使例例4 4 设设A A是是n n阶是对称矩阵，证明：存在一个正阶是对称矩阵，证明：存在一个正实数实数C C，使得对任意一个，使得对任意一个n n维实列向量维实列向量X X，都有，都有例例5 5
16、设设n n元实二次型元实二次型 证明证明f f在在条件条件 下的最大值恰为下的最大值恰为A A的最大特的最大特征值，并求出取得最大值时的征值，并求出取得最大值时的|.X AXcX X12(,)nf x xxX AX222121nxxx0.X2.2.正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 2.12.1有关定义：设有关定义：设 是是n n元实二次型，元实二次型，如果对任意一组不全为零的实数如果对任意一组不全为零的实数 都有都有 则称则称f f为正定二次型，对应的矩阵为正定二次型，对应的矩阵称为正定矩阵称为正定矩阵.二次型二次型 正定的充分必要条件是：正定的充分必要条件是：矩阵矩阵 正定正定.同样
17、可以定义半正定二次型；负定二次型；半负同样可以定义半正定二次型；负定二次型；半负定二次型以及不定二次型定二次型以及不定二次型.12(,)nf x xxX AX12,nc cc12(,)0,nf c ccA12(,)nf x xxX AXA 2.2 2.2 正定二次型与正定矩阵的判定：正定二次型与正定矩阵的判定：设设n n元实二次型元实二次型 其中其中 ,则下列则下列条件等价：条件等价：a)f a)f是正定二次型是正定二次型(A(A是正定矩阵是正定矩阵););b)b)对任意对任意 ,都有都有 c)f c)f的正惯性指数等于的正惯性指数等于n;n;d)A d)A合同于单位矩阵合同于单位矩阵E;E;
18、即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵C C使得使得 e)A e)A的所有顺序主子式都大于零的所有顺序主子式都大于零;f)A f)A的所有主子式都大于零的所有主子式都大于零;正定阵主对角元大于零正定阵主对角元大于零.g)A g)A的特征值都大于零的特征值都大于零;12(,)nf x xxX AXAA 0X 0.X AX;AC C 2.3 2.3 半正定二次型半正定二次型(半正定矩阵半正定矩阵)的判定：的判定：下列条件等价下列条件等价 a)fa)f是半正定二次型是半正定二次型;b)b)对任意一组不全为零的实数对任意一组不全为零的实数 c)fc)f的正惯性指数等于的正惯性指数等于A A的秩的秩;d)Ad)A
19、合同于合同于 e)Ae)A的所有主子式都不小于零的所有主子式都不小于零;f)Af)A的特征值都不小于零的特征值都不小于零;e)e)存在实矩阵存在实矩阵P,P,使得使得 12,nc cc12(,)0;nf c cc0,00rE.AP P 正定矩阵的性质：正定矩阵的性质：(1)(1)正定矩阵主对角线上的元素全部大于正定矩阵主对角线上的元素全部大于0 0，正，正定矩阵的行列式大于零定矩阵的行列式大于零.(2)A(2)A正定，则正定，则 也正定也正定.(3)(3)则则 也正定也正定.(4)(4)若若 正定，且正定，且 则则 正定正定.(5)(5)设设A A为为 矩阵，若矩阵，若 那么那么是正定的是正定
20、的.特别，当特别，当A A可逆时，可逆时，是正定的是正定的.1*(0),kA kA AA,A BAB,A BABBAABnm(),r AmA AA A当当 那么那么 是半正定的是半正定的.题型分析：题型分析：(1)(1)二次型正定性的判别二次型正定性的判别例例1 1 判别二次型的正定性判别二次型的正定性 a)b)a)b)例例2 2 设设 当当 满足什么条件，满足什么条件，f f是正定的是正定的.例例3 3 设设A,BA,B分别是分别是m,nm,n阶正定矩阵，试判别矩阵阶正定矩阵，试判别矩阵()(),r Am mnAA12111.nniiiiifxx x211.niijiij nfxx x 22
21、21122231()()()nnfxa xxa xxa x12,na aa 的正定性的正定性.例例4 4 设设A A为为m m阶正定矩阵，阶正定矩阵，B B为为 实矩阵，证明：实矩阵，证明：正定的充分必要条件为正定的充分必要条件为B B是列满秩的是列满秩的.题型题型 (2)(2)二次型（矩阵）正定性质的应用二次型（矩阵）正定性质的应用主要应用结论：主要应用结论：A A为实对称矩阵，则存在正交阵为实对称矩阵，则存在正交阵T T使得使得 00ACBm nB AB121nT ATTAT例例1 1设设A,BA,B是是n n阶实对称矩阵，且阶实对称矩阵，且A A正定，证明：存正定，证明：存在一个实可逆矩
22、阵在一个实可逆矩阵T T，使得，使得 同时为对角同时为对角矩阵矩阵.例例2 2 设设A A是是n n阶正定矩阵，证明：阶正定矩阵，证明：例例3 3 设设A,BA,B都是都是n n阶正定矩阵，证明：阶正定矩阵，证明：例例4 4 设设A,BA,B都正定，证明：都正定，证明：1)1)方程方程 的的根都大于零根都大于零.2).2)方程方程 的所有根等于的所有根等于1 1的充分必要条件是的充分必要条件是A=BA=B.,T AT T BT|1.AE|.ABAB|0AB|0AB例例6 6 若若B B是正定矩阵，是正定矩阵，A-BA-B半正定，证明：半正定，证明：1)1)的所有根都大于等于的所有根都大于等于1
23、.1.2)2)题型题型(3)(3)与对称矩阵特征值范围有关的问题与对称矩阵特征值范围有关的问题例例1 1 设设A A是实对称矩阵，证明：是实对称矩阵，证明：t t充分大时，充分大时，tE+AtE+A正定正定.例例2 2 证明：实对称矩阵证明：实对称矩阵A A的特征值均在闭区间的特征值均在闭区间 上，则对称矩阵上，则对称矩阵A-A-tEtE当当tbtb时负定；当时负定；当tata|0AB|.AB,a b时正定时正定.例例3 3 设实对称矩阵设实对称矩阵A A的特征值全大于的特征值全大于a a，实对称，实对称矩阵矩阵B B的特征值全大于的特征值全大于b b，证明：，证明：A+BA+B的特征值全的特
24、征值全大于大于a+ba+b.例例4 4 设设A A是是n n阶实矩阵，阶实矩阵，B B的特征值为的特征值为 证明：若证明：若 是是A A的实特征值，则的实特征值，则 ,BA A12.n1|.n题型题型 (4)(4)综合题综合题例例1 1 证明：矩阵证明：矩阵A A是是n n阶正定矩阵的充分必要条阶正定矩阵的充分必要条件是存在件是存在n n阶正定矩阵阶正定矩阵B B使得使得例例2 2 设设A A为为n n阶实对称矩阵，若阶实对称矩阵，若A A是正定矩阵又是是正定矩阵又是正交矩阵，则正交矩阵，则A=E.A=E.例例3 3 证明：证明：1)1)如果如果A A为正定矩阵，那么为正定矩阵，那么 是负定二次型是负定二次型.2)2)如果如果A A是正定矩阵，那么是正定矩阵，那么 是是A A 的的n-1n-1阶顺序主子式阶顺序主子式.2.AB12(,)0nAYf y yyY1|,nnnAa P1nP3)3)上式推广为上式推广为4)4)如果如果 是是n n阶实可逆矩阵，那么阶实可逆矩阵，那么1122|.nnAa aa()ijTt2222121|().niiniiTttt
