1、高级计量经济学时间序列分析 2 本章内容?建立时间序列模型的价值?随机时间序列的类型?平稳时间序列的特性?自回归与移动平均过程?单位根检验?一元时间序列模型?多元时间序列模型?格兰杰（Granger）因果关系检验?时间序列之间的协整?误差修正模型 3 时间序列数据?时间序列数据有严格的发生时间先后顺序。?现实中大量统计数据为时间序列数据，例如：?全国年度或季度GDP?日批发市场价格?利用时间序列数据建立模型时需要认识到，从性质上说，这种数据不再是从总体中随机抽取的一个样本，而是一个按逻辑顺序实际发生的随机过程。6 时间序列的变动趋势?由于多种原因，时间序列经济数据经常表现出明显的共同演变趋势或
2、相类似的波动模式，典型情况有：?我们不能仅仅根据两个序列具有相类似的趋势而断定其存在因果关系。?这种共同趋势常常是由其他因素造成的，而不是因果性质的联系。?利用时间序列数据建立模型常常出现“虚假回归”。?如果有关于其他影响因素的信息，我们可以用多元回归方法直接控制这些因素的影响。1tttttYYuYtu?消除趋势的方法?如果缺乏关于其他影响因素的信息，此时可以采用对原始数据做消除趋势的处理。?为此，我们可以将时间序列变化模式的构成成分分解为：?趋势性因素（可以用时间趋势函数表示）?季节性因素（可以用季节虚变量控制）?周期性因素（可以用周期函数表示）?无规则因素（假定为服从某种统计分布形式的随机
3、误差）7 8 消除趋势的方法?每个序列对时间趋势变量做回归?线性趋势/指数趋势/多项式趋势?得到的残差项构成“消除趋势”后的时间序列。?注意用不同方法消除趋势后得到的残差序列不同（数值/统计分布）?在回归模型中加上某种时间趋势变量可以起到类似的作用。?时间趋势变量的系数反映模型中未包括未包括的多种趋势性因素的共同影响?其他方法有差分、移动平均、滤波等技术。?利用消除趋势的数据建立回归模型有一个优点，这涉及到对回归方程拟合优度的评价：?利用时间序列做回归通常会得到非常高的R2，这是由于对趋势能够很好地做出解释。?用消除趋势的变量做回归可以避免“虚假回归”，从而更可靠地识别X对Y的解释能力。9 季
4、节性(Seasonality)?很多短频度的时间序列表现出某种稳定的周期性模式，如季度或月度数据。?例：商品零售额常常呈现季节性变化?农产品供给的季节性?商品消费的季节性?可以通过在模型中引入季节虚变量的方式来处理数据体现出的季节性。?也可以在建立模型前对数据做处理，即获得调整季节性的时间序列。?EVIEWS包括了做季节性调整的专用程序（X11/X12）10 随机时间序列的类型?平稳时间序列平稳时间序列(stationary time series)指均值、方差和自回归函数不随时间而变化的时间序列；?非平稳时间序列非平稳时间序列(Nonstationary time series)指均值、方差
5、和自回归函数随时间而变化的时间序列。?由上述定义可知，凡是具有上升或下降趋势的时间序列均为非稳定序列（均值随时间变化）。?因而我国的绝大多数经济数据为非稳定序列 11 平稳随机过程(Stationary Stochastic Process)?任一时间序列y1,y2,yt均可以被认为是由一个联合概率分布函数p(y1,y2,yt)所生成的某一特定结果。?对该序列未来的一个观测 yT+1可以被认为是由条件概率分布函数p(yt+1|y1,y2,yt)所生成。?平稳过程平稳过程为随机变量的联合分布和条件分布均不随时间而变化的过程。12 平稳随机过程的性质?平稳性要求，对于任意的 t,k和m，均有：?m
6、ktmtkttymtytymttymktmtkttyyCovyyCovyEyEyEyEyypyyp?,222?13 平稳过程的弱形式?方差平稳过程(Variance stationary process)?对于任意的t且当m 1时，若 E(yt)和 Var(yt)均为常数，Cov(yt,yt+m)仅依赖m而与 t无关，那么该序列表现为方差平稳过程。?上述平稳性的弱形式仅仅要求均值和方差不随时间t而变化，方差仅仅取决于两个观察值之间的间隔m。?弱依赖时间序列(Weakly dependent time series)?若随着m的增大，yt 和yt+m 趋近于相互独立的分布，那么这样的序列为弱依赖
7、时间序列。?对于一个方差平稳过程，若当m 时Corr(yt,yt+m)0，我们说此方差平稳过程是弱依赖的。14 具有趋势的时间序列?具有趋势的时间序列不可能是平稳的，这是由于其均值随时间而不断变化。?具有趋势的时间序列可以是弱依赖性的。?若时间序列是弱依赖性的，并且将其消除趋势后成为平稳序列，那么这种序列被称作趋势平稳过程趋势平稳过程(Trend stationary)。15 不同类型的平稳性?趋势平稳过程?序列由一个趋势函数和具有平稳性的误差组合而成，例如?齐次随机过程，也称作 I(d)过程：?经过d次差分后可以变为平稳过程的序列(difference stationary)，d为差分次数。
8、?一般而言，非平稳性序列可以通过差分方式转变为平稳序列。ttYtu?16 趋势平稳与差分平稳的区别 趋势平稳 差分平稳 自回归系数 迅速下降 缓慢下降 动态乘数 很快消失 长期存在 平均平方误(MSE)收敛 发散 均值 趋于恢复均衡 逐步偏离均衡 Dyt的长期方差 0 非0 17 移动平均（MA）过程?一阶移动平均过程MA(1)可以表示为：?yt=et+?1et-1,t=1,2,?式中et 为均值0、方差se2的独立同分布随机变量(iid)。?满足上述条件的序列yt是一个平稳和具有弱依赖性的序列?从公式可以注意到，前后两期变量之间存在着相关，但间隔再长的变量之间则不存在相关。18 AR(1)过
9、程?一阶自回归过程AR(1)可以表示为：?yt=ryt-1+et,t=1,2,?式中et为均值为0、方差为se2的独立同分布随机变量。?AR(1)满足弱依赖性的条件是|r|1?此时有：?Corr(yt,yt+m)=Cov(yt,yt+m)/(sysy)=rm?随着m 的增大，相关系数下降。19 例：随机游走过程(Random walk)?简单随机游走过程可以表示为：?yt=yt-1+et?误差项et为独立同分布变量，均值为0。?此类序列的均值不变，因而预测值也不变，即：?但预测值的方差随时间延长而趋于增大：?随机游走是一种AR(1)过程，此时r1=1，这意味着：?序列不是弱依赖性的?序列是高度
10、持续的(persistent)，因为对于所有的m 1，都有E(yt+m|yt)=yt。?111122112?,?,tttttttttttttyE yyyyE eyyE yyyE yeey?211221212?2ttettttteVar yVar eVar yVar eeVar eVar e?20 例：随机游走过程(Random walk)?随机游走是一种存在单位根过程的特殊情况。?需要注意的是，趋势和持续有不同的含义：?序列可以有趋势，但同时是弱依赖的；?序列也可以是无趋势但高度持续。?具有位移特性的随机游走是有趋势并且高度持续的序列的一个例子。?yt=a+yt-1+et,t=1,2,21 虚
11、假回归(Spurious regression)?考虑以下情况：?yt =?0+?1 xt +et?式中e t=?1 e t-1+vt?当-1?1 q；?可以根据PAC的值等于0发生的时间j来选择AR(p)模型，j p。非平稳时间序列?多数现实中的经济数据为非平稳时间序列?直接使用非平稳时间序列数据估计模型会出现虚假回归问题?因而在利用时间序列数据建立模型前有必要对数据的性质进行检验?单位根检验(unit root test)是一种常用的方法?如果时间序列具有一个单位根，那么通过做一阶差分通常可以将其转变为平稳序列。30 单位根检验?在实际工作中常遇到的非平稳序列有三种形式：?相应的数据生成过
12、程均可以表示为 ，即具有单位根的方程。?对三种形式需要用不同的方法转变为平稳序列。?由于事先并不清楚序列实际属于何种情况，选择错误的处理方式不一定解决问题，这要求采用具有一般性的方法。31 11ttttttttYYuYtuYYu?DttYcv?单位根检验?将三种情况组合在一起有：?引入人工添加的系数并对方程两边做差分得到：?依据该式可以对时间序列的单位根做多种形式的检验。?=1时，序列为带位移的随机游走，宜采用差分方式处理；?p。?对于有确定性时间趋势的AR(p)模型，确定其滞后期数可以按以下思路：?利用常规检验方法，确定是否该包括时间趋势变量；?由AR(p)模型开始，看最后一期滞后的系数?p
13、是否具有统计显著性；?如果不显著，则估计AR(p-1)模型，看?p-1是否具有统计显著性；?按此方法逐步进行排除，直到最后一项滞后的系数具有显著性时为止。46 利用AR模型做预测?以AR(2)模型为例?做t+1期的预测时要利用当期和前1期的观察值(Yt和Yt-1)。?利用估计得到的AR(2)模型系数可以做滚动预测，即利用已经得到的预测值继续往前推。?从技术上说，此类模型可以对未来无限个时期的Y值进行预测。?然而应该认识到，未来的经济运行模式很可能不同于历史上出现过的模式，因而预测偏差会随着时间推移而增大。?因而在应用工作中，此类模型多用于短期预测。?可以不断利用新获得的数据来更新模型。47 M
14、A(q)模型?一般形式的MA(q)模型可以表示为?通常假定?0=1，且et为独立同分布随机变量。?当MA过程为yt=?+et+?1et-1时，利用OLS方法做估计是求下式的最小值：?可以用AC值等于0发生的时间j来选择MA(q)模型的滞后期，j q。011.tttqtqYeee?TtttTtteye121112?48 自回归移动平均模型(ARMR)?以ARMA(1,2)模型为例?一个ARMA(1,2)模型有一期自回归滞后和两期移动平均滞后。?其表达形式如：yt =?+?1yt-1+et +?1et-1 +?2 et-2 49 ARIMA模型?考虑ARIMA(p,d,q)模型?一个ARIMA(p
15、,d,q)模型代表一个I(d)变量经过d次差分后所做的AR(p)和MA(q)模型。?ARIMA模型的滞后期选择通过观察 AC和PAC函数确定。一般而言：?如 果 AC函数以几何速率下降，PAC函数在一期以后接近0，那么应选择AR(1)。?如果AC函数在一期以后接近0，而PAC函数以几何速率下降，那么应选择MA(1)。50 多元时间序列模型 (Multivariate time series models)?多元时间序列分析用于建立经济变量的当前值与以下因素的关系：?该经济变量过去的值?其他经济变量当前和过去的值?当前和过去的误差项?一般形式（VARMA模型）：?Xt 为一个向量,Xt=(X1t
16、,.,Xgt)?Xt=F1Xt-1+.+FpXt-p+ut+Q1ut-1+.+Qput-q?VARMA为参数非线性模型 51 向量自回归模型 (Vector Autoregressive)?最简单的VARMA 模型形式是向量自回归模型(VAR)，即不存在误差移动平均的情况?Xt=F1Xt-1+.+FpXt-p+ut?VAR模型适合于分析两个或更多个相互联系的时间序列之间的动态关系，其特点有：?模型中所有变量均视为内生变量；?从统计角度说，VAR模型将所有变量均看作是来自于一个联合分布（跨越时间）；?不存在因果意义上的同时决定。52 向量自回归模型 (Vector Autoregressive)
17、?利用时间序列数据建立的结构模型需要以经济学理论为基础；?很多时候经济学理论不足以指出变量之间的动态关系；?估计模型及做外推时，可能遇到内生解释变量问题。?VAR回避了结构模型设定，其方法是将系统中所有内生变量看作是由系统中所有内生变量的滞后项所决定的。?模型中可以包括外生变量。?VAR模型主要用于对高度相关的时间序列做预测，或分析随机干扰对系统中所有变量相互间的动态影响。VAR模型?受某些未包括在模型中的因素的影响（例如政府采取的政策措施或国际范围的影响），VAR模型中各方程的误差项可能出现相关。?VAR模型中的解释变量为内生变量的滞后项，因而不存在联立性问题，可以用 OLS方法得到具有一致
18、性的估计结果。?由于VAR模型中各方程的解释变量均相同，因而用OLS法对整个系统做估计与对单个方程分别做估计得到的系数完全相同。54 VAR模型?设定VAR模型使用与设定AR模型采用相似的步骤?借助于AIC和SIC信息标准确定滞后期数?考虑最简单的VAR(1)模型，假定只有两个变量(g=2)，模型结构式可以表达为：?X1t=?1+?1 X2t+?11X1t-1+?12X2t-1+v1t?X2t=?2+?2 X1t+?21X1t-1+?22X2t-1+v2t?误差项满足假定：不存在自身的序列相关；不存在与解释变量 的相关；方程间同期误差项可以出现相关。?相应的模型简化式为：?X1t=?1+?11
19、X1t-1+?12X2t-1+u1t?X2t=?2+?21X1t-1+?22X2t-1+u2t 55 脉冲反应分析 (Impulse Response Analysis)?脉冲反应分析反映当VAR结构式模型中误差项(Innovation)变动一个标准差时对当前和未来因变量的影响。?某个方程的误差项变动首先直接影响该方程的因变量，然后通过VAR体现的动态结构，影响到所有的内生变量。?EVIEWS用图形方式给出每个 Innovation对所有内生变量的影响。56 有关VAR模型的一些问题?如何解释得到的参数？?通常的做法是利用脉冲反应分析结果解释?使用VAR模型时，人们关注的是结构式模型，而不是简
20、化式模型中冲击造成的动态效果。?即关注的是?Xi,t+s/?vjt 而不是?Xi,t+s/?ujt 57 对VAR模型的批评意见?VAR是一种很好的（短期）预测模型，但并没有严谨的经济学理论基础。?结果对以下因素的选择非常敏感：?包括哪些变量?滞后期的长短?估计参数的维数问题。?当变量增加或滞后期延长时，需要估计的参数迅速增加。58 格兰杰因果关系检验?对于VAR(p)模型?Xt=?+?1Xt-1+.+?pXt-1+?1Yt-1+.+?pYt-p+ut?检验Y是否为X的格兰杰原因?H0:?1=.=?p=0?格兰杰因果关系：?在模型中存在X过去值的条件下，如果Y的过去值无助于推断Xt，那么我们说
21、Y并不是X的格兰杰原因。?同样地可以检验X是否是Y的格兰杰原因。?需要注意的是，格兰杰因果关系仅仅基于信息传递标准，因而不同于逻辑因果关系。59 格兰杰因果关系检验?考虑VAR(1)模型?Xt=?1+?1Xt-1+?1Yt-1+u1t?Yt=?2+?2Xt-1+?2Yt-1+u2t?单方向因果关系?如果?1?0但?2=0，那么因果方向为YX；?如果?1=0但?2?0，那么因果方向为XY。?双向因果关系?如果?1?0和?2?0，那么因果关系为双向的。?相互独立关系?如果?1=0和?2=0，那么X和Y相互独立。60 格兰杰因果关系检验?外生性(Exogeneity)与非因果关系(Non-causa
22、lity)?人们常用格兰杰因果检验来考察模型中的解释变量是否是外生的，这是一种错误的做法。?外生性意味着非因果关系，但非因果关系并不一定意味着外生性。61 协整(Cointegration)?协整检验方法是由Engel和Granger最早提出的；?这一方法已经在经济学研究中得到广泛应用：?区域市场之间的整合：?价格是否能够有效地传递？?期货与现货市场之间的整合：?期货价格是否能够很好地预测现货价格？?股票市场/外汇市场?关于协整的定义：?若向量Xt=(X1t,X2t,Xkt)中所有序列都是d阶单整，且存在一个向量?=(?1,?2,?k)使得线性组合?X=?1X1+?2X2+?kXk成为(d-b
23、)阶单整，则向量X是d,b阶协整，记为XCI(d,b)，向量?称为协整向量。62 协整?协整只涉及非平稳变量的线性组合；?协整只涉及阶数相同的单整变量；?同阶单整变量之间不一定存在协整?同阶单整变量之间的协整可能涉及两个以上序列?如果X中有n个非平稳序列，则有 n-1个线性独立的协整向量；?大多数关于协整的研究针对的是一阶单整变量。?现实经济数据多数亦为一阶单整 63 两个或多个时间序列间的协整?考虑以下的二元时间序列模型：?如果Yt和Xt均为非平稳的I(1)序列，那么误差项et很可能也为I(1)序列。?但可能出现Yt和Xt 为I(1)序列而误差项et为I(0)序列的情况。?此时说Yt和Xt之
24、间存在着协整关系。?协整关系被解释为，X和Y之间存在某种长期性均衡，两者之间有某种长期性稳定关系，两者间偶然的偏离会自动趋于收敛，因而任何对均衡状态的偏离均是短暂的。?从图形上看，存在协整关系的变量具有相似的动态变化模式。01tttYXe?64 非协整?若Xt 和Yt是非协整的，那么有：?Zt=Yt-?Xt I(1)?令DZt=ut?此时有Yt-?Xt=(Yo-?Xo)+?t uj?这意味着，若最初时两者偏离均衡，那么这种偏离会随着t的延伸而不断增大。65 协整检验(Cointegration test)?当?已知时，很容易检验两者之间是否存在协整。?定义Zt=yt?xt，然后对Z做DF检验?
25、如果检验结果拒绝存在单位根的虚假设，那么两个序列存在协整关系。?如果?是未知的，那么需要先对其做出估计。?得到?的估计后，做D?t对?t-1的回归，然后将?t-1项系数的t统计值与DF检验临界值做比较。?如果存在着某种趋势，那么估计?时需要在方程中增加一个趋势变量，并在比较?t-1的t统计值时使用不同的临界值。66 协整检验?基于残差的检验?检验残差序列是否存在单元根?利用ADF检验或PP检验?是否存在结构转变?基于特征值(eigen values)的检验?Johansen检验 67 Johansen检验?虚假设：H0:存在r(or 0)个协整 Ha:存在r+m(or 1)个协整?检验值?式中
26、?i 为残差矩阵的特征值?通过查临界值表的方式确定是否拒绝虚假设?协整方程的所有参数同时估计得出?做协整检验可以包括外生变量Z，以反映结构变化。?11rmii rLRTLog?68 关于协整关系的某些结论?若Xt 和Yt 是协整的，那么Xt-k 和Yt也是协整的。?如果Xt I(1)，Xt-k和Xt 是协整的。?如果Xt和Yt是协整的，那么两者间必定存在至少一个方向的格兰杰因果关系。?如果Yt I(0)，但Xt I(1)，那么Yt=?Xt+ut 是一个无意义的回归方程。?如果一个序列可以合理地预测另一个序列，那么它们是协整的。?在有效市场上形成的一对价格不应存在协整关系。69 协整检验的新发展
27、?包括结构断点的协整?检验存在协整时的格兰杰因果关系?Toda&Phillips(1991,Econ)?基于Spectral的回归?Hannans efficient estimator?方程组的协整?联立方程组的协整?部分协整?非线性协整 70 协整与误差修正模型?根据格兰杰代表定理(Representation theorem)，协整意味着应该选择误差修正模型(Error Correction Model)。?考虑以下的简化VAR模型?Xt=10+11Xt-1+12Yt-1+ut?Yt=20+21Xt-1+22Yt-1+vt?如果Y和X之间存在形式如Yt=0+1Xt的协整，那么VAR模型的
28、系数受到某种形式的约束。71 误差修正模型（ECM）?上式可以改写为：?相应的ECM模型为：?VAR模型系数的约束为：72?101111212021122111ttttttttXXYuYXYv?D?D?*1011011*2021011ttttttttXYXuYYXv?D?D?*112101010112111221*1222220202011111?误差修正模型（ECM）?误差修正模型中：?在X方程中，1预期为正值；?在Y方程中，2预期为负值；?的值大小决定了系统回归均衡的速度。?在应用研究中，模型中可以增加：?X或Y的高阶滞后项；?外生变量Z。73 参阅文献?Peterson and Tome
29、k,2000.Implications of deflating commodity prices in time series analysis.(Timeseriesdeflation.pdf)?Time series analysis of export demand equations:A cross-country analysis(wp98149)?A new criteria for selecting the optimum lags in Johansens cointegration technique.(cointegration2.pdf)?Mixed signals among tests for cointegration.(cointegration.pdf)?Jochen Meyer,2003.Measuring Market Integration in the Presence of Transaction Costs:A Threshold Vector Error Correction Approach.(091.pdf)74
