1、第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结 本次课讲授第一章第本次课讲授第一章第9节，第十节；第节，第十节；第二章第一节，第二节。二章第一节，第二节。下次课讲授第二章第下次课讲授第二章第37节节 下次上课时交作业下次上课时交作业P910 重点：伯努利概型，离散变量概率函数重点：伯努利概型，离散变量概率函数 难点：二项分布难点：二项分布回顾：可靠性问题回顾：可靠性问题 设一个系统由设一个系统由 n n 个元件构成的。已知第个元件构成的。已知第 i i 个元件个元件的可靠性为的可靠性为p pi i (i i=1,2,=1,2,，n n)，并且各个元件能否正常，并且各个元件能否正常工作是相互
2、独立的工作是相互独立的,第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性12n（1 1）对于串联系统：）对于串联系统：设设 B B1 1 表示该串联系统正常工作。表示该串联系统正常工作。则则nAAAB211 nAPAPAPBP211 nppp21.)()()()()()()(21121nnnpAPAPAPBPpAPAPAP 时时，特特殊殊地地，当当（2 2）对于并联系统：）对于并联系统：12n设设 B B2 2 表示该系统正常工作表示该系统正常工作,则则,12niiAB .12 niiAPBP,212nAAAB2B表示该系统不能正常工作表示该系统不能正常工作,第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概
3、率与独立性 nAPAPAPBP212 nppp 11121 nAPAPAP 11121 221BPBP nppp 111121.)1(1)1()1)(1(1)(1)(1)(11)()()()(21221nnnppppAPAPAPBPpAPAPAP 时时，特特殊殊地地，当当例例1 1 考察桥式系统，五个元件独立工作并组成桥式系统，考察桥式系统，五个元件独立工作并组成桥式系统，其可靠度均是其可靠度均是p p，求此系统的可靠度。，求此系统的可靠度。1A2A4A3A5A5,4,3,2,1 iiAAi个元件正常工作个元件正常工作第第系统正常工作系统正常工作解：设解：设 由图分析：有由图分析：有4 4条通
4、路中至少一条正常时系统就正常，但条通路中至少一条正常时系统就正常，但并集计算太麻烦，如果把并集计算太麻烦，如果把A A5 5单独拿掉，则剩下的就是并中串单独拿掉，则剩下的就是并中串联的问题联的问题)/()()/()()()()()(55555555AAPAPAAPAPAAPAAPAAAAPAP 第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性422252)11)/(pppAAP （234542222252)2)(1()2()(ppppppppppAP 第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性，此时，此时正常工作时，通路如图正常工作时，通路如图5A1A2A4A3A2)1(1p 这是先串后并的
5、例子：这是先串后并的例子：发生时，如图：发生时，如图：不正常工作时，即不正常工作时，即55AA1A2A4A3A2p2222225)2()1(1)1(1)1(1)/(pppppAAP 一、贝努里概型（一、贝努里概型（n次独立试验概型）次独立试验概型）1.贝努里概型定义贝努里概型定义若一个试验满足下列条件若一个试验满足下列条件（1 1）试验重复）试验重复n n次，次，（2 2）每次试验的结果是相互独立的，）每次试验的结果是相互独立的，（3 3）每次试验只有两个可能结果：）每次试验只有两个可能结果：则称这个试验为则称这个试验为n n重贝努里重贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)试验，或
6、称试验，或称为为n n次独立试验序列，相应的数学模型称为贝努里概型次独立试验序列，相应的数学模型称为贝努里概型pAPAA)(，并且与2.二项分布定理二项分布定理定理：定理：次的概率为：次的概率为：恰发生恰发生次试验中事件次试验中事件，则在，则在为为发生的概率发生的概率次试验事件次试验事件次独立试验序列中，每次独立试验序列中，每在在mAnppAn)10(pqqpCmPmnmmnn 1)(其中其中第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结 mPnmnmmnppC1以以有有：次次，这这些些结结果果互互斥斥，所所，恰恰好好发发生生结结果果就就是是事事件件次次独独立立试试验验所所有有可可能能的的
7、）由由于于注注解解（n.2101An0()1nmmn-mnnnm=C p q=p+q=.01,nnm=Pm=第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结发发生生两两种种可可能能。发发生生，每每个个房房间间都都有有验验。个个房房间间同同时时进进行行同同样样试试次次重重复复试试验验，相相当当于于有有证证明明：AAnnmnnmnnppAPAPAAAAPAmnAmmA )1()()()(,每一次的概率为：每一次的概率为：而且相互独立，因此，而且相互独立，因此，个房间发生个房间发生个房间发生个房间发生次，即每一次有次，即每一次有恰发生恰发生mnmmnmnppCCAmn )1(次次种，因此共有种，因
8、此共有的选法有的选法有个房间发生个房间发生个房间有个房间有 nmmnmmnnnmnmmnnqpCqpmqpqpCmP01)()(2）（：项，即按照二项式定理项，即按照二项式定理的展开式的第的展开式的第正好是二项式正好是二项式）其实）其实注解（注解（nmmnmmnqpCqp01,1简简称称二二项项分分布布称称为为二二项项式式概概率率分分布布，项项相相同同，故故将将理理的的第第由由于于该该概概型型与与二二项项式式定定nmqpCmPmmnmmnn,1,0,)(1 第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结例例3-1-13-1-1（200720
9、07数学一，数学一，4 4分）分）.)1(6;)1(3;)1(6;)1(324),10(222222ppDppCppBppApp ）（）（）（）（）次次命命中中目目标标的的概概率率为为（次次射射击击恰恰好好第第则则此此人人第第目目标标的的概概率率为为复复射射击击，每每次次射射击击命命中中某某人人向向同同一一目目标标独独立立重重独独立立且且：、次次命命中中目目标标；则则第第次次目目标标；次次恰恰命命中中前前概概型型。因因此此：设设次次独独立立试试验验，即即贝贝努努里里次次是是命命中中目目标标的的。前前次次是是必必定定次次命命中中目目标标，所所以以第第次次射射击击恰恰好好是是第第由由于于第第【分分
10、析析】BABA4:13:33424)()()()24(BPAPABPP 次次命命中中目目标标次次射射击击恰恰第第)(.)1(3)1(22213CpppppC故选故选 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为甲胜的概率为 0.60.6，乙胜的概率为，乙胜的概率为 0.40.4。比赛是可以采用三。比赛是可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在那一种比赛制度下，甲获胜局二胜制或五局三胜制，问在那一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？的可能性较大？例例3-1-2解解（1 1）若采用三局二胜制，则甲在下列两种情况下获胜：）若采用三局二胜制，则
11、甲在下列两种情况下获胜：A1:2:0（甲净胜两局甲净胜两局）；）；A2:2:1（前两局各胜一局，第三局甲胜前两局各胜一局，第三局甲胜）。）。结结果果相相乘乘即即可可。最最后后用用乘乘法法原原理理将将两两步步发发生生次次独独立立试试验验甲甲胜胜，第第二二步步是是次次为为发发生生次次即即两两次次独独立立试试验验，甲甲胜胜分分两两步步完完成成，第第一一步步是是。发发生生即即次次独独立立试试验验，每每次次甲甲胜胜为为，则则甲甲胜胜互互斥斥，设设显显然然)1(1),1(11)2(2,1222121PAPAAPAAAAA 第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结则则 221PAP 36.06.0
12、2 6.0122 PAP6.04.06.012 C.288.0 所以甲胜的概率为所以甲胜的概率为 2121APAPAAP .648.0（2 2）若采用五局三胜制，则甲在下列情况下获胜：）若采用五局三胜制，则甲在下列情况下获胜：B1:3:0（甲净胜三局甲净胜三局）；）；B2:3:1（前三局中甲胜两局，负一局，第四局甲胜前三局中甲胜两局，负一局，第四局甲胜）;B3:3:2（前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜）.)1(11),2(224),1(1),2(223)3(3,14313231321PAPABPAPABPABABBB次次发发生生次次独独立立试试验验甲甲胜胜，
13、第第二二步步是是次次为为生生发发次次即即次次独独立立试试验验，甲甲胜胜是是也也分分两两步步完完成成，第第一一步步发发生生次次独独立立试试验验甲甲胜胜，第第二二步步是是次次为为发发生生次次即即甲甲胜胜次次独独立立试试验验，分分两两步步完完成成，第第一一步步是是。发发生生甲甲胜胜即即次次独独立立试试验验，每每次次为为，则则甲甲胜胜互互斥斥，设设显显然然 第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结 331PBP,216.06.03 6.0232 PBP6.04.06.0223 C.259.0 6.0243 PBP6.04.06.02224 C.207.0 682.0207.0259.0216
14、.0)()()()(321 BPBPBPAP第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结例例3-1-3（1987数学一，数学一，4分）分）._1_;1,次次的的概概率率为为至至多多发发生生而而事事件件次次的的概概率率为为至至少少发发生生次次独独立立试试验验，则则现现进进行行发发生生的的概概率率为为设设在在一一次次试试验验中中，事事件件AAnpAnnnpppCAPAPAP)1(1)1(1)0(1)(1)1(00 次次发发生生一一次次没没有有发发生生次次至至少少发发生生【分分析析】11100)1()1()1()1()1()0()10()1(nnnnnnpnppppCppCAPAPAPAP次次
15、发生发生次次发生发生次次次或次或发生发生次次至多发生至多发生3.3.二项分布常用公式：二项分布常用公式：（1 1）在）在 n n 次重复独立试验中，事件次重复独立试验中，事件A A 发生的次数大于发生的次数大于等于等于 m m1 1 小于等于小于等于m m2 2的概率为：的概率为：2121mmmnmPmmmP（2 2）在）在 n n 次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件 A A 至少发生至少发生 r r 次的次的概率为：概率为：nrmnmPrmP 101rmnmP特别的，当特别的，当r r=1=1时，事件时，事件A A 至少发生一次至少发生一次的概率为的概率为 npmP 111其中其中
16、 p p 为事件为事件 A A 发生的概率。这事因为：发生的概率。这事因为：nnppC1100np11 011nPmP 第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结例例3-1-4已知每枚敌对空导弹击中来犯敌机的概率为已知每枚敌对空导弹击中来犯敌机的概率为0.96,0.96,问需问需 要发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机要发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机 的概率大于的概率大于0.999?0.999?nnC04.096.000 1999.0 001.004.0 n001.0lg04.0lg n04.0lg001.0lg n15.2 3 n即需要发射即需要发射3 3枚导弹
17、枚导弹.解解设需要发射设需要发射n枚导弹枚导弹,由题意由题意:击中概率为：击中概率为：999.0)0(1)1(nnPmP 第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结变变成成条条件件了了。串串并并系系统统要要可可靠靠，拆拆桥桥独独立立莫莫忘忘了了。积积概概率率等等概概率率积积，对对立立互互换换摩摩根根了了。子子集集导导，差差补补交交，并并交交了了，交交都都好好，互互斥斥积积空空补补全全复复习习好好了了歌歌：并并至至少少，求求积积看看坐坐标标。几几何何概概，度度量量比比，作作图图原原理理少少不不了了，古古典典概概，量量算算好好，加加乘乘公公
18、式式并并求求交交。加加法法定定理理交交求求并并，摩摩根根相相加加和和求求好好；全全集集拆拆，子子集集小小，互互斥斥全概都用了全概都用了责任推断贝叶斯，乘法责任推断贝叶斯，乘法步骤要全了，步骤要全了，全概两步要走好，第一全概两步要走好，第一区区间间次次数数求求和和了了。次次对对立立算算，至至少少次次了了，项项次次独独立立实实验验好好，二二项项通通1kn例题3-2-1不互为对立事件；不互为对立事件；、互为对立事件；互为对立事件；、不相互独立；不相互独立；、相互独立；相互独立；、）关系成立的是（关系成立的是（则下列则下列互不相容，互不相容，与与设随机事件设随机事件BADBACBABBAABPAPBA
19、)()()()(,0)(,0)(不成立不成立不相互对立不相互对立、时，时，不成立不成立相互对立，相互对立，、时，时，当当显然显然成立。成立。不成立，不成立，不相互独立，不相互独立，、分析：由已知分析：由已知)(1)()()(1)()();()()()()()()(,0)()(0)()(0)(,0)()(CBABPAPDBABPAPBAPABPBAPBPAPBABABPAPABPAABPABBPAP 第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结例题3-2-2)/(,85.0)/(,93.0)(,92.0)(BAPABPBPAP试求试求已知已知 ;)(1)()()()()/(),()()(B
20、PABPAPBPBAPBAPBAPABPAP 分析：分析：862.0)(),(93.008.085.0)(1)()()()()/(85.0)()()(ABPABPAPABPBPAPABPABPABPBAPBP由已知由已知解：解：;988.093.01862.092.0)(1)()()()()/(),()()(又又BPABPAPBPBAPBAPBAPABPAP第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结例题3-2-3的的概概率率。发发生生不不发发生生的的概概率率相相等等，求求发发生生且且不不发发生生的的概概率率与与发发生生，都都不不发发生生的的概概率率为为与与独独立立，与与设设事事件件AA
21、BBABABA91)()(21)()()(1)()()(1)(1)()(912_APAPBAPBPAPABPBPAPBAPBAPBAP 由由)()()()()()()()(),()(BPABPBAPBAPABPBAPABPAPBAPBAP解解 .32)(,1)(0,02)(34)(3 APAPAPAP第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结例题3-2-4的的大大小小不不能能确确定定。与与）则则（合合格格品品的的概概率率为为第第三三次次取取到到次次取取到到合合格格品品的的概概率率为为零零件件装装配配机机器器，若若第第二二个个个个次次品品，每每次次任任取取个个合合格格品品，个个，其其中中
22、有有一一批批零零件件3232323232)(;)(;)(;)(,12810ppDppCppBppApp 2121121121225490729810297108)/()()/()()()(;pAAPAPAAPAPAAAAPAPiAi次次取取到到合合格格品品，则则为为第第设设分分析析 33213213213211123231122335490728891102879810287921088697108)()()()(pAAAAAAAAAAAAPAAAAAAPAAAAAPAP B故选故选第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结例题3-2-5;)61(11)(;)61(11)(;)65(1
23、)(;)65(1)()(510105510105510 DCBA概概率率是是出出现现一一点点的的次次，则则至至少少有有一一次次全全部部个个骰骰子子同同时时掷掷出出，共共掷掷1010)61(616661)(APpCppCAPAP故选故选次次发生发生至少发生一次至少发生一次.)61(1 1)1(1)0(1)(5105005 第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结5005)1(1)0(1)(1)(5,)(10ppCAPAPAPpAPA 次次发生发生一次没有发生一次没有发生至少发生一次至少发生一次次独立试验中，次独立试验中，在在则则并并个骰子全部出现一点”个骰子全部出现一点”分析：设分析：
24、设例题3-2-6 玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只。假设各箱含只。假设各箱含0,1,20,1,2只残次品只残次品的概率相应为的概率相应为0.8,0.1,0.10.8,0.1,0.1。某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购。某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4 4只，若无残次只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求 （1 1）顾客买下该箱的概率；）顾客买下该箱的概率；（2 2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。20210210)
25、/()()()()()()()1(4iiiiABPAPBAPBAPBAPAAABPBPiAB。件残次品件残次品箱中有箱中有只无次品”；只无次品”；看看“买下该箱”即“查“买下该箱”即“查解：设解：设.1912)/(,54)/(,1)/(420418242041914204200 CCABPCCABPCCABP第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结94.019121.0541.018.0)/()()()()()(20210 iiiABPAPBAPBAPBAPBP85.094.018.0)/()()/()()()()/()/(2000000 iiiABPAPABPAPBPBAPBAPB
26、AP属属于于逆逆概概率率问问题题，即即求求第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结例题3-2-7 1010个考签中有个考签中有4 4个难签，个难签，3 3人参加抽签考试，不重复地抽取，人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后，证明每人一次，甲先，乙次，丙最后，证明3 3人抽到难签的概率相人抽到难签的概率相等。等。.52)(11014 CCAPCBA难难签签。则则：分分别别为为甲甲、乙乙、丙丙抽抽到到、解解：设设.5290369410693109)/()()/()()()()()(ABPAPABPAPABPBAPAABPBP第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一
27、章总结)()()()()()(CBAPBCAPCBAPABCPAABBCPCP .5290368495106839610483941068293104 。人人抽抽到到难难签签的的概概率率相相等等所所以以，3)/()/()()/()/()()/()/()()/()/()(BACPABPAPBACPABPAPBACPABPAPABCPABPAP )/()()/()()/()()/()(BACPBAPBACPBAPBACPBAPABCPABP 第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结三、随机变量的定义三、随机变量的定义1.背景知识：背景知识：第一章是一个把现实问题变成数学问题的第一章是一个
28、把现实问题变成数学问题的过程，本章则要将一般的数学问题转变成代数问题过程，本章则要将一般的数学问题转变成代数问题是实数是实数是事件，是事件，但是但是与与xAxfyxPyAPP)()()(实数实数x x需要和事件需要和事件A A建立对应关系，但建立对应关系，但A A不确定不确定A A是样是样本点的子集，全体样本点构成确定的本点的子集，全体样本点构成确定的 需要实数和需要实数和样本点一一对应样本点一一对应x x与随机事件对应与随机事件对应x x叫随机变量叫随机变量2.随机变量定义与分类：随机变量定义与分类：如果对于试验的样本空间如果对于试验的样本空间 中每一个样本点中每一个样本点 ,变量变量X X
29、都都有一个确定的实数值与之对应有一个确定的实数值与之对应,则变量则变量 是样本点是样本点 的实值的实值函数，记作函数，记作 .我们称这样的变量我们称这样的变量 为为.)(XXXX一般一般第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结分类分类离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量 所有可能取的值能一一列举出来所有可能取的值能一一列举出来所有可能取的值充满某一区间所有可能取的值充满某一区间随机变量随机变量X X取得某一个值取得某一个值x x，记作，记作,xX 取得某一个区间取得某一个区间 内的值，可记做内的值，可记做 21,xx,21xXx 随机变量随机变量X X取得某一个
30、小于取得某一个小于x x的值，记做的值，记做,xX 第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结随机变量是以随机事件为自变量的实值函数。随机变量是以随机事件为自变量的实值函数。机机事事件件的的实实数数化化就就是是说说，随随机机变变量量是是随随变变量量是是一一一一对对应应的的，也也所所以以，随随机机事事件件与与随随机机，任任意意的的事事件件因因为为对对于于每每一一个个按按照照定定义义，,2121iiiiiixxXwwAxw .2,1,0 X解：由题意解：由题意为：为：则样本空间则样本空间号球的标号，号球的标号，球为球为任取任取设随机事件设随机事件 .5,4,3,2,1,2jijijiwij
31、,45353425242315141312wwwwwwwwww ,2,1,0)(23131235342524151445wwwwwwwwwwwwwwXX第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结3.随机变量实例随机变量实例例3-3-1 从装有从装有3 3个白球（标号为个白球（标号为1 1，2 2，3 3）与两个黑球）与两个黑球（编号为（编号为4 4，5 5）的袋中任取）的袋中任取2 2球，设随机变量球，设随机变量x x是取出的是取出的两个球中白球的个数，试写出：两个球中白球的个数，试写出：)(wXX 样本空间为样本空间为 ,|bxaxx 于是，令于是，令xwwxwXX 其中其中,)(例
32、例3-3-2 设随机事件为测量车床加工零件的直径，设随设随机事件为测量车床加工零件的直径，设随机变量为机变量为X（毫米），则（毫米），则则则：毫毫米米，且且测测得得零零件件的的直直径径为为令令,bxaxwx 例例3-1-3 3-1-3 打靶试验中打靶试验中5 X表示（或对应）事件表示（或对应）事件“中中5 5环环”，6 X表示事件（或对应）表示事件（或对应）“环数不超过环数不超过6 6环环”，73 X表示事件表示事件“环数大于环数大于3 3环小于环小于7 7环环”，以上实例说明，随机变量也是随机事件，是实数化以上实例说明，随机变量也是随机事件，是实数化的随机事件的随机事件第三讲第三讲 独立性与
33、第一章总结独立性与第一章总结四、离散型随机变量的概率函数四、离散型随机变量的概率函数（一）概率函数与概率分布（一）概率函数与概率分布1.定义：定义：,21nxxxX 的值域为的值域为设随机变量设随机变量 ,21nxpxpxp取得这些值的概率分别为取得这些值的概率分别为即：即：2,1 ixXPxpii称为离散型随机变量称为离散型随机变量X X 的的概率函数概率函数或分布律（列）。或分布律（列）。ixp则：则：;,2,101 nixpi 非负性：非负性：2.2.概率函数的性质概率函数的性质规范性：若随机变量规范性：若随机变量X X 只能取有限个值只能取有限个值 则则.1)(1 niixp若随机变量
34、若随机变量X X可能取可数无穷多个值，则可能取可数无穷多个值，则.1)(1iixp,21nxxx第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结组组，即即：构构成成了了互互斥斥的的完完备备事事件件所所以以对对应应了了全全部部的的样样本本点点。件件互互斥斥，时时，两两个个变变量量对对应应的的事事）当当（,2,1,)(,2,1,)(2 ixwXXixwXXxxiiji.1)(1 niixp.1)(1iixp或或第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结3.概率函数的分布（表示方法）概率函数的分布（表示方法）（1）列举法）列举法 ,21nxpxpxp取得这些值的概率分别为取得这些值的概率分
35、别为设离散随机变量设离散随机变量 取得的一切可能值为取得的一切可能值为X,21nxxx常将概率函数写成表格形式。一般地，称表格为概率分布表。常将概率函数写成表格形式。一般地，称表格为概率分布表。）概概率率非非负负显显然然证证：（1X ixXP 1x2xnx)(2xp)(nxp)(1xp概率分布（表）概率分布（表）因此，因此，概率函数通常又称概率分布。概率函数通常又称概率分布。有时也用概率分布图表示概率函数（分布）：有时也用概率分布图表示概率函数（分布）：第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结1x2xnx1.03.02.0 x)(xp率率分分布布图图。起起来来，得得到到随随机机变变量
36、量概概连连接接再再用用折折线线顺顺次次把把这这些些点点机机变变量量的的概概率率而而对对应应的的纵纵坐坐标标表表示示随随表表示示随随机机变变量量在在右右图图中中，横横轴轴上上的的点点)(,()(,),(),(,1121iinnxpxxpxpxpxxx（2）概率图示方法）概率图示方法例例3-3-1 取得白球为止，求取球次数的概率分布。假定：取得白球为止，求取球次数的概率分布。假定：袋中有袋中有2 2个白球和个白球和3 3个黑球，每次从袋中任取个黑球，每次从袋中任取1 1个球，直至个球，直至 （1 1）取出的黑球不再放回去；取出的黑球不再放回去；（2 2）取出的黑球仍放回去。取出的黑球仍放回去。第三
37、讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结（1）设随机变量）设随机变量X 是取球次数，是取球次数，,4.052)1(XP,3.04253)2(XP.1.022314253)4(XP,2.0324253)3(XP4,3,2,1 X解解因此，所求概率分布列表为：因此，所求概率分布列表为：11.02.03.04.041 iixp )(mYP52531 m,)6.0(4.01 m.,2,1 m（2）设随机变量）设随机变量Y 是取球次数，是取球次数，3,2,1 Y第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结X)(ixp4.043213.02.01.0因此，所求概率分布为：因此，所求概率分布为：
38、Y)(jyP1)6.0(4.0 mn214.06.04.0,16.014.0)6.0(4.0)(111 mmmmyp公式法公式法例例3-3-2 在在n n=5=5的贝努里试验中，设事件的贝努里试验中，设事件A A在一次试验在一次试验中出现的概率为中出现的概率为p p,试求事件试求事件A A出现次数的分布列出现次数的分布列,并求并求)42(xP.5,50,)(5 nkqpCkXPnAXknkkn重重独独立立试试验验公公式式：出出现现的的次次数数，由由次次独独立立试试验验中中解解：令令.1543210,)(55pqkqpCkXPkkk ；，第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结4321
39、X)(ixp0545pq5q3210qp2310qpqp455p于是，于是，x x的分布列为：的分布列为：1)()(5505550 qpqpCxPiiiiii容易验证：容易验证：)4()3()2()42(2 xPxPxPxP）（)22(55101022242332ppqqqpqpqpqp 第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结 babaIiiIiiipxXPbxaPxbabXaP,)()(,),(概概率率之之和和，即即：点点的的上上所所有有则则它它等等于于若若求求区区间间概概率率注意：注意：nxqpCxpxnxxn2,1,0,)(记记X X为为n n次试验中事件次试验中事件A A发
40、生的次数，则其概率函数为发生的次数，则其概率函数为 其中其中,10 p,1 qp例如在例如在n n次独立重复的次独立重复的BernoulliBernoulli 试验中试验中,每次事件每次事件A A发生发生的概率为的概率为 p。在学习独立试验序列时我们已知，此称在学习独立试验序列时我们已知，此称.它含有两个参数它含有两个参数n n 和和p p ，记作记作B B(n n ,p p)。).,(pnBX记概率函数为记概率函数为).,;(pnxp.00()()11nnxxn-xnnnxxp xC p qp+q1.二项分布二项分布一、典型的离散随机变量概率分布一一、典型的离散随机变量概率分布一第四讲第四讲
41、 随机变量及其分布随机变量及其分布2.“0-1”2.“0-1”分布分布(两点分布两点分布)1,0()(1 xqpxpxx设随机变量设随机变量 X X只能取两个数值只能取两个数值0 0和和1,1,而概率函数是而概率函数是.1,10 qpp其其中中于是，概率分布为于是，概率分布为X)(xpp110p通常称这种分布为称通常称这种分布为称0 0 1 1分布分布 (或或两点分布两点分布).).)(pGX试验的次数，则：试验的次数，则：发生时发生时为为发生），设发生），设次次才发生（即前才发生（即前次次进行到进行到试验试验发生的概率为发生的概率为每次事件每次事件在一个贝努里试验中，在一个贝努里试验中，AX
42、AkAkpA1,第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布2,1,)(1 xpqxXPx其中其中,10 p,1 qp概率函数概率函数),(,111pkGXpkXpqpqkkk的的几几何何分分布布，记记作作：为为服服从从参参数数的的通通项项，所所以以称称是是几几何何级级数数由由于于 设随机变量设随机变量 X X 的取值范围为：的取值范围为：取得这些值的概率函数是：取得这些值的概率函数是：210,)(,n,xCCCxpnNxnMNxM 4.超几何分布超几何分布,2,1,0nx 其中其中 n n,M M,N N 都是正整数都是正整数,n x N M.且且 n N,M N,x M,x n,的的超超
43、几几何何分分布布服服从从参参数数为为称称这这样样的的分分布布为为NmnX,第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布超几何分布含有三个参数，超几何分布含有三个参数，通常记作通常记作),(NMnHX其概率函数还可记为其概率函数还可记为).,;(NMnxp0=0()1.nxn-xnMN-MnxNnnxNNC CCp xCC：且由组合公式可以证明且由组合公式可以证明显然：显然：,0)(kXP超几何分布应用超几何分布应用很广泛，例如检查产品的次品问题很广泛，例如检查产品的次品问题 设一批产品共有设一批产品共有 N N 个个,其中有其中有 M M 个次品个次品.从这批产品从这批产品中任取中任取 n
44、n 个产品个产品，则则取出的取出的 n n 个产品中的次品数个产品中的次品数 X X服从超服从超几何分布几何分布),(NMnHX从一批产品中任意取出从一批产品中任意取出n n个产品，可以有两种不同的方式：个产品，可以有两种不同的方式：（1 1）一次任意取出）一次任意取出n n个产品；个产品；第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布（2 2）每次任意取出）每次任意取出一一个产品，取出的产品不再放回，个产品，取出的产品不再放回，连续取连续取n n个产品个产品.nNxnMNxMnNCCCxXPxnxXC )(:1件次品，即件次品，即件产品有件产品有
45、取出取出；事件；事件：）对于（对于（)(!,!:2xnnCCCAxnxnnCxxnCCxnxnxXPxNxnMNxMxNxnMNxMnN 为：为：事件事件正品。按照乘法原理，正品。按照乘法原理，个个个位置中按顺序排列个位置中按顺序排列第三，在剩下的第三，在剩下的个次品：个次品：个位置放置个位置放置件产品的顺序中找件产品的顺序中找；第二步：在；第二步：在正品：正品：件件件次品和件次品和：第一，先取：第一，先取件产品。该事件分三步件产品。该事件分三步连续取连续取一个一个取产品，一个一个取产品，；事件；事件：）则与顺序有关，）则与顺序有关，对于（对于（)!(!;)!(!)(xnxnCPxnxCCCxXPxnnNxnxnMNxM 注意：注意：
