1、5.2 相似矩阵相似矩阵换的概念换的概念一、相似矩阵与相似变一、相似矩阵与相似变换的性质换的性质二、相似矩阵与相似变二、相似矩阵与相似变阵对角化阵对角化三、利用相似变换将方三、利用相似变换将方四四、小小结结、思思考考题题一、相似矩阵与相似变换的概念.,.,111的相似变换矩阵变成被称为把可逆矩阵进行相似变换称为对行运算进对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA1.等价关系等价关系 .22111211PAPPAPPAAP ,.3为正整数为正整数相似相似与与则则相似相似与与若若mBABAmm二、相似矩阵与相似变换的性质.本身相似本身相似
2、与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与与相相似似与与若若CACBBA反身性反身性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3()(1AIIA ),(1111ABPPAPPB ）则（则（若若.相似相似与与TTBA证明证明相相似似与与BA PIPAPPIB 11 PIAP 1PIAP 1.IA BAPPP 1,使得使得可逆阵可逆阵.,.411相似相似与与则则相似相似与与若可逆阵若可逆阵 BABA.,的的特特征征值值亦亦相相同同与与从从而而式式相相同同的的特特征征多多项项与与则则相相似似与与阶阶矩矩阵阵若若BABABAn.5则则相似于相似于若若推论推论,1BA
3、);()()1(BtrAtr.)2(BA 说明说明中的两个结论只是中的两个结论只是及其推论及其推论性质性质15.件件两个矩阵相似的必要条两个矩阵相似的必要条.1011,1001 BA例如，例如，容容易易算算出出的特征多项式均为的特征多项式均为与与BA有有的可逆阵的可逆阵是一个单位阵，对任给是一个单位阵，对任给但但,PAIPPIPPAPP 1112)1(推论推论2 若若 阶方阵阶方阵 与对角阵与对角阵n n 21.,21个特征值个特征值的的即是即是则则相似相似nAn A而现在而现在必是单位阵必是单位阵相似，则相似，则与与因此，若因此，若.BAB.不是单位阵不是单位阵B不为相似矩阵！不为相似矩阵！
4、与与所以，所以，BA利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式:,1PPBA 若若PIPaPBPaPPBaPPBannnn11111110 Ak则则若有若有,)(110nnnaxaxax IAAaaAaAannnn 1110)(.)(1PBP .1PBPk 则则11110)(PIaBaPnnnnBaBaPPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k个个)1()2(.1PPBAkk,1为对角矩阵为对角矩阵使使若可逆矩阵若可逆矩阵特别地特别地 APPP,1PPAkk 则则.)()(1PPA 有有对于对角矩阵对于对角矩阵,21 knkkk,)()()()(111 利用上利用上述结论可以述结论可
5、以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .)(A 证明证明,1为对角阵为对角阵使使假设存在可逆阵假设存在可逆阵 APPP .,21npppPP 用其列向量表示为用其列向量表示为将将三、利用相似变换将方阵对角化.)(1个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理nAAAn这就称为这就称为为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对,1 APPPAn.可对角化可对角化方阵方阵A nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAp
6、pppA,2121 .,2,1nipApiii 于是有于是有 nppp ,211,1 PAPAPP得得由由.,的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA .,21线线性性无无关关所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命题得证命题得证.,PAPPnnnA使使阵阵个特征向量即可构成矩个特征向量即可构成矩这这个特征向量个特征向量得得并可对应地求并可对应地求个特征值个特征值恰好有恰好有由于由于反之反之 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论1nAAn数等于几何重
7、数，即对数等于几何重数，即对其每一特征值的代数重其每一特征值的代数重件是件是可对角化的充分必要条可对角化的充分必要条阶矩阵阶矩阵推论推论An 2.m，有，有每个每个也可描述为也可描述为推论推论2.,)(,2线性无关的特征向量线性无关的特征向量个个恰有恰有从而对应特征值从而对应特征值的秩的秩则矩阵则矩阵重根重根的特征方程的的特征方程的是是若若可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是阶矩阵阶矩阵设设推论推论rrnIArIArAAn 说明说明:分条件；分条件；只是矩阵可对角化的充只是矩阵可对角化的充推论推论1)1(AAnnA如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线
8、性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，还是能对角化还是能对角化)2(201335212IA 31 .1321 的特征值为的特征值为所以所以A ,01 xIA 代入代入把把解之得基础解系解之得基础解系 ,1,1,1T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A，由于由于3111 m 解解 解毕解毕例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？201335212A 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆
9、逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064IA 212 .2,1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 得方程组得方程组代入代入将将0121 xIA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 1002 212xx 即即,2312cxcx 令令 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将,02 3 xIA 1,1,13 T.,321线性无关线性无关由于由于 110101102,321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A 解毕解毕注意注意:,213 P若令若令111
10、 012 100.1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应PyxyxA与与可对角化，求可对角化，求设设 00111003例例.应满足的关系式应满足的关系式解解2)1(011100 yxIA由由.01321 ，得得，123)(11 IAr，必有，必有的的由定理由定理推论推论2,000001011010101 yxyxIA而而.yx 故必有故必有 解毕解毕4例例相似，其中相似，其中与与已知矩阵已知矩阵BA,00010002 aA,32020002 bB;,)2(,)1(1ABPPPba 使使求可逆阵求
11、可逆阵的值；的值；求求.)3(nB求求解解特征值及特征值及由相似矩阵具有相同的由相似矩阵具有相同的)1(BAniin 121,)()(BtrAtr nii1 解之得解之得得得),43(22;3212 baba.3,5 ba解方程解方程，的特征值为的特征值为由由,512)2(321 B0)(xIBi 为为得对应的特征向量分别得对应的特征向量分别,0011 ,1102 ,1103 .,1321成立成立则则令令ABPPP ,)3(1 PAPB因因,)(11 PPAPAPBnnn所以所以 2121021210001,1101100011PP可解得可解得由由于是于是 215215021521500021
12、nnnnnnnPPAB 解毕解毕4例例 11111qqppA设设相似，相似，与与 200010000B.A试求矩阵试求矩阵解解即即有有由相似矩阵的性质，知由相似矩阵的性质，知,0 BA322221113(2)()11ppqpqpqq 0)(111112 pqqqppA.qp IBIA 再由再由 232000100023 2222pq 由同次项系数相等.0qp 说明说明元素时，建议先用性质元素时，建议先用性质解矩阵中未知解矩阵中未知在利用相似矩阵性质求在利用相似矩阵性质求);()()1(BtrAtr.)2(BA ,IBIA .可可比比较较两两端端同同次次项项系系数数即即；若若只只有有重重根根时时
13、，需需回回代代检检验验用用能能得得到到一一个个方方程程时时，再再 解毕解毕四、小结 相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质。的性质。相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵APP1 P思考题设设n阶方阵阶方阵A与与B有相同的特征值，则下列有相同的特征值，则下列说法正确的是（说法正确的是（）？）？1、A与与B相似相似2、存在一对角阵，使、存在一对角阵，使A、B都相似于它都相似于它3、存在正交阵、存在正交阵Q，使，使4、|A|=|B|BAQQT
