1、 第二类曲面积分第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）（对坐标的曲面积分）一、第二类曲面积分的概念与性质一、第二类曲面积分的概念与性质曲面法向量的指向决定曲面的侧曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面决定了侧的曲面称为有向曲面.1.1.曲面的侧曲面的侧以下总假定曲面是光滑的或分片光滑的。以下总假定曲面是光滑的或分片光滑的。例如旋转抛物面例如旋转抛物面22zxy在抛物面上每一点处的法向在抛物面上每一点处的法向量有两个，其中量有两个，其中 2,2,1,nxy 22zxy z它与 轴正向夹角为锐角,指向上侧;它与 轴正向夹角为锐角,指向上侧;2,2,1nxyz 而与 轴正向夹角为而与
2、轴正向夹角为对于曲面对于曲面S S：z=zz=z(x,yx,y),),若每一点的法向量与若每一点的法向量与z z 轴正向夹轴正向夹 角为锐角，则称法向量指向曲面角为锐角，则称法向量指向曲面的上侧的上侧;否则为下侧否则为下侧.钝角,指向下侧;钝角,指向下侧;对于曲面对于曲面S S：y=yy=y(x,zx,z),),若每一点的法向量与若每一点的法向量与y y 轴正向轴正向 夹角为锐角，则称法向量指向曲面夹角为锐角，则称法向量指向曲面的右侧；否则为的右侧；否则为左侧。左侧。对封闭曲面则有外侧和内侧之分。对封闭曲面则有外侧和内侧之分。这种具有两个侧的曲面称为这种具有两个侧的曲面称为双侧曲面。双侧曲面。
3、同理，对曲面同理，对曲面S S：x=xx=x(y,zy,z)有前侧和后侧之分。有前侧和后侧之分。2.2.流量问题流量问题:cosS v 流量流量0Sv n v S vS 流速场为常向量，有向平面区域，求单位流速场为常向量，有向平面区域，求单位.S 时间流过 的流体的质量时间流过 的流体的质量 0v nS 0.SSn 其中其中设稳定流动的不可压缩流体的速度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 ,v x y zP x y z iQ x y z jR x y z k .,SP x y z是速度场中的一片有向曲面 函数，是速度场中的一片有向曲面 函数，,.Q x y zR x y zS，都在 上连续
4、 求在单位，都在 上连续 求在单位 时间内流向指定侧的流量.时间内流向指定侧的流量.则该点流速为则该点流速为 .iv 法向量为法向量为 .in()iiiivv,iiSnSS把曲面 任意分成 个小块，同时也用把曲面 任意分成 个小块，同时也用i表示第 个小块的面积，表示第 个小块的面积，,.iiiiS 在上任取一点在上任取一点()()()iiiiiiiiiP,iQ,jR,k,iS ,iii Sin iv（1）（）（）分割分割（）近似（）近似0(1,2,.,)iiiivnSin 该点处的单位法向量为：该点处的单位法向量为：0coscoscosiiiinijk iS 通过流向指定侧的流量通过流向指定
5、侧的流量,i记为记为iS ,iii Sin iv (3).求和求和01niiiivnS 1(,)cos(,)cos(,)cosniiiiiiiiiiiiiiPQRS S通过 流向指定侧的流量通过 流向指定侧的流量0 令令.取取极极限限得得到到流流量量的的精精确确值值 001lim,niiiiiiiivnS 1,2,iSin 其中 为各小块曲面中直径的其中 为各小块曲面中直径的 0,.Sv x y znx y z dS 最大值.最大值.3.3.第二类曲面积分第二类曲面积分 的定义的定义0，SnS 设 为一光滑有向曲面设 为一光滑有向曲面定定为曲面为曲面义义上任上任MS一点处的单位法向量,其方向与
6、曲面 侧的一点处的单位法向量,其方向与曲面 侧的选取一致.又设向量值函数选取一致.又设向量值函数 0.SF nS 在曲面 上有界 若数量值函数在 上的第在曲面 上有界 若数量值函数在 上的第,一类曲面积分存在 则称此积分值为向量值函数一类曲面积分存在 则称此积分值为向量值函数 ,F x y zS 在有向曲面 上的第二类曲面积分在有向曲面 上的第二类曲面积分 0.SF n dS 记为记为 ,F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k dS由于是数量由于是数量0,dSn dSdS 面积面积记称为记称为微元向量.微元向量.0dSn 的方向与单位法向量一致,其大小为面积的方向
7、与单位法向量一致,其大小为面积dS微微元元的的值值.,SF dS 第二类曲面积分的向量形式为第二类曲面积分的向量形式为 0.SSF ndSF dS 即即注：注：00.F ndSFn dSS若 为有向闭曲面时,记为若 为有向闭曲面时,记为 0.SSF ndSF dS ,F x y z 若向量值函数在光滑曲面或分片光若向量值函数在光滑曲面或分片光，S滑的有向曲面 上连续则第二类曲面积分滑的有向曲面 上连续则第二类曲面积分 0SSF n dSF dS 存在.存在.4.4.第二类曲面积分的性质第二类曲面积分的性质 121,k k设为两个常数,则设为两个常数,则 11221122.SSSk Fk FdS
8、kFdSkFdS 12122,SSSSSS将 分成与与的侧与 的侧保持一致,将 分成与与的侧与 的侧保持一致,12.SSSF dSF dSF dS 则则 3，SS 若用表示 的另一侧则若用表示 的另一侧则.SSF dSF dS 0，Sn 事实上因为曲面的侧的单位法向量为-事实上因为曲面的侧的单位法向量为-SF dS .SF dS 0SF n dS 0SFndS 5.5.第二类曲面积分的表达形式第二类曲面积分的表达形式0n 单位法向量可以表示为:单位法向量可以表示为:0cos,cos,cos,n ：向量值函数为向量值函数为 ,F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k：
9、第二类曲面积分可以表示为第二类曲面积分可以表示为 01SSF dSF n dS coscoscos;SPQRdS 2 若记:若记:cos,cos,cos,dydzdSdzdxdSdxdydS 0cos,cos,cosdSn dSdSdSdS 则则 ,.dydz dzdx dxdy 第二类曲面积分也可以表示为:第二类曲面积分也可以表示为:0SSF dSF n dS ,.SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 0SSF dSF n dS ,.SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 这就是第二类曲面积分的坐标形式,也称第二类这就
10、是第二类曲面积分的坐标形式,也称第二类曲面积分为对坐标的曲面积分.曲面积分为对坐标的曲面积分.（）（）第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系 ,.SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy coscoscos;SPQRdS 二、第二类曲面积分的计算二、第二类曲面积分的计算下面讨论第二类曲面积分的计算公式：下面讨论第二类曲面积分的计算公式：1.,Szz x y 设积分曲面 的方程为:其指向设积分曲面 的方程为:其指向,xySxoyD为上侧在面上的投影区域为函数为上侧在面上的投影区域为函数 ,xyzz x yD 在上具有一阶连续偏导
11、数,在上具有一阶连续偏导数,即曲面是光滑的,向量值函数即曲面是光滑的,向量值函数 ,F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k.S在 上连续在 上连续 :,S zz x y 曲曲面面函数函数Z=Z(x,y)Z=Z(x,y)在在D D是有连续偏是有连续偏导数导数,则由则由222222(,)(,)1coscoscos111xyxyxyZ x yZ x yZZZZZZyx ,.SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy coscoscosSPQRdS ,(,)(),(,)()(,(,)xySP x y z x yZQ x y z x yZR
12、x y z x y dxdy 上侧取上侧取+,+,下侧取下侧取-计算公式计算公式 ,SPx y z dydzQx y z dzdxR x y z dxdy 类似地有类似地有 :(,),(,),(),(,),(,(,),)()S yy x zxSzPx y x zzyQx y x zzR x y x zzydxdz :(,)(,),(,),()(,),)()S xx y zySzPx y zy zQx y zy zxR x y zy zxdydz 右侧和前侧取右侧和前侧取+号号;左侧和后侧取左侧和后侧取-号号计算公式计算公式计算公式计算公式三、第二类曲面积分的计算举例三、第二类曲面积分的计算举例
13、2,SIydydzxdzdxz dxdyS 计计算算其其中中 为为锥锥面面例例1 1解解22,xxzxy 22:,S zxy22,yyzxy 221,2zxyzz被平面所截部分的外侧被平面所截部分的外侧 :,S zz x y 曲面的侧指向下侧,曲面的侧指向下侧,22222222222301()()()()152xyxySDDIydydzxdzdxz dxdyxyyxxydxdyxyxyxy dxdydr dr (,)2(,)(,),(,),1SIf x y zx dydzf x y zy dzdxf x y zz dxdyf x y zSxyz 计算计算其中为连续函数其中为连续函数为平面在第四
14、卦限部分的上侧为平面在第四卦限部分的上侧例例2 2：S解曲面 的方程为解曲面 的方程为1,zxy1,1xyzz (,)2(,)SIf x y zx dydzf x y zy dzdx (,)f x y zz dxdyxyDdxdy ()(2)(1)(1)xyDfxfyfxy dxdy 1.2 解解22:1;Sxyzxyz2223100SxyzdxdySxyzx,y 例计算,其中 是球面例计算,其中 是球面的外侧在的外侧在的部分.的部分.其侧指向前侧.其侧指向前侧.2212320012sin cos115xyxyDDxyzdxdyxyxy dxdydrr dr 222,20,1.SIy dzdxzdxdySxyyzz 例4计算其中 为柱面例4计算其中 为柱面被平面所截部分的外侧被平面所截部分的外侧1S解左侧 的方程为:解左侧 的方程为:211,yx2,01xzxyyx 1S右右的的方方程程:211,yx2,01xzxyyx 1222SSIy dzdxzdxdyy dzdxzdxdy22(11)xzDxdzdx 22(11)zxDxdzdx 22221111zxDxxdzdx 241zxDx dzdx 1121041x dxdz 2.
