1、3.3 行列式行列式的定义行列式的性质行列式的应用矩阵的初等变换与行列式展开式定理(拉普拉斯定理)矩阵的伴随矩阵矩阵的秩克莱姆法则计算行列式的值(1)行列式的定义定义：用排列来定义行列式线性代数-第三章线性代数-第三章例：所有的 3 元排列为:123,132,213,231,312,321.定义：例：在排列 45312 中,全部的逆对为:(4,3),(4,1),(4,2);(5,3),(5,1),(5,2);(3,1),(3,2).对排列中的每个数,统计位于它右边且比它小的数的个数线性代数-第三章定义：常用的记号：行列式是针对方阵而定义的线性代数-第三章例：例：解：数的乘法满足交换律列指标构成
2、了一个 5 元排列 23514,又由于 23514 的全部逆对为:(2,1);(3,1);(5,1),(5,4).命题：转置不改变行列式的值对于行列式而言,行、列的地位是对等的用行列式的定义验证关于行的结论,对于列也成立;反之亦然线性代数-第三章利用行列式的定义计算行列式例：一元排列只有一个：1,其符号为 1.例：二元排列有 2 个:12;21对角元的乘积反对角元的乘积例：线性代数-第三章把上面 6 项相加即得可以在三阶行列式中画线来记忆综上,阶数不超过 3 的行列式可以直接用定义来计算.例：计算行列式解：线性代数-第三章但是,有如下的例子例：解：任取其定义式中的一项:继续上述讨论得到:对角元
3、的乘积对于下三角行列式有相同的结论.作业：习题3.3：1,2.线性代数-第三章(2)行列式的基本性质、用初等变换计算行列式回顾：任意矩阵都可以用初等变换化为阶梯形矩阵阶梯形方阵是上三角阵引理：交换行列式的两行(列),其余的行(列)不变,则行列式的值变号.用行列式的定义引理：某行(列)有公因子时,可先提出线性代数-第三章命题：因此,可以用矩阵的初等变换来计算行列式.一般地,利用初等变换把行列式转化为三角行列式,可以简化计算.例：解：交换1，2行推论：线性代数-第三章例：解：例：解：线性代数-第三章推论：行列式与数乘的关系注：定理：行列式与矩阵乘法的关系推论：乘积的行列式等于行列式的乘积.作业：习
4、题3.3：3,4.线性代数-第三章(3)行列式与矩阵的秩、行列式与可逆阵命题：可以用两种方法证明 推论：例：例：用行列式证明如下的结论：例：向量个数等于维数时,可以用行列式来判断线性相关或线性无关.线性代数-第三章定义：定理：行列式的一个应用：利用行列式可以刻画矩阵的秩.线性代数-第三章(4)展开式定理(拉普拉斯定理)及其应用研究行列式,除了矩阵的初等变换以外,另一个重要的想法是,把高阶的行列式转化为更低阶的行列式.回顾：3 阶行列式可以写为若干 2 阶行列式的表达式线性代数-第三章(3-1)展开式定理(拉普拉斯定理)定义：按某一行或某一列的展开式定理：注：注：在计算行列式的值时,可以先作初等
5、变换,使得某行或某列尽含有可能多的 0,然后再用展开式进行计算.线性代数-第三章例：解：按第3列展开例：解：分别把第 1 行的 1,2 倍加到第 2,3 行,使得第 3 列只有一个非零的数.按第 3 列展开.线性代数-第三章例：推论：(3-2)展开式定理的矩阵形式、伴随矩阵推论：线性代数-第三章例：解：线性代数-第三章推论：写成矩阵乘法的形式定义：定理：(拉普拉斯定理:矩阵形式.)数量阵线性代数-第三章例：例：对角元交换位置；非对角元变号.例：证明：任意上(下)三角阵的伴随矩阵仍然是上(下)三角阵.例：例：线性代数-第三章(3-3)行列式的应用：求逆矩阵、克莱姆法则定理：例：其理论意义在于：给出了逆矩阵的一个公式.有唯一解线性代数-第三章定理：(克莱姆法则.)该定理的理论意义在于：在这种情况下给出了解的具体公式.例：(3-4)分块矩阵的拉普拉斯定理的应用推论：准上 (下)三角阵的行列式等于其所有对角线上的块的行列式的乘积.例：作业：习题3.3：6,7,8,9,10.
