1、现在开始上课Math3-3 授授 课课 内内 容容 函数极值的第二判别法 函数的最大值与最小值 最大值与最小值在经济问题中的应用知知 识识 点点 用二阶导数的符号判断函数的极值 最值的概念 求最值的步骤和方法 最大利润问题、最小成本问题重重 点点 求最值的方法与步骤 在经济问题中的简单应用 设)(xf在0 x处具有二阶导数,且 0)x(f0 ,0)x(f0 ,那末(1)当 0)(0 xf 时,函数)(xf 在 0 x 处取得极大值;(2)当 0)(0 xf 时,函数)(xf 在 0 x 处取得极小值.)(0)(300是否是极值，则不能判断若）（xfxf 定理3.7(极值判别法)例3.20243
2、)(23的极值求出函数xxxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点解2463)(2xxxf)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f而,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.4820243)(23xxxxf 图形如右Mm注意:.)(,0)(00处不一定取极值在点时xxfxf.0)(0用第一判别法判断只能时，第二判别法失效，因此，当 xf 函数的不可导点,也可能是函数的极值点.如下面的例题3.课堂练习 Ex3 7(2,4,)课堂练习解答：6y y2x,01821 1,018y )(6-12xy 2 x,-1 x,0y )2(61266xy )2(72x21-1x22 的
3、极小值是极小点，所以又的极大值是极大点，所以利用极值判别法解得令xxyyyxIIxxx412021 0y 0,21 ,)4(32966xy .2x,2-x,0,0)()4()x-2x(4y )4(7220 x03448244 xxxyxyxoyxxxyIIx是极大点，极大值所以又是极小点，极小值所以得令利用极值判别法小 结：极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得，但临界点不一定是极值点.判别法第一充分条件第二充分条件(注意使用条件)被判定点的导数可以不存在，由该点附近两边区间的导数符号是否变号来判定.被判定点的二
4、阶导数必须存在，由该点二阶导数的符号来判定.要求条件弱，但必须由区间的导数符号来判定.要求条件强，但只须由一点的导数符号来判定.函数的最大最小值最值的求法oxybaoxyaboxyab 只要函数f(x)在闭区间a,b上连续，它在a,b上必有最大值和最小值.求最值的步骤:注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)v求驻点和不可导点.v 比较区间端点及驻点和不可导点的函数值,其中最大的就是函数在区间上的最大值M,其中最小的就是函数在区间上的最小值m.v求出端点的函数值 f(a)和 f(b).应用举例:例4.3,311243)(234上的最大值与最小值在求函数xxxxf解)
5、2)(1(12x241212)(23xxxxxxf得解方程,0)(xf.2 0,x,1xx计算出4)1(f1)0(f31)2(f.244)3(f最大值比较得:.31)2(f最小值244)3(f28)3(f再算出:.2,232)(5 24与最小值上的最大值在求例xxxf)1)(1(444x(x)f 3xxxx解1,0,1 ,0)(xxxxf解得令112)f(再计算出.2)1(11)2(2,2)(ffxf，最小值为最大值为上的在出比较这三个函数值，得21)f(3f(0)计算出实际问题求最值应注意:建立目标函数;求最值;或最小）值函数值即为所求的最（点，则该点的若目标函数只有唯一驻 例7 欲用长6m
6、的铝合金材料加工一日字形窗框(如图所示),问它的长和宽分别为多少时,才能使窗户面积最大,最大面积是多少?.10 xy，求得驻点令于是窗户的面积)36(21xxy2233xx xxx.)36(21mxxm，则长为设窗框的宽为解xy33 例7 欲用长6m的铝合金材料加工一日字形窗框(如图所示),问它的长和宽分别为多少时,才能使窗户面积最大,最大面积是多少?xxx.)36(21mxxm，则长为设窗框的宽为解.1,03 是极大值点所以因为 xy.)2,0(这个极大值就是最大值以内有唯一的极大值，所在区间由于y)(2/3y ,2/31m 2mm最大面积为时，面积最大，长为为于是得到，当窗户的宽课堂练习
7、P83 Ex3 8(4,5)课堂练习解答:的最大值和最小值求 ,4 0 ,1x1-xy )4(8函数在0,4内无驻点和导数不存在的点.因为 f(0)=-1,f(4)=3/5所以函数的最大值是 3/5,最小值是-1.2)1(2xy解（函数的极值在端点处取得）解 令02)2(ln2lnxxxxxxxy得2 ex计算出9ln31)91(f0)1(feef2)(2e2y 0y 2-ex1x最小值是，所以函数的最大值是的最大值和最小值求 1,91 ,ln xy )5(8x.1x,2y 0 2y x2y 1 x ,0 x2-2y 1x1x2是极小点是函数的极小值所以因为得令解 9(3)的极值，求利用极值判
8、别法)4ln(22xxy3.4.3 最大值与最小值 在经济问题中的应用举例 下面通过一些例题来了解如何利用函数的最值去研究、计算经济问题中的有关数据.利润是衡量企业经济效益的一贯主要指标.在一定的设备条件下,如何安排生产才能获得最大利润,这是企业管理中的一个现实问题.最大利润问题 例8 某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产一百件产品,成本增加2万元.其总收入 R(单位:万元)是产量 q(单位:百件)的函数:2215qqR求达到最大利润时的产量.解由题意，成本函数为qC23 22133qqCRL于是,利润函数,3qL.3 ,0 （百件）得令qL.3 是最大值点唯一的极值点，所以就因为是时
9、，函数取得极大值，所以当q即产量为300件时取得最大利润.C25309qC 9 23值（单位：千元）的最小求平均可变成本是产量（单位：吨），是成本（单位：千元）其中数为已知某个企业的成本函例yqqq92 qy解,309q25-Cy 2qq 最小成本问题平均可变成本为.5.4092（吨），得令qqy.5.4取得极小值时，所以yq.以就是最小值由于是唯一的极值，所.75.9305.49)5.4(25.4（千元）qy.97505.4 元最小值得吨时，平均可变成本取即产量为92qy小结求驻点和不可导点;求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,其中最大的就是最大值M,最小的就是最小值m.如果区间内
10、只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)实际问题求最值的步骤.注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.作 业 Ex 3 8(1,2,6)9(1,2).8y 0y 011 0,4,x2xy )1(84x0 x最大值为，最小值为xy.2y ,66y .66y 2y 27y 2x 02-x24-2xy -3,10 ,64xy )2(82x10 x10 x2x-3x2最小值为所以函数的最大值为，计算出，得驻点，）（令x.82y ,82y 26y 72y ,82y ,26y ,82y 4 x-2 x0)4)(2(32463xy -5,5 ,2243xy )6(84x-5x-2x5x4x-2x-5x223最小值是，所以函数的最大值是计算出，解得驻点令xxxxx.32301 012y ,012y 1),-6(x6-6xy 3x-1,x 0,3)-1)(x3(xy 593xy )1(93x-1x23 yxyxxx函数取得极小值处，在处函数取得极大值在而得令.0327437 02y ,02y 16-6xy 3,37 x0,7)-3)(3x-(xy )2(3)-(xy )2(93x37x2 yxyxxx处函数取得极小值在，处函数取得极大值在而得令
