1、微积分微积分教教 室：室：C C教教20192019星期二星期二.第第1 1、2 2节节 星期四星期四.第第3 3、4 4节节 星期五星期五.第第3 3、4 4节节 课程简介课程简介 教师姓名教师姓名 参考书参考书 交作业时间交作业时间 最后成绩最后成绩 答疑时间答疑时间教材：微积分（四川大学）教材：微积分（四川大学）本课程主要内容有极限论，微分学，积分学本课程主要内容有极限论，微分学，积分学和级数论等，它包括：和级数论等，它包括：1.1.数学分析：一元函数微积分学数学分析：一元函数微积分学 多元函数微积分学多元函数微积分学 级数；级数；2.2.向量代数，空间解析几何；向量代数，空间解析几何；
2、3.3.常微分方程，差分方程常微分方程，差分方程 第一册：函数，极限，连续，导数，微分，不第一册：函数，极限，连续，导数，微分，不 定积分，定积分及其应用，常微分方程；定积分，定积分及其应用，常微分方程；差分方程差分方程 第二册：向量代数和空间解析几何，多元函第二册：向量代数和空间解析几何，多元函 数微分学，重积分，线面积分和级数。数微分学，重积分，线面积分和级数。返回返回引引 言言一、什么叫微积分一、什么叫微积分?初等数学 研究对象为常量常量,以静止观点研究问题.微积分 研究对象为变量变量,运动运动和辩证法辩证法进入了数学.数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数.有了变数,运动运动进入了数学
3、,有了变数，辩证法辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯恩格斯1.分析基础:函数,极限,连续 2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程和差分方程 主要内容主要内容多元微积分二、如何学习微积分二、如何学习微积分?1.认识微积分的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习,天才在于积累天才在于积累.学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创.由薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当
4、它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.华罗庚华罗庚给出了几何问题的统一笛卡儿笛卡儿(15961650)法国哲学家,数学家,物理学家,他 是解析几何奠基人之一.1637年他发表的几何学论文分析了几何学与 代数学的优缺点,进而提出了“另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题,作图法,华罗庚华罗庚(19101985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献,发表专著与学术论文近 300 篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学,
5、典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是“宽宽,专专,漫漫”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业知识漫到其它领域.1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词:“学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创”.教师姓名：教师姓名：方小萍方小萍 Tel.84659240(o)Tel.84659240(o)参考书：吉米多维奇数学分析习题集参考书：吉米多维奇数学分析习题集 分析中的反例分析中的反例返回返回Email address:xpfang08gmail交作业时间与地点：交作业时间与地点：每周二上午每周二上午 教室教室作业要求全交。作业要求全交。最后成绩：最后成绩：平时平时30%+30
6、%+期末期末70%70%答疑时间：答疑时间：待定待定preview+review+exercise要求：要求：不迟到不早退，不中途退场不迟到不早退，不中途退场。几个常用符号几个常用符号等等价价；与与21SS:21SS:：21SS 存在存在(exist)(exist)；任意任意(arbitary)；属于。属于。成立；成立；成立推出成立推出由命题由命题21SS第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限二二、函数、函数 一、集合一、集合第一节函数元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义
7、定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集,记作 .Ma(或Ma).Ma注注:M 为数集*M表示 M 中排除 0 的集;M表示 M 中排除 0 与负数的集.表示法表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合naaaA,21niia1自然数集,2,1,0Nnn(2)描述法：xM x 所具有的特征例例:整数集合 ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数开区间 ),(xbabxa闭区间 ,xbabxa)(aa ),(Uxa ),xbabxa ,(xbabx
8、a无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx点的 邻域邻域a ),(xaaxa xaxax0其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域:,),(aa右右 邻域邻域:.),(aa是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2.则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如,ZNQZRQ显然有下列关系:;)1(AA;AA BA)2(CB 且CA,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有AcABB定义定义 3.给定两个集合 A,B,并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxB
9、x且定义下列运算:ABBA余集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABABBABABx或二实数与实数的绝对值无理数分数整数有理数实数)()()()1ZQR2)数轴:规定了原点,方向,取了单位长的有向线段.3)绝对值00aaaaa04)绝对值的基本性质:baba)1baba)2baab 3)baba4)初等数学：研究对象为常量，是初等数学：研究对象为常量，是常量常量的数学；的数学；高等数学：研究对象是事物的高等数学：研究对象是事物的运动规律运动规律和现象的和现象的 变化规律变化规律，是，是变量变量的数学。的数学。三三 函数函数(function)
10、(function)1616世纪，机械学，航海学，物理学，力学提世纪，机械学，航海学，物理学，力学提出出许多新的问题：许多新的问题：运动物体的速度和它的运动规律的关系；运动物体的速度和它的运动规律的关系；天体沿怎样的轨道运行；天体沿怎样的轨道运行；不规则图形的面积如何计算等等。不规则图形的面积如何计算等等。GallilloGallillo在在“两门新学科两门新学科”中，用文字和比例的语言表达函数；中，用文字和比例的语言表达函数；NewtonNewton于于16651665年开始微积分工作后，用年开始微积分工作后，用“fluent”fluent”表示表示变量间关系；变量间关系；Leibnize1
11、673Leibnize1673年后首次使用年后首次使用functionfunction表示变量间的关系；表示变量间的关系；EulerEuler于于17341734年引进函数符号年引进函数符号f(x)f(x)。实例实例。，其中，其中足关系足关系满满与时间与时间程程落路落路下，不计空气阻力，下下，不计空气阻力，下米处自由落米处自由落离地面离地面在重力作用下，物体从在重力作用下，物体从ghtgtstsh2021.12 01224T-68t2.2.某气象站自动记录器画的当地某一天的气温变化。某气象站自动记录器画的当地某一天的气温变化。定义定义1 1.假定在某个变化过程中有假定在某个变化过程中有x x和
12、和y y两个变量，两个变量，x x的的变化域为变化域为X X。假如对。假如对X X中的每一个中的每一个x x值，根据某种对值，根据某种对应规则应规则f f，变量，变量y y有唯一确定的值与之对应，则称有唯一确定的值与之对应，则称y y是是x x的函数的函数(function)(function)，记作：记作：y=f(x)y=f(x)例例4.已知函数 1,110,2)(xxxxxfy求)(21f及,)(1tf解解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t时0t函数无定义并写出定义域及值域 .定义域),0D值 域),0fD2.函数的几种特性函数的几种特性设函数,)(Dxxfy且有区间.
13、DI(1)有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf称)(xf,Ix,0M使,)(Mxf称)(xf说明说明:还可定义有上界、有下界、无界(见上册 P11)(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界.,Dx使若对任意正数 M,均存在,)(Mxf则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 当,21Ixx21xx 时,)()(21xfxf若称)(xf为 I 上的,)()(21xfxf若称)(xf为 I 上的单调增函数;单调减函数.xy1x2xxyoxx(3)奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若,)()(xfxf则称 f(x)为偶函数;若,)()(xfxf则称 f
14、(x)为奇函数.说明说明:若)(xf在 x=0 有定义,.0)0(f)(xf为奇函数奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函数xyoxexexych双曲余弦 记xyo又如,2)(xxeexfy奇函数xexexyshxsh双曲正弦 记再如,xxychshxxxxeeee奇函数oyx11xth双曲正切 记xyth(4)周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf则称)(xf为周期函数,to)(tf22xo2y2若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为2注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(狄里克雷函数)(xfx 为有理数x 为无理数,10,
15、3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质设函数习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成fDxxfy),(1其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质:)(xfy 是定义在D 上的一个函数,其值域fD如果对每一个fDy,都有唯一的对应值Dx,满足)(xfy,则x是定义在fD上以 y为自变量的函数,记此函数为),(1yxffDy2)函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称.例如,),(,xeyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线xy 对称.)(xfy)(1xfyxy),(abQ),(ba
16、Pxyo指数函数(2)复合函数 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则Dxxgfy,)(设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 1)(DDg不可少.例如例如,函数链:,arcsinuy,122xu函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合两个以上函数也可构成复合函数.例如,0,uuy可定义复合函数:,2cotxy,)12(,2(kkxZn02cot,22xkxk时),2,1,0(,cotkkvvu),(,2xxv1.幂函数 ，它的定义域随不同的a而异，但无论a 为何值，在(0,)内幂函数总是有定义的。其图形过点(1，1)，a0和a1时，ax 为单调递增函数，当0 a 1a 1时，为单调递增函数。当0a 0,1当 x=0,0当 x 50)故 一次成交的销售收入R是销售量x 的分段函数50)(x 50)-0.9a(x 50aR500)(xaxxR
