1、三角级数正交函数系一、三角级数一、三角级数正交函数系正交函数系)sin(xAy在科学实验与工程技术中，常会碰到周期运在科学实验与工程技术中，常会碰到周期运动，最简单的周期运动，可用正弦函数动，最简单的周期运动，可用正弦函数来来描描写。写。这这样样的的周周期期运运动动也也称称为为简简谐谐振振动，动，其其中中A为为振振幅，幅，为为初初相相角，角，为为角角频频率。率。较较为为复复杂杂的的周周期期运运动，动，则则常常是是几几个个简简谐谐振振动动的的叠叠加。加。第十五章第十五章 傅立叶级数傅立叶级数Fourier Series非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波otu11tttu0,10,1)(当
2、当不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt tusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu )9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu)0,(tt由以上可以看到：一个比较复杂的周期运动可由以上可以看到：一个比较复杂的周期运动可 以看作是许多不同频率的简谐振动的叠加以看作是许多不同频率的简谐振动的叠加10)sin(nnntnAA由
3、无穷多个简谐振动由无穷多个简谐振动,2,1),sin(ktkAykkk叠加就得到函数项级数叠加就得到函数项级数,cosnnnAb ,sinnnnAa ,200Aaxt 记记 10)sincos(2nnnnxbnxaa则级数可改写为则级数可改写为(4)(4)(4)(4)式的级数称为三角级数式的级数称为三角级数,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx它是由三角函数列它是由三角函数列组成组成定理定理15.1 若级数若级数10|)|(|2|nnnbaa收敛，则级数（收敛，则级数（4）在整个数轴上绝对收敛）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。且一致收敛。三角函数系的正交性三角
4、函数系的正交性三角函数系中任何两个不相同函数的乘积在三角函数系中任何两个不相同函数的乘积在 上的积分都等于零，即上的积分都等于零，即,0cos nxdx,0sin nxdx.0cossin nxdxmx),2,1,(nm,0sinsin nmnmnxdxmx,0coscos nmnmnxdxmx以以2为周期的函数的为周期的函数的Fourier级数级数10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf定理定理15.2 若在整个数轴上若在整个数轴上 nxdxxfancos)(1),2,1,0(n nxdxxfbnsin)(1且上式右边的级数一致收敛，则有且上式右边的级数一致收敛，则有),2,1(n
5、.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk)sincos(2)(10 证证,220 akxdxbdxkxadxakkkksincos2110 dxxfa)(10可得可得.)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxaknk nxdxan2cos,na nxdxxfancos)(1),3,2,1(n可得可得.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1),3,2,1(n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxaknk,nb可得可得 ),2,1(,sin)(1),
6、2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann称称10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf为为 的的Fourier系数，以系数，以 的的Fourier系数为系系数为系数的三角级数称为数的三角级数称为 的的Fourier级数。记为级数。记为fff10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf问题问题:满足什么条件时有满足什么条件时有f三、收敛定理三、收敛定理定理定理15.3 若以若以2为周期的函数为周期的函数 f 在在-,上上按段光滑，则在每一点按段光滑，则在每一点 x-,，有，有10)sincos(22)0()0(nnnnxbnxaaxfxf当当x是是)(xf的的
7、间间断断点点时时,级级数数收收敛敛于于2)0()0(xfxf;10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf解解例例 1 以以 2为周期的矩形脉冲的波形为周期的矩形脉冲的波形 tEtEtumm,0,)(将其展开为傅立叶级数将其展开为傅立叶级数.),2,1,0(处不连续处不连续在点在点 kkx2mmEE 收敛于收敛于2)(mmEE ,0 otumE mE).(,xfkx收敛于收敛于时时当当 和函数图象为和函数图象为otumEmE ntdttuancos)(1 00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm),2,1,0(0 n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdt
8、EntdtEmm)cos1(2 nnEm)1(12nmnE ,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2,0;(tt所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为注注(一一)对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在只在区间区间 上有定义上有定义,并且满足狄立克并且满足狄立克雷充分条件雷充分条件,也可展开成傅立叶级数也可展开成傅立叶级数.)(xf,作法作法:),()()()2(xxfxFT作作周周期期延延拓拓)0()0(21 ff端点处收敛于端点处收敛于例例 2 将函数将函数 xxxxxf0,0,)(展开为傅立叶展开
9、为傅立叶级数级数.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅氏级数展开式在氏级数展开式在收敛于收敛于 .)(xf,xyo 2 2 nxdxxfancos)(1 00cos)(1cos)(1nxdxxfnxdxxf)1(cos22 nxn 1)1(22 nn dxxfa)(10 00)(1)(1dxxfdxxf,2,1,2,0,2,1,12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin)(1sin)(1nxdxxfnxdxxf,0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)(x所求函数的傅立叶级数展开式为所求
10、函数的傅立叶级数展开式为),2,1(n推广推广:利用傅立叶级数展开式求出几个特殊利用傅立叶级数展开式求出几个特殊级数的和级数的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf 222513118,4131211222 设设),8(513112221 ,0)0(,0 fx时时当当,6141212222 ,41312112223 ,44212 ,243212 6221 122213 四四正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数(Sine series and cosine series)(1 1)当当)(xf为为奇奇函函数数时时，它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ),2,1(sin)(2),2,
11、1,0(00 nnxdxxfbnann 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦一个函数的傅里叶级数既含有正弦项项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶级也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.1.定理定理 设设 是周期为是周期为 的函数的函数,且可积且可积,则则)(xf 2(2 2)当当)(xf为为偶偶函函数数时时,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ),2,1(0),2,1,0(cos)(20 nbnnxdxxfann 证明证明,)()1(是奇函数是奇函数设设xf nxdxxfancos)(10),3,2
12、,1,0(n 0sin)(2nxdxxf),3,2,1(n同理可证同理可证(2)(2)2.2.定义定义 (1 1)如如果果)(xf为为奇奇函函数数,其其傅傅立立叶叶级级数数nxbnnsin1 称称为为正正弦弦级级数数(2 2)如如 果果)(xf为为 偶偶 函函 数数,其其 傅傅 立立 叶叶 级级 数数nxaanncos210 称称为为余余弦弦级级数数.nxdxxfbnsin)(1定理证毕定理证毕.例例 1 1 设设)(xf是是周周期期为为 2的的周周期期函函数数,它它在在),上上的的表表达达式式为为xxf)(,将将)(xf展展开开成成傅傅立立叶叶级级数数.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函
13、数满足狄利克雷充分条件.,),2,1,0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx2)0()0(ff收敛于收敛于2)(,0),()12(xfkxx处收敛于处收敛于在连续点在连续点 2 2 3 3xy0,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx和函数图象和函数图象),2,1,0(,0 nan 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn),2,1(n)3sin312sin21(sin2)(xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;(xx例例 2 2 将将周周期期函函数数tEtusin)(展
14、展开开成成傅傅氏氏级级数数,其其中中E是是正正常常数数.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个在整个数轴上连续数轴上连续.,)(为偶函数为偶函数tu,0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E),2,1(n 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12,02,1)2(42knknkE当当当当),2,1(k 01)1cos(1)1cos(ntnntnE)1(n 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE,0)6cos3514cos1512cos3121
15、(4)(tttEtu)(x.142cos21212 nnnxE 非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓).(2,0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()(xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况.偶偶延延拓拓奇奇延延拓拓注注(二二)1.奇延拓奇延拓)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅立叶正弦级数的傅立叶正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0(x2.偶延拓偶延拓)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅立叶余弦级数的傅立叶余弦级数)(xf
16、10cos2)(nnnxaaxf)0(xxy0 例例 3 3 将将函函数数)0(1)(xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数.解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0(x ,6,4,22,5,3,122nnnn当当当当(2)(2)求余弦级数求余弦级数,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf 00)1(2dxxa,2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn ,5,3,14,6,4,202
17、nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0(x1.1.基本概念基本概念 三角级数及其正交性三角级数及其正交性,傅立傅立 叶系数叶系数,傅立叶级数傅立叶级数,周期延拓周期延拓,奇、偶延奇、偶延拓拓,正弦级数正弦级数,余弦级数；余弦级数；2.2.函数展开成傅立叶级数定理函数展开成傅立叶级数定理 狄利克狄利克雷充分条件定理雷充分条件定理,周期的奇、偶函数的傅周期的奇、偶函数的傅立叶级数展开式定理；立叶级数展开式定理；四四 小结小结3.3.各类函数的展开成傅立叶级数的方法各类函数的展开成傅立叶级数的方法思考判断题思考判断题(1)若若函函数数)()(xx ，问问：)(x 与与)(x 的的傅傅里里叶叶系系数数na、nb与与n、n ),2,1,0(n之之间间有有何何关关系系？.,)()(,)()2(定定义义的的函函数数上上成成为为才才能能使使应应如如何何选选择择上上定定义义的的函函数数是是在在设设 BAtftFBAbaxf
