1、a函数极限概念和性质.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放问问题题:函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx.0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定定义义X .)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(limxxysin X X.2,)(,的带形区域
2、内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxAxxysin 例例.0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin x1 X1,0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx.0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 例：例：证明证明.01lim xx因这个不等式相当于因这个不等式相当于 或或 x1.1 x由此可知由此可知,如果取如果取,1 X那么当那么当 时时,1 Xx不等式不等式 01x成立成立,证毕证
3、毕.直线直线 y=0是函数是函数 的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线.xy1 证证,0 要证要证,0 X当当 时时,不等式不等式Xx 01x成立成立.x)(xf3、时时,函数函数 的极限的极限 对函数对函数 ，当，当 取正值且无限增大时，函数值取正值且无限增大时，函数值 无限趋近于常数无限趋近于常数A,则称当则称当 时，函数时，函数 以以A为极限。为极限。)x(fx)x(fy )x(fx,A)x(flimx .xA)x(f 记作记作:对于对于任意给定任意给定的正数的正数,总存在正数总存在正数 M,|A)x(f|当当 x X 时，恒有时，恒有则称当则称当 时，函数时，函数 以以A为极限。为极限
4、。)x(f x定义：定义：几何解释几何解释:)2(y.,f y的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时当当 AxXx x)(xf4、时时,函数函数 的极限的极限,A)x(flimx .xA)x(f 记作记作:对于对于任意给定任意给定的正数的正数,总存在正数总存在正数 M,|A)x(f|当当 x 0 时，有：时，有：,111 xxx.1)1(lim0 xx而而故：由夹逼定理得故：由夹逼定理得.11lim0 xxx另一方面：当另一方面：当 x 0 时，有时，有.111xxx 故：由夹逼定理得故：由夹逼定理得.11lim0 xxx综上：我们可得
5、：综上：我们可得：.11lim0 xxx2 2、归结原则子列收敛性、归结原则子列收敛性(函数极限与数列极限函数极限与数列极限的关系的关系).)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时的子列时的子列当当为函数为函数即即则称数列则称数列时时使得使得有数列有数列中中或或可以是可以是设在过程设在过程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn .)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则有则有时的一个子列时的一个子列当当是是数列数列若若定义定义定理定理证证.)(,0,0,00 Axfxx恒有恒有时时使当使当Axfxx)(lim0.0,0,00 xxN
6、nNn恒有恒有时时使当使当对上述对上述,)(Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx,11sinlim nnn,11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.注注1 1 归结原则也可简述为：归结原则也可简述为：)(lim0 xfxx.)(lim,0Axfnxxnnn 有有对任何对任何 .)(lim)(lim,200不存在不存在不存在
7、，则不存在，则使得使得为极限的数列为极限的数列若可以找到一个以若可以找到一个以：注注xfxfxxxxnnn .)(lim)(lim)(lim,30 0不存在不存在则则都存在而不相等，都存在而不相等，与与使得使得与与为极限的数列为极限的数列找到两个以找到两个以：注注xfxfxfxxxxxnnnnnn xy1sin 例例.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证 ,1 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 ,2141 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而 214sinlim1sinlim nxnnn而而,0,1 1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx结束结束
