1、人教版九年级上册人教版九年级上册 问题问题:你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形。任何圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴一条直径所在直线都是它的对称轴 不借助任何工具，你能找到圆形不借助任何工具，你能找到圆形纸片
2、的圆心吗纸片的圆心吗?如图如图,AB,AB是是O O的一条弦的一条弦,直径直径CDAB,CDAB,垂足为垂足为E.E.你能发现图中有那些相等的线段你能发现图中有那些相等的线段和弧和弧?为什么为什么?OABCDE线段线段:AE=BE:AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD:AC=BC,AD=BD垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧CDABCDAB AE=BE,AE=BE,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE 老师提示老师提示:垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化三种语
3、言要相互转化,形成整体形成整体,才能运用自如才能运用自如.垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂的直径垂直于弦直于弦,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。CDAB,CDAB,CD CD是直径，是直径，AE=BE AE=BE AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE垂径定理的本质是垂径定理的本质是满足其中任两满足其中任两条，必定同时条，必定同时满足另三条满足另三条（1 1）一条直线过圆心）一条直线过圆心（2 2）这条直线垂直于弦）这条直线垂直于弦（3 3）这条直线平分弦）这条直线平分弦（4 4）这条直线平分弦所对的优弧）这条直线平分
4、弦所对的优弧（5 5）这条直线平分弦所对的劣弧）这条直线平分弦所对的劣弧(4)若若 ，CD是直径是直径,则则 、.(1)若若CDAB,CD是直径是直径,则则 、.(2)若若AM=MB,CD是直径是直径,则则 、.(3)若若CDAB,AM=MB,则则 、.1.如图所示如图所示:练习练习OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直径是直径 AC=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCABEDCOABOB
5、CADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDABAE=BEAC=BCAD=BD1 1、如图，、如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDABCDAB于于E E，则下列结论中则下列结论中不成立不成立的是（的是（）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECDC C2 2、如图，、如图，OEABOEAB于于E E，若，若O O的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB=cmcm。OABE解：解：连接连接OAOA，
6、OEABOEABcmOEOAAE86102222 AB=2AE=16cm AB=2AE=16cm3 3、如图，在、如图，在O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O的半径。的半径。OABE解：解：过点过点O O作作OEABOEAB于于E E，连接，连接OAOA2222435OAAEOEcm O的半径为的半径为5 5cm.cm.cmABAE4214 4、如图，、如图，CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长。的长。OABECD1 1、两条辅助线：
7、、两条辅助线：半径、圆心到弦的垂线段半径、圆心到弦的垂线段2 2、一个、一个RtRt：半径、圆心到弦的垂线段、半弦半径、圆心到弦的垂线段、半弦OABC3 3、两个定理：、两个定理：垂径定理、勾股定理垂径定理、勾股定理 你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗赵州桥拱半径的问题吗?37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常常关于弦的问题，常常需要需要过圆心作弦的垂过圆心作弦的垂线段线段，这是一条非常，这是一条非常重要的重要的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半圆心到弦的距离、半径、弦径、弦构成构成直角三角直角三角形形，便将问题转化为，便将问题转化为直角三角形的问题。直角三角
8、形的问题。ABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为r.r.经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中的中点，点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高.AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 222ADODOA2222.77.18rr解得解得r=27.9r=27.9（m m）即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.27.9m.
