1、等腰三角形的性质生活中的等腰三角形生活中的等腰三角形生活中的等腰三角形生活中的等腰三角形为什么是水平的为什么是水平的建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗？有两边相等的三角形是等腰三角形知识回顾知识回顾相等的两边叫做腰，另一边叫做底边腰腰底边两腰的夹角叫做顶角顶角腰与底边的的夹角叫做底角底角知识回顾知识回顾1等腰三角形一腰为3cm，底为4cm，则它的周长是 _；2等腰三角形一边长为3cm，另一边长为4cm，则它的周长是 _；3等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为8cm，则它的周长是_10cm10c
2、m或11cm19cm动手操作动手操作如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，再把它展开，得到的ABC 有什么特点？AB=ACABC 是等腰三角形把三角形沿着折痕折叠，你能找到重合的线段和角吗？思考思考重合的线段重合的角AB=ACB=CBD=CDADB=ADCAD=ADBAD=CAD猜一猜，除了两腰相等，等腰三角形还有什么性质呢？怎么证明呢？猜想与证明猜想与证明等腰三角形的两个底角相等先变成符号形式已知：ABC 中，AB=AC求证：B=C如何证明两个角相等呢？可以证明三角形全等如何构造全等三角形呢？AD是中线or高or角平分线？证法一：作底边上的中线证法一：作底边上的中线已知：ABC 中，AB=A
3、C 求证：B=C证明：作底边的中线AD，则BD=CD在BAD和CAD中AB=AC (已知)BD=CD(已作)AD=AD(公共边)BAD CAD(SSS)B=C(全等三角形的对应角相等)D证法二：作顶角的平分线证法二：作顶角的平分线已知：ABC 中，AB=AC 求证：B=C证明：作顶角的平分线AD，则BAD=CAD在BAD和CAD中AB=AC (已知)BAD=CAD(已作)AD=AD(公共边)BAD CAD(SAS)B=C(全等三角形的对应角相等)D证法三：作底边的高线证法三：作底边的高线已知：ABC中，AB=AC 求证：B=C证明：作底边的高线AD，则ADB=ADC=90在RtBAD和RtCA
4、D中AB=AC (已知)AD=AD(公共边)RtBAD RtCAD(HL)B=C(全等三角形的对应角相等)D归纳总结归纳总结等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个等腰三角形的两个底角底角相等相等这个性质在证明中怎么写过程呢？在ABC 中，AC=AB（已知）B=C（等边对等角）简称为“等边对等角”思考思考通过刚才的证明，除了能得到B=C，你还能发现什么？重合的线段重合的角AB=ACB=CBD=CDADB=ADCAD=ADBAD=CADAD同时是底边BC上的中线，高和角平分线猜想猜想等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合如何把这个命题转化为符号形式呢？得写三个（1）如图，12，AB
5、AC 求证：ADBC，BDCD（2）如图，BDCD，ABAC 求证：ADBC，12（3）如图，ADBC，ABAC 求证：BDCD，12证明证明（3）如图，ADBC，ABAC 求证：BDCD，12证明：在ABD 和ACD中ABAC12ADADABD ACD（SAS）ADBADC，BDCD又ADBADC180ADBADC90，即ADBC证明证明（2）如图，BDCD，ABAC 求证：ADBC，12证明：在ABD 和ACD 中ABACBDCDADADABD ACD（SSS）ADBADC，12又ADBADC180ADBADC90，即ADBC证明证明（3）如图，ADBC，ABAC 求证：BDCD，12证明
6、：在RtABD 和RtACD中ABACADADRtABD RtACD（HL）BDCD，12归纳总结归纳总结等腰三角形的性质2：等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相相互重合互重合简称为“三线合一”这“三线”所在的直线也是等腰三角形的对称轴注意事项注意事项作出等腰三角形腰上的中线，角平分线，高它们重合吗？显然不重合三线合一指的是底边上的三线合一腰的三线不一定合一书写规范书写规范等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相相互重合互重合“三线合一三线合一”有三种解读方式等腰三角形的顶角
7、平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高应用的时候怎么写过程呢？ABAC，12BDCD，ADBC书写规范书写规范等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相相互重合互重合“三线合一三线合一”有三种解读方式方式二：等腰三角形的底边上的中线，既是顶角平分线，又是底边上的高应用的时候怎么写过程呢？ABAC，BDCD12，ADBC书写规范书写规范等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相相互重合互重合“三线合一三线合一”有三种解读方式方式三：等腰三角形的底边上的高，既是顶角平分线，又是底边上的
8、中线应用的时候怎么写过程呢？ABAC，ADBC12，BDCD例题例题如图，ABC 中,AB=AC，A=36,则B=_答案：72例题例题如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数技巧：看到等腰，就把等角标出来练习练习如图，ABC 中,AB=AC，B=36，则A=_答案：72练习练习判断：1等腰三角形的顶角一定是锐角2等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以3等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边4等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合5等腰三角形底边上的中线一定平分顶角练习练习已知：如图，ABC 中，ABC=50，ACB=80，延长 CB 至 D，使BD
9、=BA，延长 BC 至 E，使 CE=CA.连结 AD、AE.求D、E、DAE 的度数答案：115练习练习在ABC 中，AB=AD=DC，BAD=28，求B和C 的度数答案：76或38练习练习如图，在ABC 中，D为AB上的一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，A=50，则CDE 的度数为_答案：52.5练习练习答案：20如图，AB=AC，BAC=100，若MP,NQ 分别垂直平分AB，AC，则PAQ 的度数为 等边对等角多解问题等边对等角多解问题已知等腰三角形的一个内角为70，则它的另外两个内角的度数分别是_提示：要分类讨论答案：70，40或55，55等边对等角多解问题等边对等角多
10、解问题等腰三角形一个角为110，它的另外两个角为_答案：35，35为什么是水平的为什么是水平的建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗？由“三线合一”可知绳子一定会垂直房梁，而绳子肯定是竖直的，所以房梁是水平的例题例题已知：如图，房屋的顶角BAC=100,，过屋顶A的立柱ADBC，屋椽AB=AC求顶架上B、C、BAD、CAD 的度数答案：40，40，50，50练习练习如图，在ABC中，AB=AC，D是BC 边上的中点，B=30，求和ADC 的度数提示：60，90练习练习如图，已知在ABC 中，AB=A
11、C，点D是BC 的中点，DEAB于E，DFAC于F求证：DEDF提示：AD是角平分线练习练习如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，BE AC 于点 E求证：CBE=BAD提示：先把图中相等和互余的角标记出来练习练习已知，如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有（）个（1）AD平分EDF；（2）EBDFCD；（3）BD=CD；（4）DEABA.1个B.2个C.3个D.4个C练习练习1如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数练习练习2如图，ABC 是等腰直角三角形（AB=AC，BAC=90），AD 是底边BC 上的高，标出B，C，B
12、AD，DAC 的度数，并写出图中所有相等的线段 练习练习3如图，在ABC 中，AB=AD=DC，BAD=26求B 和C 的度数与等腰三角形有关的证明与等腰三角形有关的证明如图，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，AD=AE，AB=AC，求证：BD=EC提示：证明ABD AEC 或作BC 的中线与等腰三角形有关的证明与等腰三角形有关的证明如图：ABC中，AB=AC，AD 和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE求证：AH=2BD提示：证明AHE CBE与等腰三角形有关的证明与等腰三角形有关的证明如图，已知ABC 中，ABAC，F 在AC上，在BA的延长线上截取AEAF求证：EDBC提示：想想图
13、中两个等腰三角形的顶角有什么关系，底角有什么关系大边对大角大边对大角已知：ABC 中，ABAC，求证：CB提示：构造等腰顶角的外角与底角的关系顶角的外角与底角的关系如图，C，E 和 B，D，F 分别在GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若A=18，则GEF 的度数是_答案：90顶角的外角与底角的关系顶角的外角与底角的关系如图，在第1个 中，B=20，AB=，在 上取一点C，延长 在 上取一点D，延长 .，.，按此作法进行下去，第n个三角形的以 为顶点的内角的度数为 顶角差与底角差的关系顶角差与底角差的关系如图，已知AB=AC，AD=AE，BAD和CDE有什么关系？提示：试一试“设而不求”的技巧答案：BAD=2CDE总结总结这节课我们学到了什么？等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个等腰三角形的两个底角底角相等相等简称为“等边对等角等边对等角”总结总结这节课我们还学到了什么？等腰三角形的性质2：等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高高相互重合相互重合简称为“三线合一三线合一”这“三线三线”所在的直线也是等腰三角形的对称对称轴轴
