1、3复习回顾：复习回顾：1.共线向量定理：2.共线向量定理的推论：(1)若直线l过点A且与向量 平行，则(2)三点P、A、B共线的充要条件有：a0,()=a b babab 空间中任意两个向量共线（）的充要条件是存在实数，使得PlOPOAta 点 在直线 上,/tAPtABAPAB.存在实数 使得即,tOPOAtAB .存在实数 使得=1,()x yOPxOAyOBxy 另：存在实数使得3.共面向量定理：4.P、A、B、C四点共面充要条件：如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使,a byx,pxayb p,a b(1)(,),x yAPxAByAC 存在有序实数对使
2、得(2),OOPOAxAByAC 对空间中任意一点有,(1)OOPxOAyOBzOC xyz 另：对空间中任意一点有1.空间两个向量的夹角已知两个非零向量 ,作 则 叫做 向量的夹角.ba,bOBaOA AOBba与0,.a bab当时与 同向1 1,.a bab当时与 反 向 2 2关键是起点相同！记作:,a b0,a b,a bb aaboBbAa,OA OBOB OAOA OBOAOB 讲授新课2.定义：如果，则称向量与互相垂直，记作a babababAaObB2.两个向量的数量积：|.定义：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作OAaOAaa|cos|cos,:.定义：已知两个向
3、量,，则把，叫做向量、的数量积，记作，即a bababa babaabbba注意两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。a b的几何意义：cos,.a baababa b 数量积等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积.定义：已知向量和轴，是 上与 同方向的单位向量，作点在 上的射影，作点在 上的射影，则叫做向量在轴 上或在方向上的正射影，简称射影ABal ellAlABlBA BABleABABe|cos.A BABa ea e 可以证明：，3 3、射影、射影l3、空间向量数量积的性质应用:由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都
4、可以借助向量的数量积运算来解决.(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到.4.空间向量数量积运算律()()()a ba bab a bb a()a b cab ac （数乘结合律）（分配律）（交换律）注意：数量积不满足结合律，)()(cbacba也不满足消去率思考思考：.0 )1(请请举举出出反反例例吗吗？如如果果不不能能，能能得得到到由由，对对于于向向量量，则则，若若，的的数数对对于于三三个个均均不不为
5、为cbcabacbacbacabcba (2)0().()?a b cccabcababbakkabkabba对于三个均不为的数，若，则或对于向量，若，能不能写成，或也就是说，向量有除法吗？巩固练习：巩固练习：3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BDAB,线段AC ,如果ABa,BDb,ACc,求C、D间的距离.A AD DC CB Bab bc c解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc巩固练习：空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.P O A la 例题讲解证明：如
6、图,已知:,POAOllOA射影且求证：lPA 在直线l上取向量 ,只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl即PA.为 P O A la 0,0a POa OA 逆命题成立吗?分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.P O A la 设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则BCD是 ()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不确定0,0,0AB ACAB ADAC AD CABCD巩固练习：分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例2:(
7、试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面 内的两条相交直线,如果 m,n,求证:.lll lmngn g m l 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?共面向量定理共面向量定理!lmngn g m l,gxmyn ,l gxl myl n 0,0,l ml m 0,.l glg即 ,lglll即 垂直于平面 内 任一直线.解:在 内作不与m,n重合的任一直线g,在 ,l m n g 上取非零向量 因m与n相交,故向量m,n,l m n g 不平行
8、,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 (,)x y例2、已知直线m,n是平面 内的两条相交直线,如果 m,n,求证:.lll ABA1C1B1C如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为()A.B.C.D.2105 75 90 60 B巩固练习：利用向量解决几何问题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明，最后解决问题.AC 解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAABADABAAADAA|85AC 2.已知在平行六面体 ,求对角
9、线 的长.ABCDA B C D 4AB 3,5,90,ADAABAD 60BAADAA 巩固练习：DCBDABCA证明：因为MNMAADDN 所以22()110022ABMNABMAADDNABMAABADABDNaa MNAB同理，MNCD 2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点.求证：.ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCD 巩固练习：NMABDC空间向量数量积的定义 空间向量数量积的性质空间向量数量积的运用空间向量的夹角bababa,cos)1(0)2(baba22)3(aaaa(1)cos,a ba ba b用求夹角 (2)0a b用判断垂直 2(3)aa a求求长度 作业:习题3.1第3题
