1、3.2.33.2.3空间向量与空间角空间向量与空间角复习复习用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为
2、向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）范围：范围：0,2ABCD1D|一、线线角：一、线线角：ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb异面直线所成的锐角或直角异面直线所成的锐角或直角思考：思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？什么关系？结论：结论：ba，coscos直线与平面所成角的范围：0,2二、线面角：二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的直线和直线在平面内的射影所成的，叫做这条直线和这个，叫做这条直线和这个平面所成的角平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？思考
3、：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？BAn,cossin二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内）角的两边分别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在两个面内在两个面内分别作分别作垂直垂直于棱于棱的两条射线，这两条射线所成的的两条射线，这两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOAB:0,范 围三、面面角：三、面面角：问题：问题：求直线和平面所成的角，可转化成直线的方向向量与平面的求直线和平面所成的角，可转化成
4、直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？没有关系？anl1n2n 21,nn121212coscos,nnn nn n 21,nn121212coscos,nnn nn n 同进同出，二面角等于同进同出，二面角等于法向量夹角的法向量夹角的补角补角；一进一出，二面角等于法向量一进一出，二面角等于法向量夹角夹角关键：确定二面角的范围关键：确定二面角的范围l 1n2nl 1n2n21,nn121212coscos,nnn nn n 21,nn121212coscos,nnn nn n 21,coscosnn结论：
