1、4一二三一、对数函数的定义1.我们已经知道y=2x是指数函数,那么y=log2x(x0)是否表示y是x的函数?为什么?提示:是.由对数的定义可知y=log2x(x0)x=2y,结合指数的运算可知,在定义域x|x0内对于每一个x都有唯一的y与之对应,故y=log2x(x0)表示y是x的函数,其定义域为(0,+).2.填空一般地,函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+).一二三3.判断一个函数是不是对数函数的依据是什么?提示:对数函数的定义与指数函数类似,只有满足函数解析式右边的系数为1;底数为大于0且不等于1的常数;真数仅有自变量x这三个条件,才是对数函
2、数.如:y=2logax;y=loga(4-x);y=logax2都不是对数函数.4.做一做:下列函数是对数函数的是()A.y=logax+2(a0,且a1,x0)B.y=log2 (x0)C.y=logx3(x0,且x1)D.y=log6x(x0)答案:D一二三二、对数函数的图象和性质1.(1)在同一坐标系中,函数y=log2x与y=的图象如图所示.你能描述一下这两个函数的相关性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)吗?提示:一二三提示:关于x轴对称.提示:在直线x=1的右侧,a1时,a越大,图象越靠近x轴,0a1时,a越小,图象越靠近x轴.一二三2.填表对数函数的图象和性质一二三3.做一做(1
3、)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是()A.0.5B.2C.eD.(2)下列函数中,在区间(0,+)内不是增函数的是()A.y=5xB.y=lg x+2C.y=x2+1D.y=(3)函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点.解析:(1)函数y=logax在(0,+)上单调递减,0a0且a1)和指数函数y=ax(a0且a1)互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.一二三3.做一做(2)函数g(x)=log8x的反函数是.(3)判断正误:若函数y=f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象过(b,a).()探究一探究二探究三探究四探究五对数函数对数函数的概念
4、的概念例1(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)logmx,则m=.求f(x)的解析式;解方程f(x)=2.分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数;然后利用指对互化解方程.思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四探究五(1)解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m0,且m1,所以m=2.答案:2(2)解:由题意设f(x)=logax(a0,且a1),解得a=16,故f(x)=log16x.方程f(x)=2,即lo
5、g16x=2,所以x=162=256.思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四探究五反思反思感悟感悟 1.对数函数是一个形式定义:2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出.思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四探究五变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=.(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=.(2)设对数函数为f(x)=logax(a0,且a1).则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练与对数函数有
6、关的定义域、值域问题与对数函数有关的定义域、值域问题例例2(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(-,0)(1,+)B.(-,01,+)C.(0,1)D.0,1(2)已知函数f(x)=的值域为-1,1,则函数f(x)的定义域是.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练解析:(1)由题意得x2-x0,解得x1或x1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练变式训练2作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解:先画出函数y=lg x的
7、图象(如图).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图).图 图 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图).图由图易知其定义域为(1,+),值域为0,+),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2,+).探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练利用利用对数函数的性质比较大小对数函数的性质比较大小例4 比较下列各组中两个值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)loga,
8、loga3.141(a0,且a1).分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小;(2)分别比较两个对数与0的大小;(3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+)上是增函数,且1.92,所以f(1.9)f(2),即log31.9log21=0,log0.32log0.32.(3)(分类讨论法)当a1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaloga3.141;当0a1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有loga1时,logaloga3.141;
9、当0a1时,loga0,且a1);(3)log30.2,log40.2;(4)log3,log3.解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.32,所以ln 0.31时,函数y=logax在(0,+)上是增函数,又3.15.2,所以loga3.1loga5.2;当0a1时,函数y=logax在(0,+)上是减函数,又3.1loga5.2.故当a1时,loga3.1loga5.2;当0aloga5.2.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练(3)(方法一)因为0log0.23log0.24,(方法二)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,由图可知log40.2l
10、og30.2.(4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且3,所以log3log33=1.同理,1=loglog3,所以log3log3.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练求求复合函数的单调区间复合函数的单调区间例5求函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调区间.分析:利用复合函数法确定其单调区间.解:令u=x2-2x+2,则u=(x-1)2+110.当x1时,u=x2-2x+2是增函数,又y=log0.2u是减函数,所以y=log0.2(x2-2x+2)在1,+)上是减函数.同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)在(-,1上是增函数.故函数y=log0.2(x2
11、-2x+2)的单调增区间为(-,1,单调减区间为1,+).探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练变式训练 4求函数y=loga(a-ax)的单调区间.解:(1)当a1时,y=logat是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax0,即axa,所以x1.所以y=loga(a-ax)在(-,1)上是减函数.(2)当0a0,即axa,所以x1时,函数y=loga(a-ax)在(-,1)上是减函数;当0a1时,函数y=loga(a-ax)在(-,1)上是增函数.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练与对数函数有关的图象变换问题答案:(-,-2)探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂
12、演练探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练答案:探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练A.-1,3)B.(-1,3)C.(-1,3 D.-1,3答案:C A.-1,0B.0,1 C.1,+)D.(-,-1答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练A.yx1B.xy1C.1xyD.1y0,且a1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是.解析:令x-1=1,得x=2.f(2)=2,f(x)的图象恒过定点(2,2).答案:(2,2)探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为.解析:因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.20.31log0.20.3log0.21log0.24,即1a0c.同理log26log22=1,所以bac.答案:bac探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练6.已知函数f(x)=log3x.(1)作出这个函数的图象;(2)若f(a)f(2),利用图象求a的取值范围.解:(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.(2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+)内单调递增.当0a2时,恒有f(a)f(2),故所求a的取值范围为(0,2).
