1、5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念（一）古希腊的天文学家喜帕恰斯对天文的测量古希腊的天文学家喜帕恰斯对天文的测量 三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一.起源于起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学文学.直到直到14641464年，德国数学家雷格蒙塔努斯著论各种三角年，德国数学家雷格蒙塔努斯著论各种三角形，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说形，才独立于
2、天文学之外对三角知识作了较系统的阐说.1631 1631年，三角学传入中国，三角学在中国早期比较通行年，三角学传入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是的名称是“八线八线”和和“三角三角”.“”.“八线八线”是指在单位圆上的八是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无
3、线电学中有着广泛的应用线电学中有着广泛的应用.在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，sinsin，coscos，tantan分别叫做角分别叫做角的正弦、余弦和正切，的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？它们的值分别等于什么？BCsi n=A BA Ccos=A BBCtan=A CA AB BC C 当角当角不是锐角时，我们必须对不是锐角时，我们必须对sinsin，coscos，tantan的值进行推广，以适应任意角的需的值进行推广，以适应任意角的需要要.如何定义任意角的三角函数呢如何定义任意角的三角函数呢?1.1.掌握三角函数的定义；掌握三角函数的定义；（重点）（
4、重点）2.2.已知角已知角终边上一点，会求角终边上一点，会求角的各三角函数值；的各三角函数值；3.3.记住三角函数的定义域、值域记住三角函数的定义域、值域.（重点、难点）（重点、难点）思考思考1 1 我们把锐角我们把锐角放到直角坐标系中，并使角放到直角坐标系中，并使角的顶点与原点的顶点与原点O O重合重合,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合.在角在角的终边上取一点的终边上取一点P P（a a，b b）,设点设点P P与原点的与原点的距离为距离为r r，那么，那么，sinsin，coscos，tantan的值分别如的值分别如何表示？何表示？微课微课1 1 三角函数的定义、定义域三
5、角函数的定义、定义域sinbrcosartanbax xy yOP(aP(a，b)b)r rA AB B提示：提示：思考思考2 2 对于确定的角对于确定的角，上述三个比值是否，上述三个比值是否随点随点P P在角在角的终边上的位置的改变而改变呢？的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？为什么？提示：由相似三角形的知识可知提示：由相似三角形的知识可知,这三个比值不这三个比值不会随着点会随着点P P在角在角的终边上的位置的改变而改变的终边上的位置的改变而改变.PMsinMPOPcosOMOPtanMPOMOMP OM PM POP OMOPMPOM MOP思考思考3 3、为了使、为了使sinsin，c
6、oscos的表示式更简单，的表示式更简单，你认为点你认为点P P的位置选在何处最好？的位置选在何处最好？此时，此时，sinsin，coscos分别等于什么？分别等于什么？x xy yo o P(a P(a，b)b)sinbcosatanba1 1提示提示:OP=1:OP=1处处设设是一个任意角，它的终边与单位圆（以原点为圆是一个任意角，它的终边与单位圆（以原点为圆心，以单位长为半径的圆）交于点心，以单位长为半径的圆）交于点P P（x x，y y），为了），为了不与当不与当为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为sinsin，coscos，tantan对应的值应分
7、别如何定义？对应的值应分别如何定义？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy ysinycosxtan(0)yxx提示提示:正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数数，我们将它们统称为三角函数三角函数三角函数思考思考4.4.对于一个任意给定的角对于一个任意给定的角，按照上述定义，按照上述定义，对应的对应的sinsin，coscos，tantan的值是否存在？是的值是否存在？是否唯一？否唯一？角角的终边在的终边在y y轴上时轴上时,tantan的值无
8、意义的值无意义,除此除此之外之外,其他的角的三角其他的角的三角函数值都是唯一确定的函数值都是唯一确定的.的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y提示提示:正弦、余弦、正切函数的定义域正弦、余弦、正切函数的定义域函函 数数定定 义义 域域ysinycosytanRR|k,k2 Z【即时训练】【即时训练】若角若角600600的终边上有一点的终边上有一点(-4,a),(-4,a),则则a a的值是的值是()().4 3.4 3.4 3.3A BC DB Botan6003a4 3.【解析】微课微课2 2 三角函数的符号三角函数的符号 思考思考1 1 根据任意角三角函数的定义，根据任意角三
9、角函数的定义，sinsin，coscos，tantan的值的符号取决于什么？的值的符号取决于什么？提示提示 由任意角三角函数的定义知由任意角三角函数的定义知sinsin，coscos，tantan的值的符号取决于单位圆与角的终边交点的值的符号取决于单位圆与角的终边交点的坐标的符号的坐标的符号-+sin cos tanxyyxx(0)-+sincostanyOxOxyOxy方法规律：方法规律：一全二正弦；三切四余弦一全二正弦；三切四余弦三角函数的符号三角函数的符号 O【即时训练】【即时训练】下列各式为正号的是（下列各式为正号的是（）A.cos2 B.cos2A.cos2 B.cos2sin2si
10、n2C.tan2C.tan2cos2 D.sin2cos2 D.sin2tan2tan2C C【解析】选【解析】选C.A中中cos20;B中中cos20所以所以cos2sin20;C中中tan20,cos20;D中中sin20,tan20所以所以sin2tan20.例例1.1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.53【解析】【解析】O Oxy y5313B(,)22A A【变式练习】【变式练习】A例例2.2.已知角已知角的终边经过点的终边经过点P0P0（3 3，4 4），求），求角角的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解解：由已知由已知可可得得：220OP(3)(4)5.如图
11、如图，设角设角的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 点点P(x,y),分别过点分别过点0P P,作作x轴的垂线轴的垂线00MPM P，,则则 000MPy,M P4,OMx,OM3 ,OMP00OM P,P P0 0（-3-3，-4-4）P P（x x，y y）O Ox xy yM M0 0M M于是于是,000MPM Py4siny;1OPOP5 00OMOMx3cosx;1OPOP5 ysin4tan.xcos3 记住三角函数的定义记住三角函数的定义若点若点P P（x x，y y）为角）为角终边上任意一点，则终边上任意一点，则P(xP(x，y)y)O Ox xy y22ysinxy；22x
12、cosxy；ytan(x0).x【解题关键】【解题关键】如图已知角如图已知角的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的交点是 求角求角的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.13(,),22P解：根据任意角的三角函数定义：解：根据任意角的三角函数定义：3sin2 1cos2 tan3 Oxy13(,)22P【方法规律】若已知角【方法规律】若已知角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值坐标，则可直接利用定义求三角函数值.【变式练习】【变式练习】1.1.角角的终边经过点的终边经过点P(0,b),P(0,b),则则()()A.sin=0 B.sin=1A.sin=0 B.sin=1C.sin=-1 D.sin=C.sin=-1 D.sin=1 1D D【解析】角【解析】角的终边经过点的终边经过点P(0,b),P在在y轴上，所以轴上，所以sin=1。解解：选选 A.A.设设()P xy，是角是角终边上任一点，因为终边上任一点，因为(0)6，所以所以0yxr，yxxrry，即，即1sincostan 故应选故应选 A A 符号符号 定义域定义域三角函数的概念三角函数的概念 定义定义 重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东西.列夫托尔斯泰
