1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章 一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移cosABFW“分割”“代替”“求和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(,),(),(yxQyxPyxFABLxyO1kMkMABxy1)“分割”.2)“代
2、替代替”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段1kkMM),(kkyx近似代替,),(kk则有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功为,kWF 沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM11kkMM上任取一点在kykxO01111111:,(,),(,),.nnnnnAMM x yMxyMB插入个分点3)“求近似和和”4)“取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP )xQ()y(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO2.定义定义.的一条有向可求长的的一条有向可求长的
3、到点到点平面内从点平面内从点为为设设BAL,曲线弧曲线弧,),(),(上上定义在定义在与与函数函数LyxQyxP的的对对L,T任一分割任一分割个有向小弧段个有向小弧段分成分成它把它把nLiiMM1),2,1(ni.,0BMAMn 其中其中记各小曲线记各小曲线iiMM1 段段,is 的弧长为的弧长为 的细度的细度分割分割T.max|1inisT ,11 iiiiiiyyyxxx 并记并记,),(iiiyxM 的坐标为的坐标为设分点设分点),2,1(ni 任取任取),(ii ,1iiMM 若极限若极限iiniiTiiniiTyQxP ),(lim),(lim10|10|,存在存在,),(的取法无关
4、的取法无关及及且与分割且与分割iiT 称此极限称此极限(,),(,)P x y Q x yL为函数沿有向曲线 上的对坐标的.曲线积分曲线积分:记为记为 LdyyxQdxyxP),(),(ABdyyxQdxyxP),(),(或或或第二类曲线积分第二类曲线积分.(,),P x y其中L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线.称为被积函数被积函数,),(yxQ LLdyyxQdxyxP),(),(也写成也写成iiniiTxP ),(lim10|iiniiTyQ ),(lim10|的曲线积分的曲线积分对坐标对坐标上上在有向曲线在有向曲线xLyxP),(的曲线积分的曲线积分对坐标对坐标上上在有向曲
5、线在有向曲线yLyxQ),(:常简记为常简记为 LQdyPdx.ABQdyPdx 或或(,)(,)LP x y dxQ x y dy第二类曲线积分则则记记为为是是封封闭闭的的有有向向曲曲线线 ,)1(L.LQdyPdx,)2(jdyidxrdjQiPF 若若记记则可表示成则可表示成 LrdFLyxQyxPyxF沿沿有有向向曲曲线线力力),(),(),()3(:所作的功为所作的功为 LdyyxQdxyxPW),(),(注注第二类曲线积分第二类曲线积分 的向量形式的向量形式存在条件：存在条件：,),(),(上连续时上连续时在有向光滑曲线弧在有向光滑曲线弧当当LyxQyxP.第二类曲线积分存在第二类
6、曲线积分存在推广推广,空间有向曲线弧空间有向曲线弧,),(lim),(10|iiiniiTxPdxzyxP .RdzQdyPdx,),(lim),(10|iiiniiTyQdyzyxQ .),(lim),(10|iiiniiTzRdzzyxR 3.3.性质性质,)()(11也存在也存在 LkiiikiiidyQcdxPc则则存在存在若若,),2,1()1(kidyQdxPLii 且且 )()(11LkiiikiiidyQcdxPc),(1 LiLikiidyQdxPc.),2,1(为常数为常数其中其中kici(2),iLL若有向曲线 由有向曲线 首尾相接而成 且 iLQdyPdx则则都存在都存
7、在 ,),2,1(ki LQdyPdx,也存在也存在且且 LQdyPdx.1 kiLiQdyPdx(3),LL设是与 方向相反的有向曲线弧 则.LLPdxQdyPdxQdy 即第二型曲线积分与曲线的方向有关即第二型曲线积分与曲线的方向有关.定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(,),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),()(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,证明证明:下面先证
8、LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在,且有对应参数设分点根据定义ix,it),(ii点,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(,)(limiit)(niiiP10)(,)(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim对应参数连续所以)(t因为L 为光滑弧,同理可证LyyxQd),(tttQd )(),()(t特别是,如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQxzyxPd)
9、,(d),(d),()(t)(t)(t(),(),()Qttt(),(),()Rttt dt)(,)(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 例例1.计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数,则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数,则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段.)1,1()1,1(BA到Oyx)1,1(B)1,1(AyxO例例2.计算其中 L 为,:,0aaxyBAaa(
10、1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2)取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则注：被积函数相同，起点和终点也相注：被积函数相同，起点和终点也相 同，但路径不同积分结果不同同，但路径不同积分结果不同.但有些情况积分结果也有可能相同但有些情况积分结果也有可能相同.例例3.计算,dd22yxxyxL其中L为(1)抛物线 ;10:,:2xxyL(2)抛物线 ;1
11、0:,:2yyxL(3)有向折线.:ABOAL解解:(1)原式22xxxx d4103(2)原式yyy222yy d5104(3)原式yxxyxOAdd22 01)0,1(A)1,1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxOBAyxzO例例4.设在力场作用下,质点由沿 移动到),2,0,(kRB)0,0,(RA.)2(AB解解:(1)zzyxxydddttkR2022d)(2)的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d试求力场对质点所作的功.;,sin,cos)1(tkztRytRx)(222Rk222k其中
12、为),(zxyFdWFrdWFr例例5.求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd)sin)(cossin(costt d)cos41(220)sin)(cos2(tt 2zyxO三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(,)(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),
13、(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd,),(RQPA d(d,d,d)rxyz)cos,cos,(costdArdArstAd记 A 在 t 上的投影为二者夹角为 例例6.设,max22QPM曲线段 L 的长度为s,证明),(,),(yxQyxP续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设sMsQPLdcoscos说明说明:上述证法可推广到
14、三维的第二类曲线积分.在L上连)cos,(cos,),(tQPAstALdsALdcos例例7.将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0,2()0,0(BO到从解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L 沿上半圆周 F原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax沿逆时针移动到,),0(bBO),(yxMxy
15、)0,(aA),0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解见 P196 例5),),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.),(yxkFF),(xyk 思考思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 1.定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyx
16、Pd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3.计算,)()(:tytxL:tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),()(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(,)(),(tttP)(t)(t)(t4.两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(,)(),(tttQ)(,)(),(
17、tttRtd 对空间有向光滑弧:O)0,0,1(A)0,1,0(B)1,0,0(Cxyz2.已知为折线 ABCOA(如图),计算zyyxIddd提示提示:I001d)1(yy10dx2)211(12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd作业作业(5-18)P203 3 (2),(4),(6),(7);4(3)(4);5;7(2);8第三节 备用题备用题 1.解解:OzxyABzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz)10:(t101d3ttk2ln3k)1,2,2(A线移动到,)2,4,4(B向坐标原点,其大小与作用点到 xOy 面的距
18、离成反比.沿直sFWLdF)(0r)1,2,2(ABr求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点222zyxkzjyixzk2.设曲线C为曲面2222azyx与曲面axyx22,)0,0(的交线az从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分.ddd222zxyzxyC解解:(1)22222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t(2)原式=ta38sin3tttadcos)cos1(2283令tu 20uuuaacoscossin2223833uuuadsin)cos1(2283利用“偶倍奇零”0232auuudcos2cos134attacossin2223
