1、第十六章 多元函数的极限与连续 一、平面点集与多元函数 二、二元函数的极限 三、二元函数的连续性第一节第一节 平面点集与多元函数平面点集与多元函数一、平面点集一、平面点集上的完备性定理上的完备性定理二、二、2R三、二元函数三、二元函数元函数元函数四、四、n),(|),(PyxyxEP满足条件面点集，并记作的点的集合，称为平坐标平面上满足条件一、平面点集|),(,|),(:222ryxyxCrxxyx的点的集合：为半径的圆内所有平面上以原点为中心，点集全平面上的点所组成的2 2R R )y,x()y,x(,|yy|,|xx|)y,x()yy()xx(|)y,x(|yy|,|xx|)y,x()yy
2、()xx(|)y,x(dyc,bxa|)y,x(S0000220200022020 方空心邻域：圆空心邻域：方邻域：圆邻域：集合：矩形及其内部所有点的.Eint,EEEAE)A(U)A(UA记作的内部为的内点构成的集合称的内点；是点集则称点，使得的某邻域内点：若存在点.EAE)A(U)A(UA的外点是点集，则称点，使得的某邻域外点：若存在点 .EintCE);A(UE);A(UEAEEA 且，恒有即对任何正数的界点；是点集的点，则称点又含有不属于的点，于的任何邻域内既含有属界点：若在点.EEEAE)A(UA，也可能不属于属于的聚点；聚点本身是点集中的点，则称点内都含有的任何空心邻域聚点：若在点
3、0.EAE);A(UEEA的孤立点为，则称点，使得某一正数的聚点，即存在，但不是孤立点：若点 0.点不是孤立点，则必为外聚点；既不是聚点，又定是点；内点和非孤立点一显然，孤立点一定是界.EE.EEE为闭集没有聚点，这时也称若点集为闭集，则称的所有聚点都属于闭集：若平面点集.EE为开集则称的内点，的每一点都是开集：若平面点集所属.EEEE域（或称连通开集）为开线）相连接，则称条直线段连接而成的折的有限折线（有限含于点之间都可用一条完全中任意两具有连通性，即开域：若非空开集.所成的点集称为闭域闭域：开域连同其边界.称为区域边界点所成的点集，统者开域连同其一部分区域：开域、闭域，或.EO),r;O(
4、UErE是有界点集是其他固定点），则称是坐标原点（也可以其中，使得，若存在某一正数集有界点集：对于平面点.E)E(d.)yy()xx()P,P()y,x()y,x(PPPP)P,P()P,P(sup)E(dEP,P是有界点集为有限值时于是，当且仅当时，则和的坐标分别为、两点之间的距离，当与表示，其中直径：2212212122112121212121 2321323121RP,P,P)P,P()P,P()P,P 其中（三角不等式：上的完备性定理二、2R n,PPPPlimPP),;P(UPNn,NRPRPnnnnnn00002021或记作收敛于点则称点列时，有使得当，存在正整数若对任给的正数为一
5、固定点为平面点列，设定义；等价于时，与分别表示与若以000000yylimxxlimPPlimPP)y,x()y,x(nnnnnnnnn .limPPlimPP)P,P(nnnnnnn0000 等价于之间距离时，与表示点同样地，当以 )P,P(pNnNP.pnnn，都有对一切正整数时，使得当，存在条件是：任给正数收敛的充要平面点列（柯西准则）定理116,n,DPdlim),D(dd)(,n,DDRD.nnnnnnnn2102211216012 则存在唯一的点）它满足：（中的闭域列，是设（闭域套定理）定理.RERE.中至少有一个聚点在集，则为有界无限点设（聚点定理）定理22316.RE.D,DR
6、D.n中至少有一个聚点在集，则盖了，它们同样覆中必存在有限个开域，则在为一开域族，它覆盖了闭域，为一有界设（有限覆盖定理）定理2212416 .PRPknn子列必存在收敛有界无限点集推论2 二元函数三zP,RD:fDfz)y,x(PD,fRD 记作上的二元函数，为定义在则称与之对应，都有惟一确定的实数中每一点，若按照某对应法则设平面点列定义22yxz,)yx(z22221 例EP),P(fyExx,x),xx,x(fyy)xx,x(,RE:fnEfy)xx,x(PE,fREnnnnn 或），（，也常记作：，记作元函数，上的为定义在与之对应，则称都有惟一确定的实数，中每一点使应法则中的点集，若有
7、某个对为设定义212121213元函数四n二元函数的极限第二节二、累次极限一、二元函数的极限一、二元函数的极限A)P(flimAPPDf|A)P(f|D);P(UPADPRDf DPPP 0000021为极限，记作时，以上当在则称时，都有使得当，总存在某正数若对任给的正数是一个确定的实数，的一个聚点，为上的二元函数，为定义在设定义7512254141311277122212|y|x|yx|y|y|y:|1|1-y|1,|2-x|y)(x,|3y|1-y|2yx|2-x|1)1)(y-(y1)-2(y2)y-(x2)2)(x-(x|1)-(y2-xy4)-(x|yxyx|)yxyx(lim 22
8、2),()y,x(内讨论，于是有的方邻域）的，先限制在点（证明：因为依定义证明例.|yxyx|(2,1)y)(x,|1-y|,|2-x|,min|)1-y|2-x7(|y|x|yxyx|22即证时，就有，则当为任意的正数，取设所以 2714116277220000002002222 )y,x(flim:),()y,x(,),()y,x(,yxyxxy)y,x(f ),()y,x(证明设例|yxyxxy|0-y)f(x,|r),()y,x(sinry,cosrx 2222000 由于，都有等价于对任何这时，对函数作坐标变换证明：000200022 )y,x(flim,|)y,x(f|yxr ,r
9、 41|sin4|r41),()y,x(22即都有取什么值时，不管，当，只须取因此，对任何A)P(flim EPEDA)P(flim .EPDPPPPP 000516的聚点，就有是，只要的任一子集的充要条件是：对于定理A)P(flim EPEDA)P(flim EPDPPPPP 0001的聚点，就有是，只要的任一子集的充要条件是：对于推论.)P(flimAAA)P(flimA)P(flim PDEE DPEPEPPPPPPP1不存在，则但，在极限是它们的聚点，若存，设推论 020102121022.)P(f,PPPlimPPDA)P(flim nnnnnPPDP都收敛它所对应的函数列的点列，且
10、的任一满足条件的充要条件是：对于极限推论0003 .),()y,x(yxxy)y,x(f 在极限时是否存当讨论例00322 .,mmm)mx,x(flim)y,x(flimmm)mx,x(f)y,x(f,),(mxy)y,x(:x),()y,x(mxy极限不存在因此所讨论的不同原点时对应的极限值也的直线趋于同斜率这一结果说明动点沿不因而有由于此时时而趋于定点沿着直线当动点解200021100 )P(flim )P(flim,PPDf,M)P(fD);P(U)y,x(P,PMD)y,x(PRDf DP PP )y,x()y,x(000000000023或记作时，存在非正常极限上当在则称时，都有使
11、得当邻域的一个，总存在数的正的一个聚点，若对任给为上的二元函数，为定义在设定义 )y,x(flim,y2x1y)f(x,),()y,x(002234证明设例 )y,x(flim,M3yx,M3yxM21yx,M21M,)yx4(3yx:),()y,x(22222002222221122所以即由此推得就有取对任给正数因为证明二、累次极限f),y(limL),y,x(flim)y(,y),y,x(flim,yy,Ey,EEDf,Ey,Ex,RE,E yEyxExxExyyxxxxyyxyxyx则称此极限为二元函数步存在极限而且进一因此记作有关一般与由于此极限存在极限个若对每一上有定义在集合二元函数
12、的聚点是的聚点是设定义 0000004).y,x(flimlimK xy).y,x(flimlimL)y,x(flimlimL,yxyyxxxxyyxxyyxExyEy000000 的累次极限后对类似地可以定义先对或简记作并记作的累次极限后对先对.,yxyxyxyx)y,x(f 极限点的两个累次极限与重讨论它关于原设例22225 .,),()y,x(,mxyxxxlimyxyxyxyxlimlimyyylimyxyxyxyxlimlim:xyxyxy存在容易验证所得极限也不时当沿斜率不同的直线与两个累次极限分别为解00112022220020222200 .),y,x(flimlim)y,x(
13、flim)y,x(y)f(x,16.60000yyxx)y,x()y,x(00则它们必相等则它们必相等与累次极限与累次极限存在重极限存在重极限在点在点若若定理定理)1(|A)y,x(f|:,);P(U)y,x(P,A)y,x(flim:00)y,x()y,x(00 有有时时使得当使得当总存在正数总存在正数正数正数则对任给的则对任给的设设证明证明 A)y,x(flim)y,x(flimlim.A)x(lim)4(),2(4).|A)x(|)3(,yy),1(.(3)x()y,x(flim ,x(2)|xx|0 ,)y,x()y,x(yyxxxx0yy0000000 即证即证故由故由可得可得由由让
14、其中让其中回到不等式回到不等式存在极限存在极限的的对任一满足不等式对任一满足不等式设设另由存在累次极限之假另由存在累次极限之假.,)y,x(flim )y,x(flimlim)y,x(flimlim 1)y,x()y,x(xxyyyyxx000000则三者相等则三者相等都存在都存在和重极限和重极限与与若累次极限若累次极限推论推论.)y,x(flim)y,x(flimlim)y,x(flimlim 2)y,x()y,x(xxyyyyxx000000必不存在必不存在限限存在但不相等，则重极存在但不相等，则重极与与若累次极限若累次极限推论推论二元函数的连续性二元函数的连续性第三节第三节概念概念一、二
15、元函数的连续性一、二元函数的连续性数的性质数的性质二、有界闭域上连续函二、有界闭域上连续函概念概念一、二元函数的连续性一、二元函数的连续性.DfDDf.PDf|)P(f)P(f|DPUP,DPRDf 00002上的连续函数上的连续函数为为连续，则称连续，则称上任何点都关于集合上任何点都关于集合在在若若连续连续在点在点关于集合关于集合则称则称，就有，就有）；（，只要，只要数数，总存在相应的正，总存在相应的正对于任给的正数对于任给的正数上的二元函数，上的二元函数，为定义在点集为定义在点集设设定义定义 .Pf)y,x(f)yy,xx(f )y,x(f)y,x(f)y,x(fz,yyy,xxx,D)y
16、,x(P)y,x(P00000000000000的全增量的全增量在点在点为函数为函数则称则称，设设 .Pf)y,x(f)yy,x(f)y,x(f )y,x(f)y,xx(f)y,x(f,yyy,xxx,D)y,x(P)y,x(P0000000y000000 x00000的偏增量的偏增量在点在点为函数为函数则称则称，设设 ,;,71600000000000000.P)y,x(),y,x(f)y,x(g).y,x(v),y,x(u,Q)v,u(Quv)v,u(fP)y,x(Pxy)y,x(v)y,x(u)(.也连续在点则复合函数其中点连续并在邻域内有定义的平面上点在函数连续点并在的某邻域内有定义平面上点在和设函数复合函数的连续性定理 数的性质数的性质二、有界闭域上连续函二、有界闭域上连续函.DfRDf.最大值与最小值上有界，且能取得在上连续，则有界闭域在若函数值定理）（有界性与最大、最小定理2 816 .)|f(Q)-f(P)|0 9162 ，就有），（，只要、得对一切点，使的正数，总存在只依赖于对任何（即上一致连续在上连续，则闭域在有界若函数（一致连续性定理）定理QPQP.DfRDf.u)P(fDPu)P(fu)P(f),P(f)P(fDPPRDf.002121212 1016，使得，必存在点的实数则对任何满足不等式且中任意两点，为，上连续，若在区域设函数（介值性定理）定理
