1、(完整版)一元函数微分学课件第一节第一节 导数导数0 xxx当 自 变 量 在 处 取 得 增 量 时，00()()yyf xxf x 函 数 的 增 量；0 xxy 如 果当时 的 极 限 存 在，定义定义0()yf xx设函数在点 的某邻域有定义，0()yf xx称 函 数在 点 处 可 导，00lim()xyxxf xy 称这个极限为函数在点处的导数000()x xx xx xdydf xydxdx记为，或（一）（一）导数的概念与性质导数的概念与性质.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxx
2、x )()(limlim00000即即000()x xx xx xdydf xydxdx记为，或0.x导数是因变量在点 处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度()().yf xIf xI如果函数在开区间 内的每点处都可导，就称函数在开区内可导间关于导数的说明：关于导数的说明：,()xIf x 对于任一都对应着的一个确定的导数值。构成一个函数关系。()(),(),.dydf xf xyfxdxdx称函数的，记作或导函数明显明显:00()()x xfxfx。2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxf
3、xfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.()lim()xafafx()lim()xbfbfx称为导函数的右极限称为导函数的左极限()(,)()f xa bfx在开区间内的导函数为(),(,)()f xa ba bfx设在闭区间连续，开区间内的可导，记导函数为(0)()(0)()faf xafbf xb若存在，则在 点右可导，若存在，则在 点左可导()(0)()(0)fafafbf
4、b且，oxy)(xfy T0 x几何意义几何意义0000()()(,(),()tan,()fxyf xM xf xfxx表示曲线在点处的切线的斜率 即为切线与 轴正向的夹角M切线切线方程为：方程为：法线法线方程为：方程为：).)(000 xxxfyy 0001()()yyxxfx oxy)(xfy T0 xM可导与连续的关系可导与连续的关系定理：可导连续 （逆否命题）不连续不可导 （逆命题）连续可导？不一定 例：y=|x|在x=0处连续，但在x=0处不可导。100)0()(lim)0(0 xxxyxyyx100)0()(lim)0(0 xxxyxyyx(二)导数的运算 基本初等函数的导数公式基
5、本初等函数的导数公式导数的四则运算法则导数的四则运算法则设u=u(x),v=v(x)都可导，则反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y,只需直接由方程F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量，依复合函数链式法则求之。由参数方程确定的函数求导法则由参数方程确定的函数求导法则对数求导法对数求导法练习练习p28例1 例5 例8 例16 例23 例24 例25 例31 例36第二节 微分先看个例子：微分的运算法则微分的运算法则复合函数的微分复合函数的微分这个性质称为一阶微分形式不变性。练习p36
6、例37 例40 例44 第三节 微分中值定理若函数若函数f（x)在区间在区间I上导数恒为零，则上导数恒为零，则f(x)在区间在区间I上是一个常数。上是一个常数。若在区间若在区间(a,b)内，恒有内，恒有f(x)=g(x)，则在，则在(a,b)内必有内必有f(x)=g(x)+C,其中其中C为某个常数。为某个常数。推论p39 例47 例48 练习第四节 洛必达法则可转化为洛必达的形式可转化为洛必达的形式例例例解例例练习p43 例51 例57第五节 导数的应用（一）求曲线的切线方程与法线方程（二）函数的单调性与极值（三）函数的最值（四）曲线的凸凹性（一）求曲线的切线方程与法线方程当0时，法线方程为-
7、1/（二）函数的单调性与极值1 函数单调性定理2 函数的极值定理定理（极值的（极值的必要条件必要条件）设设f(x)在在点点x0处可导，且处可导，且x0为为f(x)的的极值极值点点，则，则f(x0)=0.（三）函数的最大值与最小值设函数y=f(x)在闭区间a,b上有定义，x0a,b,若对于任意xa,b,恒有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0),则f(x0)为函数y=f(x)在闭区间a,b上的最大值（或最小值），称点x0为f(x)在a,b上的最大值点（或最小值点）。注注 极值与最值的区别极值与最值的区别 极值是一个局部概念，只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大或最小，并不意味着它在函数
8、整个定义域内最大或最小。而最值是对整个定义域而言，是一个整体性的概念。函数最值求法步骤：(1)求出求出)(xf的所有极值点的所有极值点(驻点和导数不存在驻点和导数不存在 的点的点);(2)计算并比较计算并比较f(x)在所有极值点及两个端点处的值在所有极值点及两个端点处的值,其中最大者就其中最大者就是最大值是最大值,最小者就是最小值最小者就是最小值。（四）曲线的凸凹性凹凸定理定理1曲线的拐点曲线的拐点渐近线定义定义 当曲线上一点当曲线上一点M沿曲线沿曲线y=f(x)无限远离原点时，如果无限远离原点时，如果M到一条直线到一条直线L的的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。若直线若直线L与与x轴平行，则称轴平行，则称L为曲线为曲线y=f(x)的水平渐近线。的水平渐近线。若直线若直线L与与x轴垂直，则称轴垂直，则称L为曲线为曲线y=f(x)的铅直渐近线。的铅直渐近线。练习练习p48 例例59 例例60 例例65 例例70 例例72 例例75 例例77
