1、1排列组合综合应用排列组合综合应用 第一课时第一课时排列组合综合应用（一）排列组合综合应用（一）例1 某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（A组）联赛共组）联赛共14队参加，每队都要与队参加，每队都要与 其余各队在主、客场比赛其余各队在主、客场比赛1次，共进行多少场比赛？次，共进行多少场比赛？解：任何解：任何2队间进行队间进行1次主、客场比赛，对应于从次主、客场比赛，对应于从14个个 元素中任取元素中任取2个元素的一个排列个元素的一个排列1821314214A答：一共进行答：一共进行182场比赛。场比赛。思考：思考：2个足球队之间进行比赛，要进行几场比赛？个足球队之间进行比赛，要进行几场比赛？2
2、个足球队之间在主、客场分别比赛，要进个足球队之间在主、客场分别比赛，要进 行几场比赛？行几场比赛？例例2（1）有）有5本不同的书，从中选本不同的书，从中选3本送给本送给3名同学，每人名同学，每人 各各1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？（2）有）有5种不同的书，要买种不同的书，要买3本送给本送给3名同学，每人名同学，每人 各各1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？解（解（1）从从5本不同的书中选本不同的书中选3本送给本送给3名同学，相当于从名同学，相当于从5个个 元素中任取元素中任取3个元素的一个排列个元素的一个排列6034535A（2）从）从5种不同的书中买
3、种不同的书中买3本书，这本书，这3本书并不要求都不本书并不要求都不 相同，用分步计数原理：相同，用分步计数原理：125555说明：两个小题的区别，（说明：两个小题的区别，（1）是典型的排列问题）是典型的排列问题 （2）不是排列问题，用分步计数原理解决）不是排列问题，用分步计数原理解决例例3 某信号兵用红、黄、蓝某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆面旗从上到下挂在竖直的旗杆 上表示信号，每次可以任挂上表示信号，每次可以任挂1面，面，2面或面或3面，并且不同面，并且不同 的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分为解：
4、分为3类：类：第第1类：挂类：挂1面面 第第2类：挂类：挂2面面 第第3类：挂类：挂3面面13A23A33A15123233332313AAA练习：由练习：由1，2，3这这3个数字可以组成多少个没有重复个数字可以组成多少个没有重复 数字的正整数？数字的正整数？注：解排列应用题，注意分类与分步原理的应用注：解排列应用题，注意分类与分步原理的应用（一）无条件限制的排列问题（一）无条件限制的排列问题解题的关键：解题的关键：1 确定该题是否是排列问题（将实际确定该题是否是排列问题（将实际 问题问题“转化转化”为排列问题）为排列问题）2 正确找出正确找出n、m的值的值 3 准确应用两个原理准确应用两个原
5、理实际问题实际问题转化转化排列问题排列问题求排列数求排列数（建模）（建模）求数学模型的解求数学模型的解得实际问题的解得实际问题的解练习练习 （1）车上有车上有7个座位，个座位，5名乘客就座，有多少种就座方式？名乘客就座，有多少种就座方式？（2）4辆公交车，有辆公交车，有4位司机，位司机，4位售票员，每辆车上位售票员，每辆车上 配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配 方案？方案？（3）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能 种数有多少？种数有多少？不是排列问题，用分步计数原理，有不是排列问题，用分步计数
6、原理，有 444=64 种种(4)由由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有的四位数的各数位上的数字之和为若所有的四位数的各数位上的数字之和为288，求，求x.解：由题意得解：由题意得 288)541(44xA即即24（10+x)=288 x=2例例4 用用0到到9这这10个数字，可以组成多少个没有重复数字个数字，可以组成多少个没有重复数字 的三位数？的三位数？分析：有一个限制条件：分析：有一个限制条件：百位上不能排百位上不能排0解解 法法1从特殊位置出发，分从特殊位置出发，分2步：步：第第1步：先排百位步：先排百位 第第2步：再排其它两位步：
7、再排其它两位19A29A由分步计数原理由分步计数原理 6488992919 AA法法2 从特殊元素出发，分从特殊元素出发，分3类类第第1类：每一位数字都不是类：每一位数字都不是0 第第2类：个位数字是类：个位数字是0第第3类：十位数字是类：十位数字是039A29A29A 由分类计数原理由分类计数原理648292939AAA法法3（间接法）从（间接法）从10个数字中任取个数字中任取3个数字的排列数个数字的排列数 其中其中0在百位上的排列数在百位上的排列数310A29A所求的三位数的个数为所求的三位数的个数为64889891029310 AA(二）有限制的排列问题二）有限制的排列问题限制条件：某位
8、置上不能排某元素或只能排某元素限制条件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：常用方法：(1)直接法直接法（2）间接法（排除法）间接法（排除法）a优限法：先特殊后一般优限法：先特殊后一般b捆绑法：元素相邻捆绑法：元素相邻c插空法：元素不相邻插空法：元素不相邻（有特殊元素或特殊位置，通（有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，常先排特殊元素或特殊位置，称为称为“优限法优限法”）（先不考虑限制条件，算出所有的排列（先不考虑限制条件，算出所有的排列数，再从中减去不符合条件的排列数）数，再从中减去不符合条件的排列数）例例5 7位同学站成一排照相，按下列要求，各有多少位同学站成一排照相，
9、按下列要求，各有多少 种不同的排法？种不同的排法？（1）甲必须站在中间）甲必须站在中间（2）甲、乙必须站在两端）甲、乙必须站在两端（3）甲不在中间）甲不在中间解解（1）法）法1 因为甲固定在中间，只需要其余因为甲固定在中间，只需要其余6个个 位置排位置排6个人个人72066A法法2（排除法）（排除法）7个任意排，有个任意排，有 种，种，其中甲不在中间其中甲不在中间，有，有 甲在中间有甲在中间有6616AA720!66!7661677AAA77A（2）分两步，第）分两步，第1步：排两端步：排两端 第第2步：排中间步：排中间5人人 22A55A由分步计数原理由分步计数原理 24012025522
10、AA（4）甲既不在排头，也不在排尾）甲既不在排头，也不在排尾解解（法（法1）优先考虑特殊元素）优先考虑特殊元素分两步，第分两步，第1步：先排甲，不在头、尾步：先排甲，不在头、尾 第第2步：再排其他人步：再排其他人66A 由分步计数原理由分步计数原理 360072056615 AA（法（法2）优先考虑特殊位置）优先考虑特殊位置分两步，第分两步，第1步：除甲外，其他步：除甲外，其他6人中选人中选2人人 站头、尾站头、尾 26A第第2步：其余位置步：其余位置55A 由分步计数原理由分步计数原理 3600120565526 AA15A（法（法3）（排除法）（排除法）7个人任意排个人任意排77A 甲在头
11、或尾甲在头或尾 662 A 36007205!62!6726677AA（5）甲、乙必须相邻）甲、乙必须相邻解：由于甲、乙必须相邻，可分解：由于甲、乙必须相邻，可分2步：步：第第1步：视甲、乙为一个元素与其他步：视甲、乙为一个元素与其他5人排，人排，66A第第2步：甲、乙在一起排步：甲、乙在一起排，22A 由分步计数原理由分步计数原理 144072026622 AA说明：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些说明：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些 元素看作一个元素，与其它元素排列后，元素看作一个元素，与其它元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，称为再考虑相邻元素的内部排序，称为“捆绑法捆绑法”
12、（6）甲、乙两人必须不相邻）甲、乙两人必须不相邻解解：（法：（法1）甲、乙不相邻，先排其余）甲、乙不相邻，先排其余5人，有人，有 种，种，55A5人排列共有人排列共有6个空，从中选个空，从中选2个空排甲、乙，有个空排甲、乙，有 种，种，共有共有26A3600561202655 AA（法（法2）总的排法减去相邻的排法，）总的排法减去相邻的排法，3600226677AAA说明：某些元素不相邻时，可先排其它元素，再将说明：某些元素不相邻时，可先排其它元素，再将 这些不相邻元素插入空挡。称为这些不相邻元素插入空挡。称为“插空法插空法”（7）甲、乙、丙三人的顺序一定）甲、乙、丙三人的顺序一定解：解：840!3!73377AA另：甲、乙、丙三人的顺序一定，就是有顺序，另：甲、乙、丙三人的顺序一定，就是有顺序，无位置，相当于无位置，相当于7个位置排个位置排4个元素个元素 840!3!747A练习：甲、乙顺序一定练习：甲、乙顺序一定（）2520!2!72277AA说明：说明：n个不同元素中个不同元素中m个元素顺序一定的排列个元素顺序一定的排列 问题的排法问题的排法 mmnnAA
