1、2(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由后由 出发，结合已知条件，应用公理、定义、定出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行理、性质等，进行 ，得到和命题的条件，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，矛盾的结论，以说明以说明 不成立，从而证明原命题成立不成立，从而证明原命题成立(2)反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾以说明依据假设推理论证；推出矛盾以说明 ，从，从而断定
2、原命题成立而断定原命题成立此假设此假设正确的推理正确的推理假设假设假设不成立假设不成立一、不等式的证明方法一、不等式的证明方法反证法反证法例例1 1：用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b证：假设 a b不成立，则 a b证：假设 a b不成立，则 a b若 a=b，则a=b,若 a=b，则a=b,与已知a b矛盾,与已知a b矛盾,若 a b，则a b,若 a b，则a b矛盾,与已知a b矛盾,故假设不成立，结论 a b成立。故假设不成立，结论 a b成立。2.2.反证法的证明步骤：反证法的证明步骤：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，即
3、分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，从假设出发，经过一系列正确的推理，得出得出矛盾矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为：用反证法证明命题的过程用框图表示为：肯定条件肯定条件否定结论否定结论导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾反设反设 不成立不成立结论结论成立成立 准确地作出反设准确地作出反设(即否定结论即否定结论)是非常重要的，下面是一是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式些常见的
4、关键词的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于 不小于不小于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某个存在某个x不成立不成立存在某个存在某个x,成立成立不等于不等于某个某个3.3.常用反设词：常用反设词：.21,1,2,0,1中至少有一个小于中至少有一个小于试证试证且且已知已知例例xyyxyxyx 211.2,2)(22,21 ,21,0,21,21,21,1:中中至至少少有有一一个个小小于于与与矛矛盾盾这这与与已已知知条条件件且且即即都都不不小小于于假假设设证证明明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx 1.设设
5、0 a,b,c 641 又又0 a,b,c 1/4,(1 b)c1/4,(1 c)a1/4,0.c0,b0,a:0,abc0,cabcab0,cba,2求证为实数已知cba.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果况讨论两种情和下面分不妨先设是正数即其中至少有一个不不全是正数假设证明cbaacabcabbccbacabcabacbcbabcabcaaabcabcaaaacba放缩法的理论依据主要有放缩法的理论依据主要有(1)不等式的传递性；不等式的传递性；(
6、2)等量加不等量为等量加不等量为 ；(3)同分子同分子(分母分母)异分母异分母(分子分子)的两个分式大小的比较的两个分式大小的比较放缩法证明的定义：放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值值 或或 ，简化不等式，从而达到证明的，简化不等式，从而达到证明的目的目的我们把这种方法称为我们把这种方法称为放缩法放缩法.放大放大缩小缩小不等量不等量二、不等式的证明方法二、不等式的证明方法放缩法放缩法21,1.caddbdccacbbdbaaRdcba求证已知cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba,0,:
7、证明baa bab dcc dcd 21 .caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即得把以上四个不等式相加12:.11abab已知a,b是实数，求证:a+bab例 法法：bbaababa111证明：在时，显然成立.0ba当时，左边 0ba111ba1|11111abbaabababab.11bbaa1abab.11bbaa法：法：0,a bab 1 111111111|abababababab|11baabab)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:.,2222 Nkkkkkkkk
8、kkkkkkaaBCCACA且且以以上上如如缩缩应应用用基基本本不不等等式式进进行行放放子子或或分分母母在在分分式式中中放放大大或或缩缩小小分分一一些些项项或或加加进进舍舍掉掉放放缩缩技技巧巧有有常常用用的的后后证证即即放放大大成成如如将将中中间间量量寻寻找找一一个个一一边边放放大大或或缩缩小小放放缩缩法法就就是是将将不不等等式式的的*2.)3.:2(n n n 求证：111（n+1-1）1+3n例2*1222(1),21kkkNkkkk1111232(10)(21)(32)(1)2.nnnn 2022年12月10日星期六练习3.3.课堂小结课堂小结 证明不等式的特殊方法证明不等式的特殊方法:（1）放缩法：放缩法：对不等式中的有关式子进行对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。适当的放缩实现证明的方法。（2）反证法：反证法：先假设结论的否命题成立，先假设结论的否命题成立，再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 论成立的方法。论成立的方法。
