1、 96 空间向量的夹角和距离公式 96 空间向量的夹角和距离公式 南昌大学附属中学 高莹 南昌大学附属中学 高莹 三维目标：三维目标：知识与技能：知识与技能：使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题；使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高分析问题、解决问题的能力.过程与方法：过程与方法：通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”.情感、态度和价值观：情感、态度和价值观：通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分
2、体现学生的主体地位；通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.教学重点：教学重点：夹角公式、距离公式 教学难点：教学难点：数学模型的建立 关键：关键：将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标.教具准备：教具准备：多媒体投影，实物投影仪.教学过程：教学过程：(一)(一)创设创设情境,新课导入 情境,新课导入 2008 年 5 月 16 日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校
3、派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题.引例:引例:在离江面高 30 米的大桥上，火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进，小船以 1 m/s的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上点以东 30 米的点处，小船在水平 D点以南方向 30 米的 A 处（其中水面）1D1C1D D1 开公开课备亮点找素材尽在高中数学公开课优质课信息融合课QQ群865257936诚朴信雅 恒毅乐巧 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？D1C1DANM （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?（不考虑火炬手与小船本身的大小）.今天我们从另一个角度来分析这个问题.分析:建立数学模型 分析:建立数学模型
4、问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离?问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？1、空间两点间的距离公式1、空间两点间的距离公式 2 111222(,)(,),A x y zB xyz已知：，则 212121,ABxx yy zz 22212121()()(ABAB ABxxyyzz 2)z 22,212121()()(A Bdxxyyzz2)2、夹角公式 2、夹角公式 设，111222,ax y zbxyz则,aOA bOB cos,a ba ba b 12121 222222111222x xy yz z2xyzxyz (二二)例题示范，形成技能例题示范，形成技能 例 1
5、:例 1:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s的速度前进，小船以1 m/s的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上点以东30米的C点处，小船在水平D点以南方向30米的A处（其中水面）1D11D D求（1）6s后火炬手与小船的距离？（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?（不考虑火炬手与小船本身的大小）.x y O 111(,)A x y zaa bB222(,)xyz诚朴信雅 恒毅乐巧 解：解：建立如图空间直角坐标系，则 130,0,0,0,30,30AC 3 0,18,30,24,0,0MN；（1）222241830MN 30 2m（2）.124,18,30,30,30
6、,30MNAC 111cos,MN ACMN ACMNAC 2222430183030302 6.530 2303030 此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的余弦值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？(三三)学生互动学生互动 巩固提高巩固提高 变式训练:变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离,两条直线所成的角,而在正方体中还有许多的点与线,例例 2：（1）若G为MN的中点，求GB两点间的距离.（2）若1111114ABB ED F，求1BE与所成的角的余弦值 1DF(1)解：(1)解：设G点的坐标为，则(,)G x y z 12DGD
7、MDN 10,18,3024,0,02 .12,9,15 12,9,15,30,30,0GB,2221821153 110.GB(2)解:(2)解:如图，14530,30,0,30,302BE 诚朴信雅 恒毅乐巧 1150,0,0,0,302DF.1115150,30,0,3022BEDF .111111cos,BEDFBE DFBEDF 151530 301522.1715 17 15 1722 请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.拓展提高请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那么猜想空间上到两点距
8、离相等的点的轨迹是一个平面,我们能不能把它表示出来呢?例 3:例 3:求到M，N两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件),(zyxP解解:点到M，N两点距离相等,),(zyxP则 PMPN 2220183xyz 0 P 222400 xyz2 N M 化简,得 435540 xyz即到到M，N两点距离相等的点的坐标点(,)x y z满足的条件是 435540 xyz(四四)概括提炼，总结升华 求空间两点间的距离 求空间两条直线的夹角 概括提炼，总结升华 求空间两点间的距离 求空间两条直线的夹角 建立空间直角坐标系 建立空间直角坐标系 写出和设出点的坐标 写出相应向量的坐标 求出相应向量的模
9、长 求出相应向量夹角的余弦 4 诚朴信雅 恒毅乐巧 5(五五)布置作业，探究延续 布置作业，探究延续 1课本P42习题9.6 2请同学们各编写一道关于求夹角和距离的题目,并解答.3思考题：引例:何时小船与火炬手之间的距离最短?(六)板书设计：(六)板书设计：9.6 空间向量的夹角和距离公式 1.两点间的距离公式 例题 作业 2.向量的夹角公式 小结 3.中点公式 1 教案说明 一、授课内容的数学本质与教学目标定位 本节课是人教版第九章第六节空间向量的坐标运算之夹角和距离公式的第一课时,它是在学生学习了空间向量的坐标表示，空间向量的数量积的基础上进一步学习的知识内容,沟通了代数与几何的关系，体现
10、了向量的工具性、应用性，渗透了转化、数形结合等数学思想.同时它也是数学建模中很典型的一堂课，是数学研究过程的一个缩影.这节课希望达到以下教学目标:三维目标：三维目标：知识与技能：知识与技能：使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题；使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高分析问题、解决问题的能力.过程与方法：过程与方法：通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”.情感、态度和价值观：情感、态度和价值观：通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，
11、激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.二、学习内容的基础以及今后有何用处 在人们生活的空间中存在着大量的图形，夹角和距离在现实生活中随处可见,同时它们又是立体几何中的重要问题,由于高二的学生已具备一定的空间想象，但对把空间的问题转化为数学的问题的能力有所欠缺，而本节课的学习使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而有助于培养学生分析问题、解决问题的能力.本节课是在已完成了“平面向量的数量积公式、夹角公式，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积”等内容的教学以后进行的，它研究的是空间中
12、夹角和距离公式,是空间向量在立体几何中的简单应用,是后面学习夹角和距离的基础,同时也肩负着学生用 2 向量法处理立体几何问题，把对空间图形的研究从“定性推理”转化为“定量计算”的任务,因此本节课的教学内容起着承前启后的作用.这节课的教学，为向量在数学和物理上的综合运用奠定了基础.三、教学诊断分析（1）（1）由于高二的学生已具备一定的空间想象，但对把空间的问题转化为数学的问题的能力有所欠缺，因此在创设情境中安排了实际背景材料奥运火炬在南昌的传递，对学生进行爱国主义教育，通过动画演示来引出新知，使学生直观的体验空间中两点间的距离和空间两条直线所成的角，目的有以下几点：通过学生身边的实例，激发学生的
13、学习兴趣，变枯燥的数学为有趣的数学;使学生感悟到数学就在身边，提高“用数学”的意识;使学生经历从现实生活中抽象出数学“模型”过程，培养“建模”意识.（2）由于本节课的重点是夹角和距离公式，而关键在于如何找坐标，学生容易了解，因此在例题的讲解上，充分的发挥学生的主观能动性，尽可能的由他们说出点或向量的坐标,激发学生参与的热情.（3）由于高二的学生具备一定的学习能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺，为此在例 1 的基础上设置变式训练,首先将课本中的中点坐标以及求夹角的例题设计到变式训练中给学生以示范,再安排学生在以上的基础上自己编题,目的:始终以例 1 为主线,贯穿下来起到培养学生的
14、合作精神以及对掌握知识的相互补充作用,同时激发学生的学习积极性,让学生真正参与进来,真正的自主的学习.并通过投影仪充分展示学生的成果,在师生双边活动的过程中养成反思意识和提高有条理的表达能力，促进学生全面和谐地发展.将课本中求空间上到两点距离相等的点的轨迹问题设计到拓展提高当中,引发学生的兴趣,将整堂课推向高潮.（4）利用程序框图帮助总结求空间两点间的距离与两条直线所成角的步骤.（5）为适应不同水平的学生,作业层次有所不同,给例 1 设计了一问留给学生思考,使得整堂课一根红线贯穿始终.四、本节课的教法特点以及预期效果分析本节课的教法特点以及预期效果分析 1教学方法 教学方法 为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养根据本节课的内容特点，本节课采用启发探究、讲练结合，3 分组讨论等教学方法，着重于培养学生分析、解决问题的能力以及良好的学习品质 2教学中的预期效果分析 2教学中的预期效果分析 本节课我采用现代化的教学手段进行教学，运用已有的知识体系，创造性的使用教材，一根红线贯穿始终,使学生在自主学习与教师引导相结合的教学实践中,从“懂”到“会”到“悟”，体会钻研的意识，品尝成功的喜悦，从而使学生在积极活跃的思维过程中，数学能力和数学素养得到提高
