1、不等式选讲(绝对值不等式)1绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理定理1：如果：如果a，b是实数，则是实数，则|ab|，当且仅当，当且仅当 时，等号成立；时，等号成立；(2)定理定理2：如果：如果a，b，c是实数，则是实数，则|ac|，当且，当且仅当仅当 时，等号成立时，等号成立 (3)性质：性质：_|ab|_；|a|b|ab0|ab|bc|(ab)(bc)0|a|b|a|b|2绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式含绝对值的不等式|x|a的解法：的解法：(2)|axb|c(c0)和和|axb|c(c0)型不等式的解法：型不等式的解法：|axb|c_；|axb|c_.
2、caxbcaxbc或或axbc(3)|xa|xb|c(c0)和和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：型不等式的解法：法一：法一：利利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；的思想；法二：利用法二：利用“零点分段法零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想方程的思想典例典例 解下列不等式：解下列不等式：(1)1|x1|3 (2)|x2|x 1|0(3)|x1|x2|5 (4)|x8|x4|2 考点一
3、含绝对值不等式的解法考点一含绝对值不等式的解法解解：(1)(4，2)(0,2)(2)3(,)2 基本性质法平方法(3)法一法一：（几何法）：（几何法）如图，设数轴上与如图，设数轴上与2,1对应的点分别是对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于两点的距离之和不小于5的的点所对应的实数显然，区间点所对应的实数显然，区间2,1不是不等式的解集把不是不等式的解集把A向向左移动一个单位到点左移动一个单位到点A1，此时，此时A1AA1B145.把点把点B向右移向右移动一个单位到点动一个单位到点B1，此时，此时B1AB1B5，故原不等式的解集为故原不
4、等式的解集为(，32，)【规律方法规律方法】：形如形如|xa|xb|c(或或c)型的不等式主要有三种解法：型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)几何法：几何法：利用利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点的几何意义：数轴上到点x1a和和x2b的距离之和大于的距离之
5、和大于c的全体，的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)图像法：图像法：作出函数作出函数y1|xa|xb|和和y2c的图像，结合图像求解的图像，结合图像求解【针对训练针对训练】：典例典例 1、(2012山东卷山东卷)若若不等式不等式|k kx4|2的解集为的解集为x|1x3，则实数则实数k k_.考点二含参数的绝对值不等式问题考点二含参数的绝对值不等式问题解析：解析：|kx2|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为不等式的解集为x|1x3，k2.典例典例 2、已知不等式、已知不等式|x1|x3|a.分别求出下列情形中分别求出下列情形中a的取值范围：的取值范围：(1)不等式有解；不等
6、式有解；(2)不等式的解集为不等式的解集为R；(3)不等式的解集为不等式的解集为 .考点二含参数的绝对值不等式问题考点二含参数的绝对值不等式问题解：法一：解：法一：因为因为|x1|x3|表示数轴上的点表示数轴上的点P(x)与两定点与两定点A(1)，B(3)距离的差距离的差，即即|x1|x3|PAPB.由绝对值的几何意义知由绝对值的几何意义知，PAPB的最大值为的最大值为AB4，最小值为最小值为AB4，即即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解若不等式有解，a只要比只要比|x1|x3|的最大值小即可的最大值小即可，故故a4.(2)若不等式的解集为若不等式的解集为R，即不等式恒成立即不等式恒成立，
7、只要只要a比比|x1|x3|的最小值还小的最小值还小，即即a4.(3)若不等式的解集为若不等式的解集为 ，a只要不小于只要不小于|x1|x3|的最大值即可的最大值即可，即即a4.法二：法二：由由|x1|x3|x1(x3)|4.|x3|x1|(x3)(x1)|4.可得可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解若不等式有解，则则a4；(2)若不等式的解集为若不等式的解集为R，则则a4；(3)若不等式解集为若不等式解集为 ，则则a4.【规律方法规律方法】本题中本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的在满足条件的x即可；即可；不等式的解集为不等式
8、的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集式的解集 的对立面的对立面(如如f(x)m的解集是空集，则的解集是空集，则f(x)m恒成立恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即为最值问题，即f(x)a恒成立恒成立af(x)max，f(x)a恒成恒成立立af(x)min.【针对训练针对训练】：1、资料选修、资料选修4系列系列P16试一试试一试：1，22、资料选修、资料选修4系列系列P16练一练练一练：23、资料选修、资料选修4系列系列P17考点一：考点一：2，3 4(2012山东卷山东卷)若若不等式
9、不等式|k kx4|2的解集为的解集为x|1x3，则实则实数数k k_.解析解析|k kx2|2，2k kx42，2k kx6.不等式的解集为不等式的解集为x|1x3，k k2.答案答案25已知关于已知关于x的不等式的不等式|x1|x|k k无解，则实数无解，则实数k k的取值范围的取值范围是是_解析解析|x1|x|x1x|1，当当k k1时，不等式时，不等式|x1|x|k k无解，故无解，故k k1.答案答案(，1)6、设函数、设函数f(x)|xa|3x，其中，其中a0.(1)当当a1时，求不等式时，求不等式f(x)3x2的解集；的解集；(2)若不等式若不等式f(x)0的解集为的解集为x|x
10、1，求，求a的值的值解解(1)当当a1时，时，f(x)3x2可化为可化为|x1|2.由此可得由此可得x3或或x1.故不等式故不等式f(x)3x2的解集为的解集为x|x3，或，或x1考点三绝对值不等式的证明考点三绝对值不等式的证明 典例典例 资料选修资料选修4系列系列P17 考点二考点二练习：练习：资料选修资料选修4系列系列P17：1、一题多变；、一题多变；2、针对训练针对训练考点四绝对值不等式的综合应用考点四绝对值不等式的综合应用【规律方法规律方法】含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根把这些根从小到大排序，以这
11、些根为零，并求出相应的根把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间按每个小区间来去掉绝为分界点，将实数分成若干小区间按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集【练习练习】1、资料选修、资料选修4系列系列P18：针对训练针对训练；(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当当x1,2时，时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得由条件得2a1且且2a2，即即3a0.故满足条件的故满足条件的a的取值范围是的取值范围是3,0反思感悟反思感悟：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通通过适当的添、拆项来放缩求解过适当的添、拆项来放缩求解2(2012陕西卷陕西卷)若若存在实数存在实数x使使|xa|x1|3成立，则实成立，则实数数a的取值范围是的取值范围是_解析解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使要使|xa|x1|3有解，有解，可使可使|a1|3，3a13，2a4.答案答案2,4
