1、习题课幂级数.,2)(,)5(1211111的收敛半径为的收敛半径为数为数为，和函，和函的收敛半径为的收敛半径为，为为，和函数，和函数的收敛半径为的收敛半径为幂级数幂级数，则，则和函数为和函数为的收敛半径为的收敛半径为已知已知 nnnnnnnnnnnnnxaxaxnaxsRxaR)(xs 2R)2(21xsR处处在在级数级数时收敛，则幂时收敛，则幂当当已知已知2)1(1)1()4(111 xxnaxxannnnnn绝对收敛绝对收敛第2页/共15页例例2 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:nnnxn 1)1(2)1(,1)1(2limlimnnnnnnnax=1时级数发散，故该幂级数的收
2、敛域为时级数发散，故该幂级数的收敛域为(1，1).nnnxn2)11()2(1 ,limeannneR1 1122)11)1(,)11,1|nnnnnnnenenex（级数变为级数变为0)11lim)11lim212 eenennnnnnn（).11(ee，收收敛敛域域为为 第3页/共15页111,(1,1)(2,0).nnnntxntnt 令令则则原原级级数数变变为为易易知知的的收收敛敛域域为为故故原原级级数数的的收收敛敛域域为为,21|2/21|lim22)1(21xxnxnnnnnn(2,2)故故所所求求级级数数的的收收敛敛域域为为nnxn)1()3(1 nnnxn212)4(;2|时时
3、，级级数数收收敛敛故故当当x.2|时时，级级数数发发散散当当x.,21发发散散时时，级级数数变变为为又又当当nnx第4页/共15页例例3 求下列幂级数的和函数求下列幂级数的和函数:;)1(12nnnx;212)2(122nnnxn;)2()3(1nnnnx,!12)5(02nnxnn.!2)12(0的和的和并求并求nnnn解解(1)：易知该幂级数的收敛域为：易知该幂级数的收敛域为(1，1).设其和函数为设其和函数为s(x)，则，则;)1()4(1nnxn 1121222)(nnnnnxxnxxs)(212 nnxx)1,1()1()1(222222 xxxxxx第5页/共15页解解(2)(2)
4、：,2)()(lim21xxuxunnn;2|时时，幂幂级级数数收收敛敛当当x发散。发散。级数级数当当 1212,2nnx故该幂级数的收敛域为故该幂级数的收敛域为 ).2,2(122212)(nnnxnxs设设)(21112 nnnx)21(112 nnnx;212)2(122nnnxn).2,2(,)2(2222xxx)22(23 xx)212(2xx第6页/共15页解解(3)(3)：易知幂级数的收敛域为（易知幂级数的收敛域为（0 0，2 2）令令x-1=t,1111)1(nnnnnnnttntxn)1(ttt)(1 nntt).2,0(,)2(1)1(22xxxtt1(3)(1);nnn
5、x 第7页/共15页解解(4)：易知该幂级数的收敛域为：易知该幂级数的收敛域为1，1，设其和函数为设其和函数为s(x)，则，则 1)211(21)(nnxnnxs 1122121nnnnnxnx),(1xfnxnn设设,11)(11xxxfnn)0()()(0fdxxfxfx )1,1 ),1ln(10 xxxdxx1(4);(2)nnxn n 第8页/共15页),(21xgnxnn 设设 xdxxxxgx02201)()1,1),1ln(22xxxx 0 ,00)1,1 ,)1ln(21)(2xxxxxxxg且且)(21)(21)(xgxfxs 211ln(1)ln(1),1,1)02420
6、,03,14xxxxxxxx 且且 112)(nnxxgxxx 12第9页/共15页解解(5)：易知所给幂级数的收敛半径：易知所给幂级数的收敛半径R=+，设其，设其 和函数为和函数为s(x)，则，则2020120!)(!)(xnnnnxxenxxnxdxxs 22)21()()(2xxexxexs 205)2(!2)12(esnnnn ,!12)5(02nnxnn.!2)12(0的和的和并求并求nnnn第10页/共15页例例4 将下列函数展成将下列函数展成 x 的幂级数的幂级数:;21)()1(2xxxxf;44arctan)()2(22xxxf).21,21(,)2(1 310 xxnnn解
7、解(1)(1)21111(31)(xxxf )2()2(21(312 nnxxx)1(312 nxxx.)2(1)()3(2xxf第11页/共15页2222222)4()4(2)4(2)44(11)()2(xxxxxxxxf 04442)1(2)2(112nnnnxxxx 014142)1(nnnnx)0()()(0fdxxfxfx 4)2(12)1(024 nnnxnx(2，2).;44arctan)()2(22xxxf4168xx注：级数的收敛域为注：级数的收敛域为2，2.第12页/共15页)2(121)2(1)()3(020 xdxxdxxfxx )21(2121x 101,|222nnnxx .2|,2)(111xnxxfnnn.)2(1)()3(2xxf第13页/共15页例例5 求极限求极限111393lim24(2)nnn nnn3333231322lim 原式原式解解,31 nnn求求.311的值的值当当即求即求xnxnn21111)1()(xxxxnxxnxnnnnnn 43)1(33121 xnnxxn.822lim443333323132nnn原式原式第14页/共15页感谢您的观赏！感谢您的观赏！第15页/共15页
