1、二面角及其平面角一、半平面的定义一、半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一部分都叫做半平面半平面半半平平面面半半平平面面二、二面角二、二面角1.1.定义定义 从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做平面所组成的图形叫做二面角二面角，这条直线叫做二面角的这条直线叫做二面角的棱棱，每，每个半平面叫做二面角的个半平面叫做二面角的面面l 棱为棱为ABAB，面分别为，面分别为，的二面角的二面角记作二面角记作二面角-AB-AB-.如果棱为如果棱为l，那么，那么这个二面角也可以记作二面角这个二面角也可以记作二面
2、角-l-.2.2.记法记法 如右图，在三棱锥如右图，在三棱锥A-BCDA-BCD中，面中，面ABCABC与面与面BCDBCD所成的二面角可以记所成的二面角可以记作二面角作二面角A-BC-DA-BC-D.有时为了方便，也可在有时为了方便，也可在，内（棱以外的半平内（棱以外的半平面部分）分别取点面部分）分别取点P P，Q Q，将这个二面角记作二面，将这个二面角记作二面角角P PABABQ Q。平卧式：平卧式：直立式：直立式：ABl AB lAB l3.3.画法画法1.1.二面角指的是（二面角指的是（）A A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B B、从一
3、条直线出发的两个半平面所组成的图形。、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。D D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。B想一想想一想:怎样求二面角怎样求二面角?lABO 在二面角在二面角-l-的棱的棱l上任取一点上任取一点O，以点，以点O为为垂足垂足，在半平面在半平面 和和 内分别作垂直于棱内分别作垂直于棱l的射线的射线OA、OB，则射线，则射线OA、OB组成组成AOB叫做叫做二面角二面角-l-的的平面角平面角三、二面角的平面角三、二面角的平面角1.1.定义定义（1 1）
4、在表示二面角的平面角时，要求）在表示二面角的平面角时，要求 注注:lOBlOAOBOAlO,（2 2）AOBAOB的大小与点的大小与点O O在在L L上位置无关；上位置无关；二面角的大小可以用它的平面角来度量二面角的大小可以用它的平面角来度量.即二面即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度二面角的范围：二面角的范围：二面角的两个面二面角的两个面重合重合：二面角的两个面二面角的两个面合成一个平面合成一个平面：平面角是直角的二面角叫平面角是直角的二面角叫直二面角直二面角0o180o 0o,180o 90o例例:在正方体在正方体ABCD-ABCD中，
5、找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角：（1 1）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C；（；（2 2）二面角）二面角C C-BD-A-BD-A；（3 3）二面角）二面角D D-DCDC-A A；（；（4 4）二面角）二面角D D-AB-D.-AB-D.BACDABCDOBACDABCDO例例:在正方体在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角：（1 1）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C；（；（2 2）二面角）二面角C C-BD-A-BD-A；（3 3）二面角）二面角D D-DCDC-A A；（；（4 4）二面角）二面角D D-AB-
6、D.-AB-D.BACDABCD例例:在正方体在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角：（1 1）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C；（；（2 2）二面角）二面角C C-BD-A-BD-A；（3 3）二面角）二面角D D-DCDC-A A；（；（4 4）二面角）二面角D D-AB-D.-AB-D.BACDABCD例例:在正方体在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角：（1 1）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C；（；（2 2）二面角）二面角C C-BD-A-BD-A；（3 3）二面角）二面角D D-DC
7、DC-A A；（；（4 4）二面角）二面角D D-AB-D.-AB-D.例例:在正方体在正方体ABCD-ABCD中，中，求求二面角二面角C C-BD-C-BD-C的的正切值正切值.BACDABCDO,OCOBDAC连接于点交解：连接,BDACBDO的中点，且为则BDOC,DCBC 正方体中OOCOC又的平面角，为二面角CBDCOCC,ABCDOCABCDCC平面平面OCCC 2221tanOCCCOCC，设正方体的棱长为1，则22,2OCAC22的正切值为二面角CBDC课堂小结课堂小结1.1.二面角的定义、二面角的平面角；二面角的定义、二面角的平面角；2.2.二面角平面角的求法；二面角平面角的求法；附附:角与二面角之间的关系角与二面角之间的关系 角角图形图形构成构成表示法表示法O顶点顶点边边边边AB二面角二面角从平面内一点出从平面内一点出发的两条射线所发的两条射线所组成的图形组成的图形.从空间一条直线出从空间一条直线出发的两个半平面所发的两个半平面所组成的图形组成的图形.定义定义射线射线点点射线射线半平面半平面棱棱半平面半平面 AOB二面角二面角 a 或或 AB a 棱棱面面面面AB 1.1.定义法定义法 lAB2.2.二面角的平面角的作法二面角的平面角的作法O 2.2.垂线法垂线法
