1、多元函数的极值与最优化问题一、一、多元函数的无条件极值多元函数的无条件极值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz *1.极值定义极值定义若函数若函数极大值和极小值统称为极大值和极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点使函数取得极值的点),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf),(),(00yxPyxfz在点在点 的某的某则称函数在点则称函数在点 取得取得极大值极大值),(00yx邻域内有定义且满足邻域内有定义且满足称为称为极值点极值点.).,(00yxf推广：推广：n 元函数元函数 f(P),)()()(00PfPfPf：极小值极小值),),(00nRPPPUP
2、(极小值极小值).,(00yxf定义定义8.10)(),(PUyx *处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz 处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz (1)(2)(3)处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz 例例2例例3例例1*不妨设不妨设),(yxfz 在点在点 P),(00yx处有极大值处有极大值,),(yxf),(00yxf,证证即即)(),(PUyx 2.多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件定理定理8.10(必要条件必要条件)设函数设函数),(),(00yxyxfz在点在点 且在该点取得极值，则有且在该点取得极值，则有具有偏导数，具有偏导数
3、，.0),(,0),(0000yxfyxfyx*即即 0),(00 yxfx;类似地可证类似地可证 0),(00 yxfy.则则令令),()(0yxfx )()()(00 xUxxx 处可导处可导在在00),()(xxyxfx 0)(0 x)(),(),(),(0000PUyxyxfyxf *推广推广：如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在点点),(000zyxP处处有极值的有极值的必要条件必要条件为为:0),(000 zyxfx，0),(000 zyxfy，0),(000 zyxfz.注注 12 仿照一元函数，凡能使一阶偏导
4、数仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时同时为零为零的点，均称为多元函数的的点，均称为多元函数的驻点驻点.驻点驻点可导函数的极值点可导函数的极值点*例如例如:点点)0,0(是函数是函数 xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点.事实上，事实上，,xzyzyx 0)0,0(0)0,0(yxzz.)0,0(的驻点的驻点是是xyz 0)0,0(),(0 zyxzxy，（一、三象限的点）时（一、三象限的点）时但当但当0)0,0(),(0 zyxzxy，（二、四象限的点）时（二、四象限的点）时当当.)0,0(的极值点的极值点不是不是xyz yxzo问题：问题：如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一
5、个驻点是否为极值点？*定理定理8.11(充分条件充分条件)若函数若函数的的在点在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000 yxfyxfyx,),(00yxfxx,),(00yxfyx),(00yxfyy A B C某邻域内某邻域内具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,且且记记则则A0 时是极时是极小小值值.2)当当3)当当时时,不能判定不能判定,需另行讨论需另行讨论.,0)12时时当当 BAC02 BAC02 BAC是极值，是极值，),(00yxf时时,不是极值不是极值.),(00yxf*即有即有 ),(00yxf0 0 0 极小值极小值,0 A极大值极大值,0 A非非极极值
6、值)(需用其他方法确定需用其他方法确定不定不定是极值是极值)(2BAC *求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：求极值可疑点：求极值可疑点：1判断判断2,)1(定定利用极值的充分条件判利用极值的充分条件判.)2(利用极值的定义利用极值的定义若充分条件不满足，则若充分条件不满足，则点；点；驻点、偏导数不存在的驻点、偏导数不存在的*例例422yxz 均不存在，均不存在，)0,0(),0,0(yxzz例例5.)(333的极值的极值为常数为常数求求aaxyyxz 解解1 求驻点求驻点 03303322axyzayxzyx.0)0,0()0,0(22 zyxz处取得极小值处取得极小
7、值在在但但*03303322axyzayxzyx当当 a=0 时，时，有唯一驻点：有唯一驻点：(0,0)当当 a 0 时，时，0 ayxyx 0)(3)(30222 aaxxaxaxzayxx否否则则代入，代入，,02 axx得得axx ,0),(),0,0(aa有驻点：有驻点：0)()(22 yxayx ：0)(ayxyx*2 判断判断axyzayxzyx33,3322 ,6xzAxx ,3azBxy ,6yzCyy 2BAC 2936axy (1)当当a 0 时，时，驻点驻点 )0,0(092 aA),(yxz),(aa0272 aa6)0(a)0(a非非极极值值极小值极小值极大值极大值*
8、时，时，即当即当0 a.)0,0(333取得极值取得极值不不在在axyyxz 时，时，当当0 a;),(),(3333aaazaaaxyyxz 得极小值：得极小值：取取在在时，时，当当0 a.),(),(3333aaazaaaxyyxz 得极大值：得极大值：取取在在(2)当当a=0 时，时，在唯一驻点在唯一驻点(0,0)处，处，2BAC 0)936()0,0(2 axy充分判别法失效！充分判别法失效！*0)0,0(,33 zyxz此时，此时，xyo+)0,0(0)0,(03zxxzx 时，时，当当)0,0(0)0,(03zxxzx 时，时，当当不是不是)0,0(.33的极值点的极值点yxz 当
9、当a=0 时，时，.333无极值无极值axyyxz -*二、多元函数的最值二、多元函数的最值函数函数 f 在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续函数函数 f 在该区域在该区域D上一定取得最值上一定取得最值假设假设:目标函数目标函数可微可微且只有且只有有限个有限个驻点驻点.内部的极值可疑点，内部的极值可疑点，在在求出求出Dyxf),(1),2,1(),(niyxii);,2,1(),(niyxfii 计算：计算：;,),(200MmDyxf的边界上的最值的边界上的最值在在求求(这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件方程方程)情形情形1 D是有界闭区域，是
10、有界闭区域，.),(上连续上连续在在Dyxfz 求最值的一般方法：求最值的一般方法：*),2,1(),(3niyxfii 比较函数值比较函数值，大值大值的大小，则最大者为最的大小，则最大者为最与与MMm00,.m最小者为最小值最小者为最小值情形情形2.),(数数是实际问题中的目标函是实际问题中的目标函yxfz ),(),(yxfyxf的最值客观上存在，且的最值客观上存在，且若若.),(.的边界上的最值的边界上的最值在在不必求不必求的最值点的最值点Dyxf.为极值点为极值点也无须判别该驻点是否也无须判别该驻点是否在在D内内有唯一的驻点有唯一的驻点，则认为该驻点即为，则认为该驻点即为 f(x,y)
11、*解解例例6,平面上求一点平面上求一点在在xOy D2222)21162(yxyx设设(x,y)为该三角形内任一点为该三角形内任一点,三直线的三直线的0162 yx及及使它到使它到0,0 yx.距离平方之和最小距离平方之和最小所求点一定在所求点一定在 x=0,y=0,x+2y-16=0 三直线三直线所围三角形的内部所围三角形的内部.则它到三直线的距离平方和为则它到三直线的距离平方和为:目标函数目标函数(x,y)xyo816x+2y-16=0*xD解解得得.516,58 yx.516,58即为所求即为所求所以点所以点 yD 53254512 yx,0 56454518 xy.0 为唯一驻点，为唯
12、一驻点，51658而驻点唯一而驻点唯一,由问题性质知存在最小值由问题性质知存在最小值,.516564532545956222 yxxyyxD*例例7求函数求函数 f(x,y)=x2+2y2-x2y2 在区域在区域0,4),(22 yyxyxD上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解(方法方法1)xyO1 先求先求 f(x,y)在在D内的驻点内的驻点 .024,02222yxyfyxxfyx由由),1,2(),1,2(内驻点为：内驻点为：得得D.2)1,2(f且且-22*xyOL1L2上，记上，记在边界在边界)22(0:1 xyL2)0,()(xxfxg 在在L1上上,f(x,y)的最大值为的
13、最大值为g(2)=f(2,0)=4，最小值为，最小值为g(0)=f(0,0)=0.上，记上，记在边界在边界)0(4:222 yyxL)4,()(2xxfxh )22(8524 xxx2 再求再求 f(x,y)在在D边界上的最值边界上的最值-22:)22(0104)(3得驻点得驻点由由 xxxxh*xyOL1L2-22:)22(0104)(3得驻点得驻点由由 xxxxh,25,25,0321 xxx8)2,0()0(fh)4,()(2xxfxh )22(8524 xxx.47)23,25()25(fh在在L2上上,f(x,y)的最大值为的最大值为8，最小值为，最小值为.47综上综上,f(x,y)
14、在在D上的最大值为上的最大值为8，最小值为，最小值为0.*实例实例 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两种元钱，他决定用来购买两种 急需物品：计算机磁盘和录音磁带，急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买设他购买 x 张磁盘，张磁盘，y 盒录音磁带达盒录音磁带达 到最佳效果，效果函数为：到最佳效果，效果函数为：三、条件极值、拉格朗日乘数法三、条件极值、拉格朗日乘数法设每张磁盘设每张磁盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 元，问元，问他如何分配这他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果yxyxUlnln),(*一般地，所谓条件极值，就是求一般地，所谓条件极值，就是求),(yx
15、fz 在附加条件：在附加条件：下的极值，即求下的极值，即求0),(yx 0),(),(yxyxfz.)(的极值的极值所确定的函数所确定的函数xzz 问题的实质：问题的实质：求求yxyxUlnln),(.200108:下的极值点下的极值点在条件在条件 yx*求条件极值的方法主要有两种：求条件极值的方法主要有两种：),(,0),(xyyyx 解出解出即由即由 中，转化成求中，转化成求再代入再代入),(yxf)(,xyxfz 的无条件极值的无条件极值.2.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法1.将条件极值转化为无条件极值将条件极值转化为无条件极值下的极值下的极值可疑可疑点点.0),(),(yxyxfz 在条
16、件在条件找函数找函数*1 构造函数构造函数),(),(),(yxyxfyxF 解出解出 x0,y0,2 解方程组解方程组 0),(0),(),(0),(),(yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx 3 判断判断，得得极值可疑点：极值可疑点：),(00yx.),(00是否为极值点是否为极值点yx拉格朗日函数拉格朗日函数(1)拉格朗日乘子拉格朗日乘子 步骤：步骤：.为某一常数为某一常数其中其中*原理：原理：设设处取得极值处取得极值在点在点),(0),(),(00yxyxyxfz .)(,0处取得极值处取得极值在在xxxyxfz ，内有连续的一阶偏导数内有连续的一阶偏导数在某在某)(,0PUf.
17、0),(),(00000 yxyxPy 0)dd(dd00 xxyxxxxyffxz),(),(dd00000yxyxxyyxxx 而而*00)dd(ddxxyxxxxyffxz ),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx 0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfxyyx ，则，则令令),(),(0000yxyxfyy 0),(),(0000 yxyxfyy *0),(),(0000 yxyxfxx 0),(),(0000 yxyxfyy 0),(00 yx 这正是这正是(1)式式.条件极值的条件极值的必要条件必要条件注注 拉格朗日乘数法可推广
18、到自变量多于两拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两 个的情形：个的情形：*0),(tzyx 条件：条件：0),(tzyx 1 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数),(),(),(),(21tzyxtzyxtzyxftzyxF .21为常数为常数，其中其中 2 解方程组解方程组如：如：目标函数目标函数),(tzyxfu *0),(0),(00002121212121 tzyxFtzyxFfFfFfFfFttttzzzzyyyyxxxx 得得极值可疑点：极值可疑点：).,(0000tzyx3 判断判断.*例例7 求函数求函数 f(x,y)=x2+2y2-x2y2 在区域在区域0,4),(22 yyxy
19、xD上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解(方法方法2)在在D内与边界内与边界L1上同上同方法方法1.上，构造函数上，构造函数在边界在边界)0(4:222 yyxL),4(2),(222222 yxyxyxyxFxyOL1L2-22 04022402222222yxFyyxyFxxyxFyx令令*解得极值可疑点：解得极值可疑点：.2,0,2325yxyx8)2,0(f,47)23,25(f综上综上,f(x,y)在在D上的最大值为上的最大值为8，最小值为，最小值为0.*例例8解解).0,0(22 hRxOyhzyxhRz的最大长方体体积的最大长方体体积面面平行于平行于所围锥体内作出的底面所围
20、锥体内作出的底面和平面和平面试求在圆锥面试求在圆锥面 设长方体位于第设长方体位于第一卦限内的一个顶点一卦限内的一个顶点的坐标为的坐标为(x,y,z),则长则长方体的长，宽，高分方体的长，宽，高分别为别为2x,故长方体的体积故长方体的体积2y,h-z.xyzo(x,y,z)zh h*),(zyxF解解方方程程组组 xF令令:约束条件约束条件.022 Rzyxh V）（zhyx 22 hzRyx0,0 zF F )(zhxFy ,4）（zhxy 目标函数目标函数),(22Rzyxh )(zhy ,022 yxhx ,022 yxhy)(zhxy ,0 Rxy .022 Rzyxh*hR313242
21、 maxV进一步可解得进一步可解得.32,32hzRyx 由实际问题存在最大值由实际问题存在最大值,得得,xy -,xy 得得代入代入,2xRhz 得得代入代入.2Rx 及可疑的极值点唯一及可疑的极值点唯一,有有 ）（zhxy4.2782hR 这种解法具有一般性这种解法具有一般性*例例9解解.2881243196222的最近点和最远点的最近点和最远点上求距平面上求距平面在曲面在曲面 zyxzyx),(196222zyxzyx上任取一点上任取一点在曲面在曲面 :此点到所给平面的距离此点到所给平面的距离 d.2881243 zyx196222 zyx2221243 目标函数目标函数约束条件约束条件
22、*2)2881243(zyxB转化为求函数转化为求函数令令2)2881243(),(zyxzyxF)1(0962)2881243(6 xzyxFx注注)2(02)2881243(8 yzyxFy)3(02)2881243(24 zzyxFz)4(.196222 zyxF .值可使求解简单值可使求解简单在相同约束条件下的极在相同约束条件下的极 196222zyx解解方方程程组组*)1(0962)2881243(6 xzyxFx)2(02)2881243(8 yzyxFy)3(02)2881243(24 zzyxFz)4(.196222 zyxF ,)2(),1(移项移项将将),1()2(除以除以
23、并以并以)2(2)2881243(8 yzyxFy)1(962)2881243(6 xzyxFx)5(72 yx 得得,)3(移项移项将将),2()3(除以除以并将并将)3(2)2881243(24 zzyxFz)6(3 yz 得得可解得可解得代入代入将将)4()6(),5(,81 y于是于是.83,9 zx 83,81,983,81,9及及从而得到点从而得到点,83,81,9是距平面最近的点是距平面最近的点 .83,81,9是距平面最远的点是距平面最远的点 ,中可知中可知代入代入d注注意意常常用用解解题题技技巧巧*例例10沿沿使得函数使得函数上求一点，上求一点，在球面在球面222222),(
24、1222zyxzyxfzyx A(1,1,1)到点到点 B(2,0,1)的方向导数具有最大值的方向导数具有最大值.解解AB),0,1,1(ABl eAB),0,21,21(),(gradzyxffff )2,2,2(zyx l 着点着点*目标函数：目标函数：lfu lfe)(grad )(2yx 条件：条件：1222222 zyx)1,1,1(A )1,0,2(B),(zyxP),(zyxP),(zyxP xzoy),(zyxP*)1222(2),(222 zyxuzyxF 令令)1222()(222 zyxyx 解方程组：解方程组：041 xFx041 yFy04 zFz01222222 z
25、yxF(1)(2)(3)(4)由由(1)y (2)x,得得,0 xy.xy *由由(3)，得，得.0 z代入代入(4)，得，得,0142 x,21 x,21 y极值可疑点：极值可疑点：)0,21,21(),0,21,21()0,21,21()(2)0,21,21(yxu22)0,21,21(u).0,21,21(所求点为：所求点为：*内容小结内容小结1.如何求函数的无条件极值如何求函数的无条件极值第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.解方程组解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点.2.如何求函数的条件极值如何求
26、函数的条件极值(1)简单问题用代入法转化为无条件极值问题求解简单问题用代入法转化为无条件极值问题求解,),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法求解一般问题用拉格朗日乘数法求解*先作拉格朗日函数先作拉格朗日函数例如求二元函数例如求二元函数下的极值下的极值,然后解方程组然后解方程组第二步第二步 作拉格朗日函数，求驻点并作拉格朗日函数，求驻点并判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小(闭区域闭区域)根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值(实际问题实际问题)第一步第一步 找目标函数找目标函数,确定
27、定义域确定定义域(及约束条件及约束条件)3.函数的最值应用问题函数的最值应用问题在条件在条件求出驻点求出驻点.),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF 0 xxxfF0 yyyfF0 F*思考题思考题1.值点，值点，内唯一的驻点，且是极内唯一的驻点，且是极在在是是上可微，上可微，在区域在区域若若DyxfyxDyxf),(),(),(00上的最值？上的最值？在在是否一定是是否一定是Dyxfyxf),(),(00答：答：不一定不一定.:反反例例11,41),(,24),(223 yxyxDxyyxxyxf).0,0(7)1,4(,),(0)0,0(),0,0(),(ffyxffDyxf
28、 但但的极大值的极大值为为且且内有唯一驻点：内有唯一驻点：在在问：问：*已知平面上两定点已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆周试在椭圆周上求一点上求一点 C,使使ABC 面积面积 S最大最大.解解CBAoyxED设设 C 点坐标为点坐标为(x,y),2.21 031013 yxkji)103,0,0(21 yx)0,0(14922 yxyx则则 ACABS2110321 yx*作拉格朗日函数作拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知,点点 C 与与 E 重合时重合时,三角形面积最大三角形面积最大.)491()103(222yxyxF 092
29、)103(2 xyx042)103(6 yyx049122 yx646.1 S,54,53 yx,5.3,2 EDSS点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停DE*备用题备用题例例4-1 讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解 显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值,因此因此 z(0,0)不是极值不是极值.因此因此,022时时当当 yx222)(yxz 0)0,0(z为极小值为极小值.正正负负033yxz 222)(yxz 在在(0,0)点点xyzo并且在并且在(0,0)都有都有 02 BAC33yxz 可能为可能
30、为0)()0,0()0,0(222 yxz*例例5-1 求函数求函数解解 第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632 yy的极值的极值.求求A、B、C的值，并列表判别的值，并列表判别,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyyxyxyxyxf933),(2233 *(1,0)(1,2)(-3,0)(-3,2)A B C 2BAC 极值极值 ,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyyABC1206极小，极小，7212-
31、12-12 0 0 0-6 6-6-72-72 72 无极值无极值 无极值无极值 极大极大,31,31 xyxyxyxf933),(2233 -5*求由方程求由方程 yxzyx22222 0104 z 确定确定的函数的函数),(yxfz 的极值的极值.将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx解解)2(2121 zzyzzxzyx例例5-2隐函数求隐函数求极值问题极值问题*即即驻点为驻点为)1,1(-P,将上方程组再分别对将上方程组再分别对yx,求偏导数求偏导数,1,1,0,0 yxzzyx得得令令,21|,0|,21|zzCzBzzAPy
32、yPxyPxx *函数在函数在P有极值有极值.将将)1,1(P代入原方程代入原方程,有有6,221 zz,当当21 z时，时，所以所以2)1,1(fz为极小值；为极小值；当当62 z时，时，041 A,所以所以6)1,1(fz为极大值为极大值.)2(0)2(122 zzBAC,故故041212)2,1,1(zxxzzA*例例6-1解解),0,1(),0,0(1PO三点三点已知平面直角坐标系中已知平面直角坐标系中:,21的距离平方之和的距离平方之和到点到点目标函数为点目标函数为点PPOP),(yxfu 22yx ,2223322 yxyx.1,0,0),(yxyxyxD解解方方程程组组),1,0
33、(2P上求点上求点所围的闭区域所围的闭区域试在试在DPOP21 的距离平方之和为的距离平方之和为使它到点使它到点21,PPO22)1(yx 22)1(yxxyoD1P2P),(yxfx),(yxfy ,026 x.026 y),(yxP.最大和最小最大和最小*得唯一的可疑极值点得唯一的可疑极值点,31,31 .3431,31 f.321组成组成，的边界由三条线段的边界由三条线段如图，如图，LLLD其次考虑其次考虑f(x,y)在在D的边界上的取值情况的边界上的取值情况.xyoD1L2L3L上，上，在在1L),(yxf2232 xx,353132 x,10 x)0,(xf,22233),(22 y
34、xyxyxf最最小小值值是是.35031 ，f的最大值是的最大值是上上故在故在fL 1,3)0,1(f*,22233),(22 yxyxyxf,2上上在在L )1,(),(xxfyxf3662 xx,232162 x,10 x的最大值是的最大值是上上故在故在fL2,3)0,1()1,0(ff最最小小值值是是.322121 ，f,3上上在在L ),0(),(yfyxf2232 yy,353132 y,10 yxyoD1L2L3L*，），（），（30110 ff.3431,31 f比较上述各点的函数值可知比较上述各点的函数值可知,函数的最大值是函数的最大值是函数的最小值是函数的最小值是最最小小值值
35、是是.35310 ，f的最大值是的最大值是上上故在故在fL3,3)1,0(f*例例6-2解解 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x,y m,则高为则高为水箱所用材料的面积为水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2的有盖的有盖长方体水箱长方体水箱,问：当长、宽、高各取怎样的尺寸时问：当长、宽、高各取怎样的尺寸时,m2xy 2 Ayxxyy2 xyx2 yxyx222 )0,0(yx0)2(22 xyAx0)2(22 yxAy3m)2,2(33 才能使用料最省才能使用料最省?*根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存
36、在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时,水箱所用材料最省水箱所用材料最省.,233222233 *例例6-3 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板的长方形铁板,把它折起来把它折起来解解 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积则断面面积x24做成一个断面为等腰梯形的水槽做成一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 ,Axxcos2224 x224 (21xsin)xxxsincossin2sin2422 x224 x使断面面积最大使断面面积最大.)20,120:(xD为为问怎样折法才能问怎样折法才能*xco
37、s24x cos22 0)sin(cos222 x令令 xAsin24xsin4 0cossin2 x A解得解得由题意知由题意知,最大值在定义域最大值在定义域D 内达到内达到,而在域而在域D 内只有内只有一个驻点一个驻点,故此点即为所求故此点即为所求.,0sin 0 xxxxAsincossin2sin2422 )0,120:(2xD 0cos212 xx0)sin(coscos2cos2422 xx(cm)8,603 x*求二元函数求二元函数)4(),(2yxyxyxfz 在直线在直线6 yx，x轴和轴和 y轴所围成的闭轴所围成的闭 区域区域 D上的上的 最大值与最小值最大值与最小值.解解
38、1 先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点，如图如图,xyzo例例7-1xyo6 yxDD*yxyxxyyxfx2)4(2),(解方程组解方程组 0)238(yxxy得区域得区域D内内部部唯一驻点唯一驻点)1,2(,且且4)1,2(f,2 再求再求),(yxf在在D边界上的最值，边界上的最值，在边界在边界0 x和和0 y上上,0),(yxf 在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6 0)24()4(),(222 yxxyxyxxyxfy*得得 4,021 xx,2|64 xxy,64)2,4(f 比较后可知比较后可知4)1,2(f为最大值为最大值,64)2,4(f为最小值为最小值.02)6(
39、4)(2 xxxxh由由于于是是)2)(6()6,(2 xxxxf)(xhxyo6 yxD)2,4(*注注)4(),(2yxyxyxf ,63)238()1,2()1,2(xyyxyfAxx,42)238()1,2()1,2(xyyxxfBxy8)2()1,2()1,2(2 xfCyy0322 BAC0 A.),()1,2(的极大值的极大值为为yxff*求求122 yxyxz的最大值和最小值的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21(,解解由由例例7-2*即边界上的值为零即
40、边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21.因为因为 01lim22 yxyxyx 无条件极值：无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.*在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面 1222222 czbyax 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面 解解设设),(000zyxP为椭球面上一点为椭球面上一点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,202|axFPx 则则，202|byFPy，202|czFPz 例例
41、8-1体体积最小，求切点坐标体体积最小，求切点坐标.*)(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所围四面体的体积所围四面体的体积 000222661zyxcbaxyzV ,过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为*在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax,0
42、10,0,0220220220000 cybyaxGGGzyx由由 最最大大最最小小最最小小uucbaVzyxcbaV 6lnln6222000222*当切点坐标为当切点坐标为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 即即可得可得30ax 30by ，30cz abcV23min.*例例8-2解解 设内接三角形各边所对的圆心角为设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,2zyx 这三个角所对应的三角形的面积分别为这三个角所对应的三角形的面积分别为,sin2211xRS ,sin2212
43、yRS zRSsin2213 0,0,0 zyx作拉格朗日函数作拉格朗日函数)2(sinsinsinzyxzyxF 求半径为求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者的圆的内接三角形中面积最大者.则则zyx*解方程组解方程组zyx0cos x,得得32zyx 故圆内接正三角形面积最大故圆内接正三角形面积最大,最大面积为最大面积为 332sin212max RS.4332R 0cos y0cos z02 zyx)2(sinsinsinzyxzyxF *为边的面积最大的为边的面积最大的四边形四边形,试列出其目标函数和约束条件试列出其目标函数和约束条件.提示提示:dcbaSsin21sin21 )0,
44、0(目标函数目标函数:dcdcbabacos2cos22222 约束条件约束条件:dcba,abcd答案答案:,即四边形内接于圆时面积最大即四边形内接于圆时面积最大.例例8-3 求平面上以求平面上以设四边形的设四边形的 一对内角分别为一对内角分别为,*例例8-4 要设计一个容量为要设计一个容量为则问题为求则问题为求令令解方程组解方程组解解 设设 x,y,z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小下水箱表面积最小.x,y,z 使在条件使在条件 xF02 zyyz yF02 zxxz zF0)(2 yxyx F00 Vzyx试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？试问水箱长、宽、
45、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱,0Vzyx yxzyzxS )(2)()(20VzyxyxzyzxF xyz0V*得唯一驻点得唯一驻点,2230Vzyx 3024V 由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此,当高为当高为,340Vxyz思考思考:1)当水箱封闭时当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知利用对称性可知,30Vzyx 2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价欲使造价最省最省,应如何
46、设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何?提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF 2长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等.*将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 则则2x 3y ,得得xyyx32,0)32(例例8-5*x 3z ,得得xzzx31,0)3(代入，得代入，得 x=6,从而从而 y=4,z=2故解得唯一驻点故解得唯一驻点)2,4,6(，.691224623max u故故最最
47、大大值值为为 依题意，最大值必存在依题意，最大值必存在*例例9-1解解.1,22短距离短距离到坐标原点的最长与最到坐标原点的最长与最交线上的点交线上的点求两曲面求两曲面 zyxzyx为交线上任一点，为交线上任一点，设设),(zyx)1()(),(22222 zyxzyxzyxzyxF作拉格朗日函数作拉格朗日函数.222zyxd 解解方方程程组组该点到原点的距离该点到原点的距离*,022 xx,23111 yx得得,359),(222 zyxd.359),(111 zyxd最长距离为最长距离为最短距离为最短距离为,022 yy,02 z,022 zyx.01 zyx ;321 z,23122 y
48、x.322 z.222zyxd )1()(),(22222 zyxzyxzyxzyxF可知，可知，代入代入d*例例9-2之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz解解,022,),(22dzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设 分析分析最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP.2261 zyxd*),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )(,)(,)()(,)()(,)(yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得*.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(*
