1、 大连市第六中学大连市第六中学 王新华王新华 恩格斯曾说过：恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。的关系与空间形式的科学。”数形结合就数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。难为易、化繁为简，
2、从而得到解决。“数数”与与“形形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数数”和和“形形”的矛盾的统一。的矛盾的统一。数无形时少直观，数无形时少直观，形无数时难入微形无数时难入微,数形结合百般好，数形结合百般好，隔离分家万事休。隔离分家万事休。华罗庚华罗庚 数形结合思想方法的理解数形结合思想方法的理解 数和形是数学的两大支柱，数形结合思想数和形是数学的两大支柱，数形结合思想方法就是通过数与形（用数解形，以形助方法就是通过数与形（用数解形，以形助数）处理数学问题，这是由客观世界和数数）处理数学问题，这是由客观世界和数学本身决定，数形结合思想方法贯穿于整学本身决定，数形结合思想
3、方法贯穿于整个初中数学之中，集中体现为两个方面，个初中数学之中，集中体现为两个方面，一是对直观图形赋予代数意义，要求学生一是对直观图形赋予代数意义，要求学生能根据直观图形将实际问题抽象为数字问能根据直观图形将实际问题抽象为数字问题；二是对抽象的数学问题赋予直观图形题；二是对抽象的数学问题赋予直观图形的意义，以形助数。的意义，以形助数。抽象的数学语言抽象的数学语言 直观的图像直观的图像 代数问题代数问题 几何图形，几何图形，（用数解形，以形助数用数解形，以形助数）代数问题几何化，几何问题代数化。代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合的两个方面数形结合的两个方面1、等价性原则、等价性原则2、双向
4、性原则、双向性原则3、简单性原则、简单性原则4、直观性原则、直观性原则数形结合的原则数形结合的原则1、等价性原则、等价性原则 ：是指代数性质与几何性质的转换应该是是指代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则解题会出现漏洞，有时，等价的，否则解题会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整的表现由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时的图形性质只是一数的一般性，这时的图形性质只是一种直观而显浅的说明，但他同时也是种直观而显浅的说明，但他同时也是抽象而严格证明的诱导。抽象而严格证明的诱导。2、双向性原则：、双向性原则：就是既进行几何直观的分析，又就是既进行几何直观的分析，又进行代数抽象的
5、探索，两方面相辅进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，遇到问题进行几何分析或者相成，遇到问题进行几何分析或者仅对几何问题进行代数分析搜是一仅对几何问题进行代数分析搜是一种探针的误解。种探针的误解。3、简单性原则：简单性原则：让复杂问题简单化。找到解题思路让复杂问题简单化。找到解题思路后，至于用几何方法还是代数方法，后，至于用几何方法还是代数方法，后者兼用两种方法来叙述，取决于后者兼用两种方法来叙述，取决于哪种方法更加优美，更加简单，或哪种方法更加优美，更加简单，或者便于达到教学目的，而不是一种者便于达到教学目的，而不是一种理性的模式那样，代数问题用几何理性的模式那样，代数问题用几何方法，几何问题
6、用代数方法。方法，几何问题用代数方法。4、直观性原则：、直观性原则：以形助数时，能够通过直观分以形助数时，能够通过直观分析，将抽象的数学问题简单化，析，将抽象的数学问题简单化，具体化，直观化，问题理解起具体化，直观化，问题理解起来更加明了，深刻。来更加明了，深刻。数形结合的途径数形结合的途径1、通过转化：如通过分析数式的结构，将、通过转化：如通过分析数式的结构，将a0与距与距离互化，将面积离互化，将面积 （ab）与面积互化；将）与面积互化；将 与体积转化；将与体积转化；将 与勾股定理沟通；将与勾股定理沟通；将 与三角形边沟通。与三角形边沟通。2a3a22ba cba2、通过平面直角坐标系。、通
7、过平面直角坐标系。3、通过构造。可以构造几何模型，构造函数或、通过构造。可以构造几何模型，构造函数或构造一个图形。构造一个图形。概念是思维的基础，也是思维的方式，一概念是思维的基础，也是思维的方式，一切的分析、推理、想象都要依据货运用概念，切的分析、推理、想象都要依据货运用概念，数学中的概念往往反映的数量关系，这种数量数学中的概念往往反映的数量关系，这种数量关系常用文字、符号表示，而图形也是一种语关系常用文字、符号表示，而图形也是一种语言，而且更简练，更直观的：言，而且更简练，更直观的：“图像语言图像语言”，运用图像语言对文字语言加以解释，一方面可运用图像语言对文字语言加以解释，一方面可渗透数
8、形结合的思想，另一方面渗透数形结合的思想，另一方面 又能帮助学又能帮助学生更好的理解概念。生更好的理解概念。一、在概念教学中，以形助数，渗透数形结合的思想概念教学中，以形助数，渗透数形结合的思想在数学教学中怎样渗透数形结合思想方法？在数学教学中怎样渗透数形结合思想方法？如如：用数轴的点表示数，用数轴上线段：用数轴的点表示数，用数轴上线段的长度表示数的绝对值；的长度表示数的绝对值；用图形表示有理数的四则运算；用图形表示有理数的四则运算；依靠图形来分析应用题中已知数与未依靠图形来分析应用题中已知数与未知数的关系；知数的关系；利用方程、函数来解决平面几何中的利用方程、函数来解决平面几何中的计算问题等
9、等。计算问题等等。例如：在二次函数教学中，二次函数图像的顶例如：在二次函数教学中，二次函数图像的顶点与函数最值问题的概念理解，就应该结合点与函数最值问题的概念理解，就应该结合函数的图像，当函数的图像，当a0时，函数图像有最低时，函数图像有最低点，因此函数有最小值，通过对比的叙述，点，因此函数有最小值，通过对比的叙述，使学生明确图像的顶点坐标，同时反映函数使学生明确图像的顶点坐标，同时反映函数的最值问题，也更深刻的理解了这两个概念的最值问题，也更深刻的理解了这两个概念的联系。的联系。（以形助数）（以形助数）1、函数、函数 的图象在第的图象在第_象限象限,在每一象限内，在每一象限内，y 随随x 的
10、增大而的增大而_.2、函数函数 的图象在第的图象在第_象限象限,在每一象限内，在每一象限内，y 随随x 的增大而的增大而_.3、对于函数、对于函数 ，当，当 x0时时,这部分图象在第这部分图象在第_象限象限,y随随x 的增大而的增大而_.一、三一、三二、四二、四一一减小减小增大增大减小减小y=12x减小减小三三y=20 xy=xy=-30 xxyxy（以形助数）（以形助数）1.函数函数 的图象上有三点的图象上有三点 （3,y1）,（1,y2）,（2,y3）,则函数值则函数值 y1、y2、y3的大小关系是的大小关系是_;xy2=xy0-3-1y2y1y32（以形助数）（以形助数）知识结构知识结构
11、K性质性质应用应用 下节课继续问题探究下节课继续问题探究图象图象1、双曲线、双曲线 （原点对称）（原点对称）2、位置、位置3、增减性、增减性4、与两坐标、与两坐标轴不相交轴不相交描点法描点法列表列表描点描点连线连线体会体会事物事物之间之间是有是有区别区别但又但又紧密紧密联系联系的的待定系数法待定系数法设设找找列列解解答答与正比例函数与正比例函数 联系与区别联系与区别 运用描点法熟练、准确地作出函数的图像，运用描点法熟练、准确地作出函数的图像，只有认识函数的图像，才能进一步，分析函只有认识函数的图像，才能进一步，分析函数的图像，特征，逐步分析出函数的性质，数的图像，特征，逐步分析出函数的性质，不
12、仅使学生掌握了一定的画图，技巧，也加不仅使学生掌握了一定的画图，技巧，也加强了数形结合思想的渗透。强了数形结合思想的渗透。二、加强作图训练，在作图能力的培养渗透数二、加强作图训练，在作图能力的培养渗透数性结合的思想。性结合的思想。如图，形如量角器的半圆如图，形如量角器的半圆O的直径的直径DE=12cm，形如三角板的，形如三角板的ABC中，中，ACB=90，ABC=30，BC=12cm。半圆。半圆O以以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在始终在直线直线BC上。设运动时间为上。设运动时间为t(s)，当，当t=0s时，半圆时，半圆O在在ABC
13、的的左侧，左侧，OC=8cm。（1）当）当t为何值时，为何值时，ABC的一边所在直线与半圆的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？所在的圆相切？（2）当）当ABC的一边所在直线与半圆的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半所在的圆相切时，如果半圆圆O与直线与直线DE围成的区域与围成的区域与ABC三边围成的区域有重叠部分，三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。求重叠部分的面积。OADCBE（以形助数）（以形助数）(07南充市南充市)如图，点如图，点M（4，0），以点），以点M为圆心、为圆心、2为为半径的圆与半径的圆与x轴交于点轴交于点A、B已知抛物线过点已知抛物线过点A和和B，与，与y轴交
14、于点轴交于点C（1）求点）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象的坐标，并画出抛物线的大致图象（2）点）点Q（8，m）在抛物线上，点）在抛物线上，点P为此抛物线为此抛物线对称轴上一个动点，求对称轴上一个动点，求PQPB的最小值的最小值（3）CE是过点是过点C的的 M的切线，点的切线，点E是切点，求是切点，求OE所在直线的解析式所在直线的解析式CAMBxyODE（以形助数）（以形助数）已知正方形，已知正方形，（）如图（），是上一点，过上一点作的垂线，交于（）如图（），是上一点，过上一点作的垂线，交于点，交于，求证：；点，交于，求证：；（）如图（），过正方形内任意一点作两条互相垂直的直线，分别（）如
15、图（），过正方形内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交、于点、，交、于点、，与相等吗？请写交、于点、，交、于点、，与相等吗？请写出你的结论；出你的结论；（）当点在正方形的边上或外部时，过点作两条互相垂直的直线，（）当点在正方形的边上或外部时，过点作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图（）所示，过正方形外一点作互相垂直的两条直线形如图（）所示，过正方形外一点作互相垂直的两条直线m、n,m与、的延长线分别交于点、，与、的延长线分别交于点、，n与、的延长线分别交于点与、的
16、延长线分别交于点、，试就该图对你的结论加以真们证明。、，试就该图对你的结论加以真们证明。nmE(1)(2)(3)（以形助数）（以形助数）三、加强识图训练，在识图能力的培养中渗透三、加强识图训练，在识图能力的培养中渗透数形结合的理解数形结合的理解3、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于相交于A、B两点，两点，（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值。）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值。（以形助数）（以形助数）（以数解形）以数解形）在
17、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距在很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道你知道 这个三角形是什么形状吗这个三角形是什么形状吗？并说明理由？并说明理由.解解:这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形.理由理由:设两个结的距离为设两个结的距离为a,则三边则三边分别为分别为3a,4a,5a.。aaa三角形是直角三角形=222)5()4()3(四、以数解形，培养数形结合思想四、以数解形，培养数形结合思想 在等边ABC中，中，P、Q、R分别在分别在AB、BC、CA求证：求证：PQR 是等边三角
18、形。是等边三角形。,ABRPACQRBCPQ21=CQCRBPBQARAP CRABQP解：设等边解：设等边ABC的边长为的边长为a，AP=x,bq=y,CR=z,有三角形相似，推出：有三角形相似，推出：即即yxzxayzx=2021=020202zyayxayza3azyx=（以数解形）（以数解形）已知已知ABC的三边长为的三边长为a、b、c，且满足，且满足试判定试判定ABC的形状。的形状。0222222=acbcabcba（以数解形）以数解形）“数形结合数形结合”既是一种思想，又是一种方既是一种思想，又是一种方法，其实质是把抽象的数学语言与形象的图法，其实质是把抽象的数学语言与形象的图形结
19、合起来，发挥形象图形的辅助作用，完形结合起来，发挥形象图形的辅助作用，完成抽象概念与形象图像的互相转化，化难为成抽象概念与形象图像的互相转化，化难为易，化抽象为具体。易，化抽象为具体。五、引导学生运用数形结合的思想综合分析问五、引导学生运用数形结合的思想综合分析问题、解决问题。题、解决问题。1、方程、方程 的正根的个数为的正根的个数为_;2、如图，地面上有不在同一直线上的、如图，地面上有不在同一直线上的A、B、C三点，一只青蛙三点，一只青蛙位于地面异于位于地面异于A、B、C的的P点，第一步青蛙从点，第一步青蛙从P跳到跳到P关于关于A的对称点的对称点P1，第二步从，第二步从P1跳到跳到P1关于关
20、于B的对称点的对称点P2，第三步，第三步从从P2跳到跳到P2关于关于C的对称点的对称点P3，第四步从，第四步从P3跳到跳到P3关于关于A的的对称点对称点P4以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P（）（）ABPCA A4 B4 B5 C5 C6 6 D D8 8（以形助数）（以形助数）xx13=3、某游乐场每天的赢利额、某游乐场每天的赢利额y（元）与售出的门票（元）与售出的门票x（张）之间的函数关系如图所示（张）之间的函数关系如图所示.（1）当）当0 x200，且，且x为整数时，为整数时，y关于关于x的函数解析的函数解析式为式为 ；当当200 x300，且，且
21、x为整数时，为整数时，y关于关于x的函数解析的函数解析式为式为 .（2）要使游乐场一天的赢利超过）要使游乐场一天的赢利超过1000元，试问该天元，试问该天至少应售出多少张门票？至少应售出多少张门票？（3）请思考并解释图像与）请思考并解释图像与y轴交点（轴交点（0，1000）的）的实际意义实际意义.（4）根据图像，请你再提供）根据图像，请你再提供2条信息条信息.（以形助数）（以形助数）4 4、在数学活动中，小明为了求、在数学活动中，小明为了求 的值（结的值（结果用果用n n表示），设计如图表示），设计如图a a所示的图形。（所示的图形。（1 1）请你利用这个几何）请你利用这个几何图形求图形求 的
22、值（的值（2 2）请你利用图）请你利用图b b，再设计一，再设计一个能求个能求 的值的几何图形。的值的几何图形。（以形助数）（以形助数）5、如图，如果以正方形、如图，如果以正方形ABCD的对角线的对角线AC为边作第为边作第二个正方形二个正方形ACEF，再以对角线，再以对角线AE为边作第三个正为边作第三个正方形方形AEGH，如此下去，如此下去，已知正方形，已知正方形ABCD的的面积为面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次，按上述方法所作的正方形的面积依次为，为，.,（n为正整数），那么第为正整数），那么第8个正方形的面个正方形的面积积_。ABCDEFGHIJ图3（以形助数）（以形助数）6、（
23、、（07茂名市）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点茂名市）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行出发行驶驶（1）若甲车的速度是乙车的）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了相遇时乙车走了1小时求甲、乙两车的速度；小时求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶升汽油，每升汽油可以行驶10千米，千米，途中不能再油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返途中不能再油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点回到出
24、发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求，并求出甲车一共行驶了多少千米？出甲车一共行驶了多少千米？解：（解：（1）设甲，乙两车速度分别是）设甲，乙两车速度分别是x千米千米/时和时和y千米千米/时，时，根据题意得：根据题意得：解之得：解之得：即甲、乙两车速度分别是即甲、乙两车速度分别是120千米千米/时、时、60千米千米/时时（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点A行驶了行驶了x千米，千米，乙汽车行驶了乙汽车行驶了y千米，则千米，则 即即即甲、乙一起行驶到离即甲、乙一起行驶到离A点点500千米处，然后
25、甲向乙借油千米处，然后甲向乙借油50升，乙不再前进，升，乙不再前进，甲再前进甲再前进1000千米返回到乙停止处，再向乙借油千米返回到乙停止处，再向乙借油50升，最后一同返回升，最后一同返回到到A点，此时，甲车行驶了共点，此时，甲车行驶了共3000千米千米 甲行甲行500千米乙行千米乙行500千米甲再借油千米甲再借油50升返回甲借油升返回甲借油50升，甲行升，甲行1000千米千米200 10 2200 10 xyxy2200 10 3x3000 x方案二：（画图法）方案二：（画图法）如图如图此时，甲车行驶了此时，甲车行驶了 （千米）（千米）方案三：先把乙车的油均分方案三：先把乙车的油均分4份，每
26、份份，每份50升当甲乙一同前往，用了升当甲乙一同前往，用了50升升时，甲向乙借油时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返升油后返回，到乙停处又用了回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一升，一同返回到同返回到A点点此时，甲车行驶了此时，甲车行驶了 （千（千米）米）甲行甲行500千米千米乙行乙行500千米千米甲再借油甲再借油50升返回升返回甲借油甲借油50升，甲行升，甲行1000千米千米500 2 1000 23000=50 10 2 100 10 23000=（以形助数）（以形
27、助数）7、（2019常州）已知与是反比例函数图象上的两个点（1）求的值；（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由BC图1图2（以形助数）（以形助数）2、在教学中应循序渐进，持之以恒的原则，使学生养、在教学中应循序渐进，持之以恒的原则，使学生养成熟悉数形结合思想分析问题和解决的习惯。成熟悉数形结合思想分析问题和解决的习惯。六、渗透数形结合思想的解题时应注意：六、渗透数形结合思想的解题时应注意：3、在数形结合思想方法的培养上，应突出在、在数形结合思想方法的培养上，应突出在“形形”的的直观直观，抓住，抓住“形形”所具备的本质，理解一次函数，反所具备的本质，理解一次函数，反比例函数函数以及二次函数等知识与性质。比例函数函数以及二次函数等知识与性质。4、在平面直角坐标系中，注意把握线段的长度与点、在平面直角坐标系中，注意把握线段的长度与点的横坐标、纵坐标的区别于联系，正确进行数与形的的横坐标、纵坐标的区别于联系，正确进行数与形的相互转换，已达到解决问题的目的。相互转换，已达到解决问题的目的。1、教师要多学习，重视数形结合思想方法对学生、教师要多学习，重视数形结合思想方法对学生现在与未来学习数学的重要性。现在与未来学习数学的重要性。Thank you
