1、第五节第五节 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量一、无穷小量一、无穷小量二、无穷小量阶的比较二、无穷小量阶的比较三、无穷大量三、无穷大量四、渐近线四、渐近线1一、无穷小量一、无穷小量 极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小量无穷小量.定义定义1内内有有定定义义，的的某某邻邻域域在在点点设设)(00 xUxf ,0lim0 xfxx若若.0时的无穷小量时的无穷小量为为则称则称xxf0fx若若在在点点的的某某个个空空心心邻邻域域内内有有界界，则称则称 f 为为.0时的有界量时的有界量xx 2例如例如,0sinlim0 xxsin0.xx函数是当时的无穷小量,01lim xx.1时的无穷小时的
2、无穷小是当是当函数函数 xx,0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.32.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.Axfxx)(0,0,00恒有恒有时时使得当使得当 )(x即有即有0lim()0 xxx即，即，4意义意义1.1.将一
3、般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小););).(,)()(.20 xAxfxxf 误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数3.3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的有限个无穷小的代数和代数和(差、积）仍是无穷小差、积）仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1,.11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn5定理定理3 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小
4、.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0,0,0101MuxxM 恒有恒有时时使得当使得当则则,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx .0,0,0202Mxx 恒有恒有时时使得当使得当6推论推论1 1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,min21 取取恒有恒有时时则当则当,00 xx uuMM ,.,0为无穷小为无穷小时时当当 uxxxxxxx1arctan,1
5、sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小7二、无穷小的比较二、无穷小的比较 例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比.,0,1 xx1sinlim0.不存在不存在8);(,0lim)1(o记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(l
6、im)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 CC;,1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地9常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x,1lim ,0lim ),(o即即).(o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx .21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 10定理定理4(4(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存在存在且且设设证证 lim)lim(limlimlim.lim 11例例3 3 .cos1
7、2tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式.8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意12例例4 4 .2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式.0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 13三、无穷大三、无穷大 定义定义 2 2 如果对于任意给
8、定的正数如果对于任意给定的正数M(不论它多么不论它多么大大),),总存在正数总存在正数(或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx(或或 xX)的一切的一切x,所对应的函数所对应的函数值值)(xf都满足不等式都满足不等式 Mxf)(,则称函数则称函数)(xf当当0 xx(或或 x)时为无穷小时为无穷小,记作记作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.141.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。传统机械按键设计要点：1.合
9、理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留0.050.1mm，以防按键死键。3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防按键手感不良。传统机械按键结构层图：按键开关键PCBA特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意1.1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim.20认为极限存在认为极限存在勿将勿将 xfxx16xxy1
10、sin1.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx),3,2,1,0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充分大时充分大时当当),3,2,1,0(21)2(0 kkx取取,|,kxk充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，17.11lim1 xx证明证明例例证证.0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx11 xy18四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系 定理定理5 5 在
11、同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0,0,00 xfxx恒有恒有时时使得当使得当.)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx 19.0)(,0)(lim,0 xfxfxx且且设设反之反之,1)(0,0,00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx,0)(xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.20五、小结五、小
12、结 几点注意几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1 1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3 3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.21四、渐近线作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐在中学里我们已经知道双曲线的在中学里我们已经知道双曲线的标准方程为标准方程为,12222byax它的渐近线方程为它的渐近线
13、方程为.xabyxaby xaby 12222 byaxoxy近线问题近线问题.22下面给出渐近线的一般定义下面给出渐近线的一般定义.定义定义4 4 设设 L L 是一条直线是一条直线,若曲线若曲线 C C 上的动点上的动点 P P 沿沿曲线无限远离原点时曲线无限远离原点时,点点 P P 与与 L L 的距离趋于零，则的距离趋于零，则称直线称直线 L L 为曲线为曲线 C C 的一条渐近线的一条渐近线(如图如图).).bkxy PNML L)(xfy C CxyO23设斜渐近线设斜渐近线 L L 的方程为的方程为.bkxy 设曲线方程为设曲线方程为:().yf x如图，如图，.1)(|cos|
14、2kbkxxfPMPN 由渐近线的定义，由渐近线的定义，或或时时(x xx,即即时）时）,0,PN,01)(lim2 kbkxxfxbkxy PNML L)(xfy C CxyO24从而从而.)(limkxxfbx 又又xkxxfkxxfxx )(lim)(lim,0lim xbx所以，所以，.)(limxxfkx 斜渐近线：斜渐近线：的两个参数：的两个参数：,)(limxxfkx .)(limkxxfbx ykx b（负方向类同）（负方向类同）25满足满足若函数若函数)(xf )(lim0 xfxx则称则称 x=x0 是曲线是曲线 的的垂直渐近线垂直渐近线.)(xfy 定义：定义：,)(li
15、m)(lim(00 xfxfxxxx或或26例例9 求曲线求曲线3223 xxxy的渐近线的渐近线.)(lim,)(lim31 xfxfxx并且并且 f f(x x)在其他点处均有有限极限，所以求得在其他点处均有有限极限，所以求得垂垂.3,1 xx解解易见易见,)1)(3(3 xxx32)(23 xxxxf设设直渐近线为直渐近线为:27,1)1)(3(lim)(lim2 xxxxxfxx又又;1 k得得xxxxxxf 32)(23,323222 xxxx.2)(lim xxfbx得得于是求得斜渐近线方程为于是求得斜渐近线方程为（如如右右图图所所示示）.2 xy13 2 xyOxy1 x3 x28作业：1、2），6）2、2）4、3）29
