1、 【类型综述】 线段和差的最值问题，常见的有两类： 第一类问题是“两点之间，线段最短” 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是 “两点之间，线段最短”结合“垂线段最短” 【方法揭秘】 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对 称轴“反射镜面”（如图 2） 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值 就是第三边的长如图 3，PA 与
2、 PB 的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P 来源:163文库 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题 图 1 图 2 图 3 如图 4，正方形 ABCD 的边长为 4，AE 平分BAC 交 BC 于 E点 P 在 AE 上，点 Q 在 AB 上，那么BPQ 周长的最小值是多少呢？ 如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE 是河流，但是点 Q 不确定啊 第一步，应用“两点之间，线段最短”如图 5，设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F，那么此刻 PFPQ 的 最小值是线段 FQ 第二步，应用“垂线段最短”如图 6，在点 Q 运动过
3、程中，FQ 的最小值是垂线段 FH 这样，因为点 B 和河流是确定的，所以点 F 是确定的，于是垂线段 FH 也是确定的 图 4 图 5 图 6 【典例分析】 例 1 如图 1，二次函数 ya(x22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x 轴分别交于 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结 AD过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的式子表示 a； （2）求证： AD AE 为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴
4、上是否存在点 G，联结 GF，以线段 GF、AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在， 只要找出一个满足要求的点 G 即可， 并用含 m 的代 数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点 A、B、F 的坐标后，点 D 的坐标也可 以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的学#科网 2在计算的过程中，第（1）题的结论 2 1 a m 及其变形 2 1am 反复用到 3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4） ，因此过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的交点，就是要求的
5、点 G 满分解答 （1）将 C(0,3)代入 ya(x22mx3m2)，得33am2因此 2 1 a m 所以 am(x3m)1结合 2 1 a m ，于是得到 x4m 当 x4m 时，ya(xm)(x3m)5am25所以点 E 的坐标为(4m, 5) 所以 3 5 ADDD AEEE 图 2 图 3 （3）如图 3，由 E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)， 可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点 G 证明如下：作 FFx 轴于 F，那么 4 3 GFFF ADDD 因此 534 AEADG
6、F 所以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形 此时 GF4m所以 GO3m，点 G 的坐标为(3m, 0) 考点伸展 第（3）题中的点 G 的另一种情况，就是 GF 为直角三角形的斜边 此时 5334 AEADGF 因此34GFm 所以( 341)GOm此时(34 ,0)G mm学(2) 的最小值为.(3) 【解析】试题分析： （1）根据两种不同方法求面积公式求解； （2）作 关于的对称点 ，过 作的垂线， 垂足为 ， 求的长即可;(3) 连接， 则， 则点 的 轨迹为以 为圆心， 为半径的一段弧过 作的垂线，与 交于点 ，垂足为 ，由求得 GM的值，再由 求解即可. 学科网 试题解
7、析： （ ）从 到距离最小即为过 作的垂线，垂足为 ， ， ， （ ）作 关于的对称点 ，过 作的垂线，垂足为 ，且与交于 ， 则的最小值为的长， 设与交于 ，则， ，且， ， ， 来源:163文库 ， 即的最小值为 （ ）连接，则， ， ， 9问题提出：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90 ，CB=4，CA=6，C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP、BP，求 AP+ BP 的最小值 （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点 D，使 CD=1， 则有，又PCD=BCP，PCDBCP，PD= BP，AP+ BP=AP+PD 请你
8、完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP 的最小值为 （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP+BP 的最小值为 （3）拓展延伸：已知扇形 COD 中，COD=90 ，OC=6，OA=3，OB=5，点 P 是上一点，求 2PA+PB 的 最小值 【答案】 （1）； （2）； （3）13 【解析】 试题分析： （1）连结 AD，最短为 AD=； （2） 连接 CP， 在 CA 上取点 D， 使 CD ，则有 ， 可证PCDACP，得到 PD AP， 故 AP BPBPPD，从而 APBP 的最小值为 BD；学科PD DQ的最大值为 18. 【解析】 【分析】 （1）根据直线的
9、解析式求得直线 PQ与 x 轴所夹锐角的度数，根据抛物线过 O、A、B 三点可求得解析式； （2） 过点 C作 CHx轴交直线 PQ于点 H， 可得CHQ 是等腰三角形， 进而得出 ADPH， 得出 DQ=DH， 从而得出 PD+DQ=PH，过 P 点作 PMCH 于点 M，则PMH 是等腰直角三角形，得出 PH=PM，因为当 PM 最大时，PH最大，通过求得 PM 的最大值，从而求得 PH的最大值；学科!网 由可知：PD+PH6，设 PD=a，则 DQ6-a ，得出 PDDQa（6-a）=-a2+6a=-（a-3 ）2+18， 当点 P 在抛物线的顶点时，a=3，得出 PDDQ18 【详解】
10、 （1）对于直线 y=x+m， k=10， 直线 PQ与 x 轴所夹锐角的度数为 45 ， 抛物线抛物线经过点 O， 设抛物线的解析式为 y=ax +bx，把 A（4,0）B（1，-3）代入得 ，解得， 抛物线的解析式为 y=x -4x. 则PMH 为等腰直角三角形, PH=PM, 当 PM 最大时,PH最大, 当点 P 在抛物线顶点处时 PM 取最大值,此时 PM=6, PH的最大值为 6,即 PD+DQ 的最大值为 6; 由可知 PD+DQ6, 设 PD=a,则 DQ6-a. 设点 P 的坐标为(n,n -4n), 设 AC的解析式为 y=k x+b ， 将点 A和点 C的坐标代入得，解得
11、， 则直线 AC的解析式为 y=-x+4， 如图所示，延长 PM 交 AC于点 N， PD=a=PN=4-n-（n -4n）=- （n -3n-4）=- （n- ） + ， 又-0,0n0，可知 214 2 m 不符合题意 214 2 m 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线1 2 bxaxy交y轴于点A，交x轴正半轴于点)0 , 4(B，与过A 点的直线相交于另一点) 2 5 , 3(D，过点D作xDC 轴，垂足为C. （1）求抛物线的表达式； （2）点P在线段OC上（不与点O、C重合） ，过P作xPN 轴，交直线AD于M，交抛物线于点N， 连接CM，求PCM面积的最大值； （3）若P是x
12、轴正半轴上的一动点，设OP的长为，是否存在，使以点NDCM、为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.来源:学&科&网 Z&X&X&K 【答案】(1) 2 311 1 44 yxx ； （2）当 m= 1 2 时， 25 = 16 S最大 ； （3）当 9201 6 t 时，以点 NDCM、为顶点的四边形是平行四边形. 学科#网 【解析】 试题解析： （1）把点)0 , 4(B，) 2 5 , 3(D代入抛物线1 2 bxaxy可得， 01641 5 931 2 ab ab 解得， 3 4 11 4 a b 2 311 1 44 yxx ； （2） 2 311 1
13、44 yxx , A(0,1). 设直线 AD 的表达式为y=kx+b， 把 A(0,1)，) 2 5 , 3(D代入得， 1 5 3 2 b kb ，解得， 1 1 2 b b ， 1 1 2 yx 设 p xm （0m3） ， MP= 1 1 2 m ym ， 3 CD xx , PC=3 CP xxm , 1 11 (1)(3)(2)(3) 2 24 MCP Smmmm ， 二次函数的顶点坐标为（ 1 25 , 2 16 ） 即当 m= 1 2 时， 25 = 16 S最大 ； （3）存在. 方程无解； MN=CD= 5 2 , 2 395 442 tt， 解得 1 9201 6 t （舍去） ， 2 9201 6 t ；学科#网 综上所述，当 9201 6 t 时，以点NDCM、为顶点的四边形是平行四边形.
