1、 【典例分析】 例 1 如图，抛物线顶点 P（1，4） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于点 A，B 来源:163文库 （1）求抛物线的解析式 （2）Q 是抛物线上除点 P 外一点，BCQ 与BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标 （3）若 M，N 为抛物线上两个动点，分别过点 M，N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为 D，E是否存在 点 M，N 使四边形 MNED 为正方形？如果存在，求正方形 MNED 的边长；如果不存在，请说明理由 思路点拨 （1）设出抛物线顶点坐标，把 C 坐标代入求出即可； （2）由BCQ 与BCP 的面积相等，得到 PQ 与 BC 平行，过 P 作作
2、 PQBC，交抛物线于点 Q，如图 1 所示；设 G（1，2） ，可得 PG=GH=2，过 H 作直线 Q2Q3BC，交 x 轴于点 H，分别求出 Q 的坐标即可； （3）存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形，如图 2 所示，过 M 作 MFy 轴，过 N 作 NFx 轴，过 N 作 NHy 轴，则有MNF 与NEH 都为等腰直角三角形，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，设直线解析式为 y=-x+b， 与二次函数解析式联立， 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程， 利用根与系数关系表示出 NF2， 由MNF 为等腰直角三角形，得到 MN2=2NF2，若四边形 MNED 为正
3、方形，得到 NE2=MN2，求出 b 的值，进而确定 出 MN 的长，即为正方形边长学#科网 满分解答 （1）设 y=a（x1）2+4（a0） ， 把 C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即 a=1， 则抛物线解析式为 y=（x1）2+4=x2+2x+3； （2）由 B（3，0） ，C（0，3） ，得到直线 BC 解析式为 y=x+3， SOBC=SQBC， PQBC， 过 P 作 PQBC，交抛物线于点 Q，如图 1 所示， （3）存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形， 如图 2 所示，过 M 作 MFy 轴，过 N 作 NFx 轴，过 N 作 NHy 轴，则有MNF 与NE
4、H 都为等腰直 角三角形， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，设直线 MN 解析式为 y=x+b， 联立得：， 例 2 如图，已知抛物线与 轴分别交于原点 和点，与对称轴 交于点.矩形的 边在 轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点 ， .当矩形沿 轴正方向平移，点 ， 位于对称轴 的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为 ；点 ， 位于对称轴 的两侧时，连接 ，此时五边形的面积记为 .将点 与点 重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形 平移的长度为. （1）求出这条抛物线的表达式； （2）当时，求的值； （3）当矩形沿着 轴的正方向平移时，求 关于的函数表达式，并求出 为何值时， 有最
5、大 值，最大值是多少？ 思路点拨 （1）根据点 E、F 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）找出当 t=0 时，点 B、N 的坐标，进而可得出 OB、BN 的长度，再根据三角形的面积公式可求出 SOBN 的值；学（2） 2 1 2 2 yxx ;（3）9. 【解析】试题分析： （1）根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点OPA、 、三点的坐标； （2） 设抛物线 L 的解析式为 2 .yaxbxc结合点OPA、 、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解 析式； （3）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出 OAEOCE SS关 于m的函
6、数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论 (2)设抛物线 L 的解析式为 2 .yaxbxc 抛物线 L 经过 O、P、A 三点， 0 0164 242, c abc abc 解得： 1 2 2 0 a b c ， 抛物线 L 的解析式为 2 1 2 . 2 yxx (3)点 E 是正方形内的抛物线上的动点， 设点 E 的坐标为 2 1 ,2(04) 2 mmmm ， 2 2 11 4239 22 OAEOCEEE SSOA yOC xmmmm ， 当 m=3 时，OAE 与OCE 面积之和最大，最大值为 9. 8如图 1，在直角坐标系中，已知点 A（0，2） 、点 B（2，0） ，过点 B
7、和线 段 OA 的中点 C 作直线 BC，以线段 BC 为边向上作正方形 BCDE. （1）填空：点 D 的坐标为（ ） ，点 E 的坐标为（ ）. （2）若抛物线 2 yaxbxc(a0)经过 A、D、E 三点，求该抛物线的解析式 （3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线 BC 同时向上平移，直至正方形的顶点 E 落在 y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动. 在运动过程中，设正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 s，求 s 关于平移时间 t（秒）的函数关系式， 并写出相应自变量 t 的取值范围. 运动停止时，求抛物线的顶点坐标 【答案】解： （1）D（1，3） ，E（3，2） 。
8、 （2）抛物线经过（0，2） 、 （1，3） 、 （3，2） ，则 c2 abc3 9a3bc2 ，解得 1 a 2 1 b 3 c2 。 抛物线的解析式为 2 13 yxx2 22 （3）求出端点的时间： 当点 D 运动到 y 轴上时，如图 1，DD1= 1 2 DC= 1 2 BC = 5 2 ，t= 1 2 。 当点 B 运动到 y 轴上时，如图 2，BB1=BC= 5，t= 5 1 5 。 当点 E 运动到 y 轴上时，如图 2，EE1=EDDE1= 53 5+5 22 ，t= 3 2 。学科网 当 0t 1 2 时，如图 4，正方形落在 y 轴右侧部分的面积为CCF 的面积，设 DC
9、交 y 轴于点 F。 tanBCO= OB OC =2，BCO=FCC， tanFCC=2, 即 FC CC =2。 CC= 5t，FC=25t。 SCCF= 1 2 CCFC= 1 5 2 t2 5t=5 t2。 当 1 2 t1 时，如图 5，正方形落在 y 轴右侧部分的面积为直角梯形 CCDG 的面积，设 DE交 y 轴于点 G， 过 G 作 GHBC于 H。 GH=BC= 5，CH= 1 2 GH= 5 2 。 CC= 5t，HC= GD=5t 5 2 。 CC D G 155 S5t+ 5t5=5t 224 梯形 当 1t 3 2 时，如图 6，正方形落在 y 轴右侧部分的面积为五边
10、形 BCDMN 的面积，设 DE、EB分别交 y 轴于点 M、N。学*科网 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： 2 2 1 5t0t 2 5 1 s= 5tt1 4 2 253 5t +15t1t 42 。 当点 E 运动到点E时，运动停止，如图 7 所示。 CBE=BOC=90 ，BCO=BCE， BOCEBC。 OBBC BEE C 。 OB=2，BE=BC= 5， 25 E C5 。 CE= 5 2 。 OE=OC+CE=1+ 57 22 。E（0， 7 2 ） 。 由点 E（3，2）运动到点 E（0， 7 2 ）,可知整条抛物线向右平移了 3 个单位，向上平移了 3 2 个单位。
11、22 131325 yxx2(x) 22228 ，原抛物线顶点坐标为（ 325 28 ，） 运动停止时，抛物线的顶点坐标为（ 337 28 ，） 。 【解析】二次函数综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和 性质，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】 （1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点 D、点 E 的坐标： 由题意可知：OB=2，OC=1。 如图 8 所示，过 D 点作 DHy 轴于 H，过 E 点作 EGx 轴于 G。 易证CDHBCO，DH=OC=1，CH=OB=2，D（1，3） 。 同理EBGBCO，BG=OC=1，EG
12、=OB=2，E（3，2） 。 D（1，3） 、E（3，2） 。 （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式。 （3）为求 s 的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程正方形的平移，从开始到结束，总共 历时 3 2 秒，期间可以划分成三个阶段： 0t 1 2 ， 1 2 t1，1t 3 2 ，对照图形，对每个阶段的表达式求 解即可。学科网 当运动停止时，点 E 到达 y 轴，点 E（3，2）运动到点 E（0， 7 2 ） ，可知整条抛物线向右平移了 3 个 单位，向上平移了 3 2 个单位由此由平移前的抛物线顶点坐标推出平移后的抛物线顶点坐标。 9如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴
13、交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0） ，点 C 坐标 为（0，6） ，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标； （3）若点 P 是 x 轴上方抛物线上的动点，以 PB 为边作正方形 PBFG，随着点 P 的运动，正方形的大小、 位置也随着改变，当顶点 F 或 G 恰好落在 y 轴上时，请直接写出点 P 的横坐标 【答案】 （1）D（2，8） ； （2） （1， ）或（3， ） ； （3）点 P 的横坐标为 1+或
14、4 或 0 【解析】 【分析】 （1）由 B、C 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点 D 即可； （2）过 F 作 FGx 轴于点 G，可设出 F 点坐标，利用FBGBDE，由相似三角形的性质可得到关于 F 点坐标的方程，可求得 F 点的坐标； （3）设 P（m， m2+2m+6） ，有四种情况： 如图 2，当 G 在 y 轴上时，过 P 作 PQy 轴于 Q，作 PMx 轴于 M， 证明PQGPMB，则 PQ=PM，列方程可得 m 的值； 当 F 在 y 轴上时，如图 3，过 P 作 PMx 轴于 M，同理得结论； 当 F 在 y 轴上时，如图 4，此时 P 与 C 重合；
15、 当 G 在 y 轴上时，如图 5，过 P 作 PMx 轴于 M，作 PNy 轴于 N，列方程可得 m 的值 【详解】 （2）如图 1，过 F 作 FGx 轴于点 G， 设 F（x， x2+2x+6） ，则 FG=| x2+2x+6|， FBA=BDE，FGB=BED=90 ， FBGBDE， ， B（6，0） ，D（2，8） ， E（2，0） ，BE=4，DE=8，OB=6， BG=6x， ， 当点 F 在 x 轴上方时，有 6x=2（ +2x+6） ， 解得 x=1 或 x=6（舍去） ，学$科网 此时 F 点的坐标为（1， ） ； 当点 F 在 x 轴下方时，有 6x=2（ 2x6） ，
16、 解得 x=3 或 x=6（舍去） ， 此时 F 点的坐标为（3， ） ； 综上可知 F 点的坐标为（1， ）或（3， ） ； 当 F 在 y 轴上时，如图 3，过 P 作 PMx 轴于 M， 同理得：PMBBOF， OB=PM=6， 即 m2+2m+6=6， m1=0（舍） ，m2=4， P 的横坐标为 4， 当 F 在 y 轴上时，如图 4，此时 P 与 C 重合， 此时 P 的横坐标为 0， 综上所述，点 P 的横坐标为 1+ 或 4 或 0 【点睛】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形和全等三角形的判定和性质、正方形的性质、 方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意
17、待定系数法的应用，在（2）中构造三角形相似是解题的 关键，注意有两种情况，在（3）中确定出 P 的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难 度适中 10如图，已 知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形 ，过点 的抛物线与直线另一个交点为 （1）请直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在 x 轴上时停止设正方形落 在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间 的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过 的面积 【答案】 （1）（2
18、） (3)当时， 当时，S= 当时，S=(4) 【解析】 来源:Z&xx&k.Com （3）当点 A 运动到点 F 时， 当时，如图 1， ， ；2 分 当点 运动到轴上时，学科#网 当时，如图 2， ， ， ；（2 分） 当点 运动到轴上时， 当时，如图 3， ， ， ， ， ， =（2 分） （4）, （1 分） = =（1 分） 11如图，抛物线 y=ax2+bx（a0）过点 E（10，0） ，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左 边） ，点 C，D 在抛物线上设 A（t，0） ，当 t=2 时，AD=4 （1）求抛物线的函数表达式 （2）当 t 为何值时
19、，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G，H， 且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 【答案】 （1） 抛物线的函数表达式为 y= x2+ x； （2） 当 t=1 时， 矩形 ABCD 的周长有最大值， 最大值为； （3）抛物线向右平移的距离是 4 个单位 【解析】分析： （1）由点 E 的坐标设抛物线的交点式，再把点 D 的坐标（2，4）代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得 BE=OA=t，据此知 AB=10-2t，再由 x=t 时 AD=- t2+ t，根据矩形
20、的周长公式列 出函数解析式，配方成顶点式即可得；学科网 （3）由 t=2 得出点 A、B、C、D 及对角线交点 P 的坐标，由直线 GH 平分矩形的面积知直线 GH 必过点 P， 根据ABCD知线段OD平移后得到的线段是GH， 由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是OBD 中位线，据此可得 （2）由抛物线的对称性得 BE=OA=t， AB=10-2t， 当 x=t 时，AD=- t2+ t， 矩形 ABCD 的周长=2（AB+AD） =2（10-2t）+（- t2+ t） =- t2+t+20 =- （t-1）2+ ， - 0， 当 t=1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值为；
21、 （3）如图， 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质 及平移变换的性质等知识点 12如图，四边形 ABCO 为矩形，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且点 B 的坐标为（2,1） ，将此矩形绕点 O 逆时针旋转 90 得矩形 DEFO，抛物线 y=-x2+bx+c 过 B、E 两点. （1）求此抛物线的函数解析式. （2）将矩形 DEFO 向右平移，当点 E 的对应点 E在抛物线上时，求线段 DF 扫过的面积. （3）若将矩形 ABCO 向上平移 d 个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，求 d 的值. 【答案】 （1
22、）； （2）平行四边形 DDFF 的面积为； （3） 平移的距离或. 【解析】 【分析】 （1）直接利用待定系数法即可解决问题 （2） 由平移可知 DF 扫过的面积为平行四边形 DDFF 的面积.根据点 E 向右平移后的对应点 E在抛物线上， 可得 E的坐标，从而求出平移的距离即可求出面积。学*科网 （3）求出抛物线顶点坐标，点 B 坐标，即可解决问题 【详解】 由题意可知，点 E 的坐标为（-1,2）. 把（2,1） ， （-1,2）分别代入， 可得，解得. 此抛物线的解析式为. 如图，由平移可知 DF 扫过的面积为平行四边形 DDFF 的面积. 当点 E 向右平移后的对应点 E在抛物线上时
23、， 有，则，解得， E（） ， ， 平行四边形 DDFF 的面积为. 【点睛】 本题考查二次函数与几何变换，矩形的性质旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型学科网 13如图 1，平面直角坐标系中，点，OC=8，若抛物线平移后经过 C，D 两点，得到 图 1 中的抛物线 W （1）求抛物线 W 的表达式及抛物线 W 与 轴另一个交点 的坐标； （2）如图 2，以 OA，OC 为边作矩形 OABC，连结 OB，若矩形 OABC 从 O 点出发沿射线 OB 方向匀速运 动，速度为每秒 1 个单位得到矩形，求当点落在抛物线 W 上时矩形的运动时间； （3）在
24、（2）的条件下，如图 3，矩形从 O 点出发的同时，点 P 从出发沿矩形的边以每秒 个单位的速度匀速运动，当点 P 到达 时，矩形和点 P 同时停止运动，设运动时间为 秒 请用含 的代数式表示点 P 的坐标； 已知：点 P 在边上运动时所经过的路径是一条线段，求点 P 在边上运动多少秒时，点 D 到 CP 的 距离最大 【答案】 （1），6，0） ； （2）； （3）当时，当时， ； 【解析】 试题分析： （1）先得到 C 的坐标，再把 D、C 的坐标代入平移后的解析式即可，令 y=0，可以得到和 x 轴的 另一交点的坐标； （2）经过 t 秒后，点的坐标为：，将代入，即可求出落在抛物线上的时
25、间； （3） 设，分两种情况讨论：(I)当时，即点 P 在边上，(II)当时，即点 P 在 边上（不包含点） ， 当点 在运动时，可以求出点 P 所经过的路径所在函数解析式，还可以求出直线解析式 为：，得到 DCAP，从而有DCP 面积为定值当 CP 取得最小值时，点 D 到 CP 的距离最大， 即当 CPAP 时，CP 取得最小值 试题解析： （1）依题意得：，抛物线的解析式为：，另一交点为（6， 0） ； （2）依题意：在运动过程中，经过 t 秒后，点的坐标为：，将代入，舍去负值 得：，经过秒落在抛物线上； （3） 设， (I)当时，即点 P 在 边上，； (II)当时，即点 P 在 边上
26、（不包含点） ， ，学科!网 综上所述：当时，当时， 考点：二次函数综合题 14如图，将矩形 OABC 置于平面直角坐标系 xOy 中，A（2 3，0） ，C（0，2） （1）抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 B、C，求该抛物线的解析式； （2）将矩形 OABC 绕原点顺时针旋转一个角度 （0 90 ） ，在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1） 中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标； （3）如图（2） ，将矩形 OABC 绕原点顺时针旋转一个角度 （0 180 ） ，将得到矩形 OABC，设 AC 的中点为点 E，连接 CE，当 = 时，线段 CE 的长度最大，最大值为 【答案】 （
27、1）y=-x2+2 3x+2 （2）A（ 3，-3） C（3，1） （3）120 ，4 【解析】 试题分析： （1）首先根据矩形的性质以及 A、C 点的坐标确定点 B 的坐标，再利用待定系数法确定该抛物 线的解析式 （2）设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D，若矩形的顶点 恰好落在抛物线对称轴上时，该顶点、O、D 正 好构成一个直角三角形，由勾股定理即可确定这个顶点的坐标 （3）观察图示可知：当点 E 运动到 y 轴负半轴上时，CE 最长，找出了这个关键位置，解答问题就简单多 了 试题解析： （1）矩形 OABC，A（2 3，0） ，C（0，2） ，B（2 3，2） 抛物线的对称轴为 x=
28、3b=2 3 二次函数的解析式为：y=-x2+2 3x+2 （2）当顶点 A 落在对称轴上时，设点 A 的对应点为点 A，连接 OA， 设对称轴 x= 3与 x 轴交于点 D，OD=3 OA=OA=2 3 在 RtOAD 中，根据勾股定理 AD=3 A（3，-3） 当顶点落 C 对称轴上时（如图） ，设点 C 的对应点为点 C，连接 OC， 在 RtOCD 中，根据勾股定理 CD=1 C（3，1） （3）如图，设 AC、OB 的交点为 E； 在 RtOAB 中，OA=2 3，AB=2，BOA=30 ，OE=AB=2； 在 OE 旋转过程中，可将点 E 的轨迹看作是以 O 为圆心，以 OE 为半
29、径的圆（旋转角度：0 180 ） ； 由图可看出，当点 E 运动到 y 轴负半轴上时（即点 E的位置） ，CE 最长；学.科网 此时，旋转的角度：EOE=BOA+90 =30 +90 =120 ； CE 的最长值：CE=OC+OE=2+2=4； 考点：二次函数综合题 15如图，矩形的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（10，8） ，沿直线 OD 折叠矩形，使 点 A 正好落在 BC 上的 E 处，E 点坐标为（6，8） ，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、E 三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）求 AD 的长； （3）点 P 是抛物线对称轴上的一动点
30、，当PAD 的周长最小时，求点 P 的坐标 【答案】 （1）y=； （2）AD=5； （3） （5， ） 【解析】 试题分析： （1）利用矩形的性质和 B 点的坐标可求出 A 点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析 式； （2）设 AD=x，利用折叠的性质可知 DE=AD，在 RtBDE 中，利用勾股定理可得到关于 x 的方程，可 求得 AD 的长； （3）由于 O、A 两点关于对称轴对称，所以连接 OD，与对称轴的交点即为满足条件的点 P， 利用待定系数法可求得直线 OD 的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得 P 点坐标 （3）y=x2+x， 其对称轴为 x=5， A
31、、O 两点关于对称轴对称， PA=PO， 当 P、O、D 三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时PAD 的周长最小， 如图，连接 OD 交对称轴于点 P，则该点即为满足条件的点 P， 由（2）可知 D 点的坐标为（10，5） ， 设直线 OD 解析式为 y=kx，把 D 点坐标代入可得 5=10k，解得 k=， 直线 OD 解析式为 y=x， 令 x=5，可得 y=， P 点坐标为（5，） 考点：二次函数综合题 16如图，抛物线与 轴交于 ， 两点（点 在 轴的正半轴上） ，与 轴交于点 ，矩形 的一条边在线段上，顶点 ， 分别在线段，上 求点 ， ， 的坐标； 若点 的坐标为
32、，矩形的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并指出 的取值范围； 当矩形的面积 取最大值时， 求直线的解析式； 在射线上取一点 ，使，若点 恰好落在该抛物线上，则 _ 【答案】：,；：；. 【解析】 【分析】 (1)令 x0 求出抛物线与 x 轴的交点坐标，令 x0 求出抛物线与 y 轴交点坐标； (2)先表示出 BE，DE，用矩形的面积公式求解即可；(3)由(2)得到的矩形面积的函数关系式，面积最大时 求出 m，从而确定出 D，F 坐标，即可得出直线解析式；先确定出直线 DF 和抛物线的交点坐标，用比例 式求出 k. 学/科网 【详解】 (1)抛物线与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在 x
33、 轴的正半轴上)，令 y0，即 ， x4 或 x2，令，,； 由知， D(1,0)， F(2,2)， ， FMk DF， 过点 M 作 MHx 轴， 设则 ， 点 M 在抛物线上， ， ， ， ， ，,， ，故答案为. 【点睛】 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例定理，图象的交点坐标，求出矩形 DEFG 的面积的函数关系式是解决本题的关键. 17如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A、C 的坐标分别为（0，） 、 （2，0） ，将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45 得到矩形 OABC，边 AB与 y 轴交于点 D，经过坐标
34、原 点的抛物线 y=ax2+bx 同时经过点 A、C （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）写出点 B的坐标； （3） 点 P 是边 OC上一点， 过点 P 作 PQOC， 交抛物线位于 y 轴右侧部分于点 Q， 连接 OQ、 DQ， 设ODQ 的面积为 S，当直线 PQ 将矩形 OABC的面积分为 1：3 的两部分时，求 S 的值； （4）保持矩形 OABC不动，将矩形 OABC 沿射线 CO 方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设平移时间 为 t 秒（t0） 当矩形 OABC 与矩形 OABC重叠部分图形为轴对称多边形时，直接写出 t 的取值范围 【答案】 （1）抛物线的解析式为 y
35、= x2+ x； （2）B（1，3） ； （3）SODQ= 2 = （4）0t2 或 t= 或 21t2 时，矩形 OABC 与矩形 OABC重叠部分图形为轴对称多边形 【解析】 试题分析： （1）求出 A、C 两点坐标，把 A、C 两点坐标代入 y=ax2+bx 解方程组即可 （2）如图 1 中，连接 AC，OB交于点 E求出点 E 坐标，根据中点坐标公式即可解决问题 （3）分两种情形当 OP：PC=1：3 时，P（ ， ） ，求出直线 PQ 的解析式，利用方程组求出点 Q 坐标 即可当 OP：PC=3：1 时，P（ ， ） ，方法类似 （4）分别求出如图 3 中，当 AB 经过点 C时，如
36、图 4 中，当 OC=OA=时，如图 5 中，当点 A 在 直线 BC上时的时间 t，观察图象即可解决问题学科#网 试题解析： （1）如图 1 中， 由题意 A（1，1） ，C（2，2） ，把 A（1，1） ，C（2，2）代入 y=ax2+bx 得， 解得，学科/网 抛物线的解析式为 y= x2+ x （2）如图 1 中，连接 AC，OB交于点 E四边形 OABC是矩形， AE=EC，OE=EB，A（1，1） ，C（2，2） ，E（ ， ） ，B（1，3） （3）如图 2 中，直线 PQ 将矩形 OABC的面积分为 1：3 的两部分， OP：PC=1：3 或 OP：PC=3：1 （4）如图 3
37、 中，当 AB 经过点 C时，t=22， 如图 4 中，当 OC=OA=时，AB 与 BC交于点 M，连接 OM，则OMAOMC， 此时 t=OO=2=， 如图 5 中，当点 A 在直线 BC时上，t=OO=21 综上所述，观察图形可知 0t2 或 t=或 21t2时，矩形 OABC 与矩形 OABC重叠部分图 形为轴对称多边形 考点：二次函数综合题，考查矩形的性质、三角形的面积、中点坐标公式、平移变换。 18在直角坐标系中，点 A 是抛物线 yx2在第二象限上的点，连接 OA，过点 O 作 OBOA，交抛物线 于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC 1 2 (1)如图 1，当点 A
38、 的横坐标为 时，矩形 AOBC 是正方形； (2)如图 2，当点 A 的横坐标为时， 求点 B 的坐标； 将抛物线 yx2作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 yx2，试判断抛物线 yx2经过平移交换后， 能否经过 A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由 【答案】解：(1) 1。 (2) 过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F， 过点 C 作 CGBF 于点 G， AOEEAO90 ，FBOCBG90 ，EOAFBO， EAOCBG。 在AEO 和BGC 中，AEOG=900，EAOCBG,AO=BC， AEOBGC(AAS)。CGOE
39、 ，BGAE 。 xc2 ，yc4 。点 C()。 设过 A( ， )、B(2，4)两点的抛物线解析式为 yx2bxc，由题意得， ，得。学科网 经过 A、B 两点的抛物线解析式为 yx23x2。 当 x 时，y( )23 2，点 C 也在此抛物线上。 经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为 yx23x2(x )2。 平移方案：先将抛物线 yx2向右平移 个单位，再向上平移个单位得到抛物线 y(x )2。 【解析】 （1）如图，过点 A 作 ADx 轴于点 D， (2) 过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，先利用抛物线解析式求出 AE 的长度，然后 证明AEO
40、和OFB 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 OF 与 BF 的关系，然后利用点 B 在抛物 线上，设出点 B 的坐标代入抛物线解析式计算即可得解。 过点 C 作 CGBF 于点 G，可以证明AEO 和BGC 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CGOE， BGAE， 然后求出点 C 的坐标， 再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过 点 A、B 的抛物线解析式，把点 C 的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点 C，如果经 过点 C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可。 19如图，已知抛物线与直线交于点， 求抛物线的解析式
41、 点 是抛物线上 、 之间的一个动点，过点 分别作 轴、 轴的平行线与直线交于点 、 ，以、 为边构造矩形，设点 的坐标为，求 ， 之间的关系式 将射线绕原点逆时针旋转后与抛物线交于点 ，求 点的坐标 【答案】 ； 、 之间的关系式为； 点的坐标为 【解析】 【分析】 （1） 把点 A 的坐标代入一次函数解析式求得 a 的值； 然后把点 A 的坐标代入二次函数解析式来求 b 的值即 可； （2）根据点 D 的坐标，可得出点 E 的坐标，点 C 的坐标，继而确定点 B 的坐标，将点 B 的坐标代入抛物 线解析式可求出 m，n 之间的关系式； （3）如图 2，作POA=45 ，交抛物线与 P，过
42、P 作 PQOA 于 Q，过 P 作 PMx 轴于 M，过 Q 作 QN PM 于 N 交 y 轴于 R，构建全等三角形PNQQRO，结合全等三角形的对应边相等和二次函数图象上 点的坐标特征来求点 P 的坐标 【详解】 点在直线上， ， 解得：， 又点 是抛物线上的一点， 将点代入，可得， 抛物线解析式为； 如图 ，直线的解析式为：，点 的坐标为， 点 的坐标为，点 的坐标为， 点 的坐标为，学*科网 把点代入，可得， 、 之间的关系式为； 如图 ，作，交抛物线与 ，过 作于 ，过 作轴于 ，过 作于 交 轴于 ， 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，需要掌握矩形的性质、待定系数法求二次函数解
43、析式的知识，解答本题需要 同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系 20如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A(0，3)、C(1，0)将矩形 OABC 绕原点 O 顺时针 方向旋转 90o， 得到矩形 OABC 设直线 BB与 x 轴交于点 M、 与 y 轴交于点 N， 抛物线经过点 C、 M、 N 解 答下列问题： 来源:Z|xx|k.Com (1)求直线 BB的 函数解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上求出使 SPB C=S矩形OABC的所有点 P 的坐标 来源:学*科*网 Z*X*X*K 【答案】(1)解：四边形是矩形， 根据题意，得 设直线 BB的解析式为 把，代入得 解得 (2)由(1)得， 设二次函数解析式为，把代入得， 解得 二次函数解析式为 (3)， 又，点 到的距离为 9则 点的纵坐标为 10 或 抛物线的顶点坐标为()学科#网 P 的纵坐标是 10，不符合题意，舍去 【解析】 (1)根据题意可求得，,再通过待定系数法可求得直线 BB的 函数解析式, (2)先求出直线与 x 轴、y 轴的交点坐标 M、N,抛物线过 根据待定系数法即可求出二次函数解析式 (3)先求出 的面积,把看作底即可求出点 P 的纵坐标，然后带入二次函数解析式即可求出点 P 的坐 标。注意抛物线开口向下，有最高点，所以要舍去不合题意的值。
