1、定义定义1 1一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线4.5 曲线的渐近线与函数作图当 曲 线 上 一 点 沿 着 该 曲 线 离 坐 标 原 点 无 限远 移 时，如 果 该 点 与 某 一 直 线 的 距 离 趋 于零，则 该 直 线 为 曲 线 的 渐 近 线1yx22221xyab渐近线的种类：渐近线的种类：yb水 平 渐 近 线：xa垂直渐近线：0yaxba斜渐近线：()yf x问题：怎样求曲线的渐近线呢？定义定义2 21 1、水平渐近线、水平渐近线)x(f对于函数对于函数 ，若，若b)x(flimx b)x(flimx b)x(flimx 或或或或)x(fy 则称直线则称直线 为曲线为曲线
2、 的一条水平渐近线。的一条水平渐近线。by 22lim1,1xxx解解 122 xx)x(f例例1.求曲线求曲线的水平渐近线。的水平渐近线。122 xx)x(f例例1 求求 故故1 y是水平渐近线。是水平渐近线。arctan2yx求曲线的水例平渐近线.lim arctan2lim arctan2xxxx 解arctan22yyyx，都是曲线的水平渐近线.11yx求 曲 线的 水 平 渐 近 线.定义定义3 32 2、垂直渐近线、垂直渐近线)x(f对于函数对于函数 ，若，若 )x(flimax )x(flimax )x(flimax或或或或)x(fy 则称直线则称直线 为曲线为曲线 的一条垂直渐
3、近线。的一条垂直渐近线。ax 1221xxlimx解解所以所以1 x是垂直渐近线是垂直渐近线。1221xxlimx所以所以1 x是垂直渐近线。是垂直渐近线。122 xx)x(f例例3 求求 曲线曲线的垂直渐近线。的垂直渐近线。122 xx)x(f例例3ln(3)eyx求曲线垂直渐近线和水例2平渐近线.03lim ln(3),lim ln(3)exxeexx 解0ln(3)3eexxyx，都是曲线的垂直渐近线.ln(3)(,0)(,)3eeyx函数的定义域为lim ln(3)ln 3xexln 3ln(3)eyyx是曲线的水平渐近线.15lnxeyx例：求曲线的垂直渐近线10limlnxxex解
4、”“1201lim1xxexx11limlnxxex又01xx和为该曲线的垂直渐近线(),lim()()0lim()()0lim()()0,0()xxxf xf xaxbf xaxbf xaxbyaxb ayf x对于函数若或或，则称直线为曲线的一条斜定义4渐近线,()lim,lim().xxf xabf xaxxxxx 且可改为，3 3、斜渐近线、斜渐近线为 什 么 呢？lim()()0()lim 0 xxf xaxbf xbxaxx由()lim0 xf xbaxx()limxfxax lim()()0lim()xxf xaxbbf xax再由21xyx求 曲 线 的例 7斜 渐 近 线.2
5、()limlim1(1)xxfxxaxxx 解1yx所 以是 曲 线 的 斜 渐 近 线.,(0),yaxba设 斜 渐 近 线 为则22lim()lim1limlim111xxxxxbfxaxaxxxxxxx 2221xyx例8 求曲线的渐近线222lim1xxx解 22y 为水平渐近线2212lim1xxx又2212lim1xxx1x 为垂直渐近线无斜渐近线2211xxeye求 曲 线 例 9的 渐 近 线.解221lim1,11xxxeye 为水平渐近线.22001lim,01xxxxexe 是函数的间断点且为垂直渐近线22()1limlim0(1)xxxxfxeaxxe 曲 线 无 斜
6、 渐 近 线.二、函数的作图二、函数的作图 用描点法作函数图形需要计算许多点,才能画出较精确的函数图形.当我们对函数曲线的性态有了全面了解之后,只需少数几个点就能画出较精确的函数图形.下页 (1)确定函数的定义域 (2)求函数的一阶和二阶导数,求出一阶、二阶导数为零的点,求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析,确定曲线的单调性和凹凸性 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点 (6)联结这些点画出函数的图形.v描绘函数图形的一般步骤 上页铃结束返回首页下页 例10 画出函数yx 3x 2x1的图形.解 (1)函数的定义域为(,).(2)f(
7、x)3x22x1(3x1)(x1),f(x)6x22(3x1).令f(x)0得x1/3,1 令f(x)0得x1/3.(3)曲线性态分析表 f(x)f(x)f(x)00032/27极大0极小16/27拐点 (4)特殊点的函数值 f(0)1,f(1)0,f(3/2)5/8.(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3,1)(1,)1x下页 描点联线画出图形.特殊点的函数值 f(0)1,f(1)0,f(3/2)5/8.)2732,31()2716,31()85,23(yx3x2x1 f(x)(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3,1)(1,)132/27极大0极小16/27拐点 x
8、下页 例10 画出函数yx 3x 2x1的图形.解 曲线性态分析表 解 (1)函数f(x)的定义域为(,),f(x)是偶函数,图形关于y 轴对称.例 2.作函数22121)(xexf的图形.例11 令f(x)0,得x0 令f(x)0,得x1和x1.(3)曲线性态分析表 极大21e21拐点(1,)1(0,1)0 x f(x)f(x)yf(x)的图形 00 (4)曲线有水平渐近线y0.(2)2212)(xexxf,2212)1)(1()(xexxxf.下页0.51 y0是曲线的水平渐近线.极大21e21拐点(1,)1(0,1)0 x yf(x)的图形 先作出区间(0,)内的图形,然后利用对称性作出
9、区间(,0)内的图形.下页 解 函数性态分析表例 2.作函数22121)(xexf的图形.例11 例 3.作函数2)3(361xxy的图形.例12 解 (1)函数的定义域为(,3)(3,).令f(x)0得x3,令f(x)0得x6.(3)曲线性态分析表(,3)(3,3)3(3,6)6(6,)x f(x)f(x)yf(x)的图形00 11/3拐点4极大 (4)曲线有铅直渐近线x3与水平渐近线y1.(5)特殊点的函数值 f(0)1,f(1)8,f(9)8,f(15)11/4.(2)3)3()3(36)(xxxf,4)3()6(72)(xxxf.下页63912-3-6-9-12-153-3(,3)(3
10、,3)3(3,6)6(6,)x yf(x)的图形 11/3拐点4极大 铅直渐近线为x3,水平渐近线为y1.f(0)1,f(1)8,f(9)8,f(15)11/4.y1x3(3,4)311,6(1,8)(9,8)411,15(结束例 3.作函数2)3(361xxy的图形.例12 解 函数性态分析表l三、利用函数的性态讨论方程f(x)=0的根l由于函数的性态（如连续性、单调性、极值等）反映了函数及其图形的基本特征，而从函数图形的特征可以确定函数f(x)的零点（即f(x)=0的根）分布状况，因此，函数的性态对于方程根的讨论具有很重要的作用l讨论方程f(x)=0的根的一般步骤：l（1）确定f(x)的定
11、义域及其连续性l（2）求f(x)的驻点和f(x)不存在点，并划发f(x)的单调区间l（3）求f(x)的极值（或最值）l（4）分析极值（或最值）与x轴的相对位置，确定f(x)的零点的大概位置及个数l例13：试讨论方程xe-x=a（a0）的实根l解：令F(x)=xe-x-alF(x)的定义域为了(-,+)，且在定义域内连续lF(x)=(1-x)e-x=0l得x=1l列表-0+F(x)F(x)(1,+)0(-,1)x极大值（e-1-a）l由x=1是F(x)的唯一极值点，因而也是F(x)的最大值点，也好f(1)=e-1-a为最大值，以下就F(1)=e-1-a与x轴的相对位置讨论F(x)的零点。l因为F
12、(x)在(-,1)内单调增加，且l又F(x)在(1,+)内单减减少，且l所以l（1）若F(1)=e-1-a0l即(1,e-1-a)位于x轴上方，由表所示，F(x)在(-,1)与x轴仅有一个交点，即，F(x)在(-,1)内仅有一个零点，另外，F(x)在(1,+)内与x轴仅有一个交点，即F(x)在(1,+)内仅有一个零点。l综上所述，当e-1-ae-1时，方程没有实根；当e-1-a=0时，即a=e-1时，方程有唯一实根x=1；当e-1-a0时，即a0）的实根的个数l解：令F(x)=a=sin3xcosxlF(x)=-3sin2xcos2x+sin4xl =-3sin2x(1-sin2x)+sin4xl =-3sin2x+3sin4x+sin4xl =-sin2x(3-4sin2x)l令F(x)=0得两个驻点x1=60，x2=120lF(x)=-sin2x 3-8sin2xlF(60)0，F(x)有极小值lF(120)0l当极小值小于零时，方程有两个解，当极小值等于零时，方程有唯一解。l当极小值大于零时，方程无解。l如图：3 3(60)16Fa极小值0yx3 3(120)16Fa极大值
