1、八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路可供选择，你会选地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短FEDCBA温故知新温故知新 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？处修建才能使所用引水管道最短？为什么？垂线段最短张村张村河流河流泵站泵站已知：如图，已知：如图，A A，B B在直线在直线L L的两侧，在的两侧，在L L上上求一点求一点P P，使得，使得PA+
2、PBPA+PB最小。最小。连接连接ABAB,线段线段ABAB与直线与直线L L的交点的交点P P，就是所求，就是所求ABlP为什么？前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线 段最短段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为等的问题，我们称它们为最短路径问最短路径问 题题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问将军饮马问题题”问题问题
3、1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？探索新知探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题
4、后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线抽象为一条直线 BAl（1）从从A 地出发，到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之
5、和；追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？BAl追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的点设上的点设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小（如图）的和最小（如图）lABCC如果点如果点
6、A、B在直线在直线l的的异侧时异侧时联想：联想：lABC思考：能把能把A、B两点从两点从直线直线 l 的的同侧转化为异侧吗？同侧转化为异侧吗？分析：分析：lABClABC如何将如何将B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度相等？的长度相等？BlA作法及思路分析作法及思路分析1.作点作点B关于直线关于直线 l 的对称点的对称点B，连接，连接CB。lABCB 2.由上步可知由上步可知AC+CB=AC+CB，思考：当思考：当C在在直线直线 l 的什么位置时的什么位置时AC+CB最最短？短？lABCBC根据前面的分析
7、，我们认为的根据前面的分析，我们认为的最短路径最短路径是是AC+CB=AC+C B=AB你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？证明：如图，在直线证明：如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC 在在ABC中，中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC+BC
8、，就说明，就说明AC+BC 最小最小 BlABCC证明证明AC+BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC+BC AC+BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？助什么解决问题的？BlABCC轴对称轴对称1、化同侧为异侧、化同侧为异侧2、化折为直、化折为直 两点之间两点之间,线段最短线段最短变式练习变式练习1 如图，如图，牧马人牧马人要把马要把马从马棚从马棚A牵牵到草地边吃草，到草地边吃草，然后到
9、河边饮水，最后再回到马棚然后到河边饮水，最后再回到马棚A.草 地小 河A问题：请你确定这一过程的最短路径问题：请你确定这一过程的最短路径.如图，在如图，在l1、l2之间有一点之间有一点A,要使要使AM+MN+NA最小最小,点点M、N应该应该在在 l1、l2的什么位置的什么位置?l1l2AMNAA转化为数学问题转化为数学问题l1l2走走A-M-N 路线最短路线最短.MNAAAABPQlMN变式练习变式练习2如图：某一天牧马人要从马棚如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草，牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天，请你帮他确定这一天的最短路线。的最短路线。l2l1PQABABl1l2问题问题1 归纳归纳lABClABCBlABC转化为数学问题转化为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题ABl
