1、淮北一中数学组第2节平面向量基本定理及其坐标表示知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】1.平面内任何两个向量都可以做为一组基底吗?提示:不能,共线的两个向量不可以.2.向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置是否有关?提示:无关.表示向量的有向线段可以自由平移,它的起点,终点随之变化,但此向量的坐标不变.提示:不能,因x2,y2有可能为0.知识梳理 1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数1、2,使a=.我们把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标表示(1)在平面直角
2、坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i、j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把实数对 叫作向量a的坐标,记作 .不共线1e1+2e2单位向量(x,y)a=(x,y)3.平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=;(2)若a=(x,y),则a=(x,y).4.(1)定理:若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例.(2)定理:若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.(x1x2,y1y2)夯基自测1.(2014高考福建卷)在下
3、列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()(A)e1=(0,0),e2=(1,2)(B)e1=(-1,2),e2=(5,-2)(C)e1=(3,5),e2=(6,10)(D)e1=(2,-3),e2=(-2,3)B解析:选项A中e1+e2=(,2)(,R),不存在使(,2)=(3,2),可排除选项A.选项C,D中e1e2,但与a不共线,则a不能由e1,e2表示,设(3,2)=x(-1,2)+y(5,-2)=(-x+5y,2x-2y)(x,yR),可得x=2,y=1,所以选项B中的e1,e2可把a表示出来.故选B.A 3.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=(
4、用a,b表示).答案:3a-b解析:中,由于a,b共线,不能作平面向量的基底,错误;正确;向量平移后不变,错误;当x2=0或y2=0时,不成立.答案:考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 平面向量基本定理及其应用反思归纳 (1)用基底表示平面上的其他向量,其方法是:先选择一组不共线的基底,通过向量的加、减、数乘运算,把其他相关的向量用这一组基底表示出来,有时还要利用向量相等建立方程组,解出某些相关的值.(2)要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二平面向量的坐标运算解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8
5、)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).反思归纳 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.平面向量共线的坐标表示考点三 高考扫描:2015新课标全国卷答案:(1)A答案:(2)C答案:(3)(-4,-2)反思归纳 (1)向量共线的两种表示形式设a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.备选例题 答案:16易混易错辨析 用心练就一双慧眼忽视平面向量基本定理的条件致误易错提醒:在平面向量基本定理中,一定要注意两个基向量不共线这一条件.本题在利用向量共线的充要条件列出等式后,易漏掉当a,b共线时,t可为任意实数这个解.谢谢！
