1、二、常用函数的麦克劳林公式二、常用函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算 第三章 问题的提出问题的提出在理论分析和近似计算中，常希望能用一个简单我们已经介绍了用线性函数（一次多项式）来近似0000()()()()()f xf xfxxxo xx的函数来近似的表示一个比较复杂的函数。表示函数的方法，)1ln(xy xy oxyxey xy 1oxy一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立思路思路:nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 提出问题
2、提出问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.以直代曲近似存在不足：寻找高次多项式函数P(x),使得)()(xPxf 误差)()()(xPxfxR 可估计。设 f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找出一个关于(x-x0)的n次多项式:来近似表达 f(x),误差 Rn(x)=f(x)-Pn(x)是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误差的具体表达式。0 x)(xfy oxy 假设的理由假设的理由)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在
3、点相交点相交0 x 分析分析:假设假设).()(,),()(0)(0)(00 xfxPxfxPnnnn ),()(00 xfxPn ),()(00 xfxPn),(00 xfa nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 ),(101xfa)(!202xfa ,)(!0)(xfannn ()()00()()0,1,2,kknPxfxkn由假设()01()(0,1,2,).!kkafxknk得()nP x代入中得 多项式系数的确定多项式系数的确定下面定理表明，上式多项式即为要找的n次多项式。)()(!)()(!2)()()()(00)(2000
4、00 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 证明证明:),()()(xPxfxRnn由只需证明只需证明nnxnR)(1()(0110)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn)(01之间与在xx0)(1()()()(1()(0101011nnnnnxnxRRxnR1022)(1()(nnxnnR)(102之间与在x),(00之间与也在之间与在xxxn)()(!1)()(010)1(之间与在xxxxnfxRnnn,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 则由上式得则由上式得注：注：称下式为 f(x
5、)按(x-x0)幂展开n次近似多项式 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称下式为 f(x)按(x-x0)幂展开 n 阶泰勒公式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(.)(!1)()(10)1(为拉格朗日余项其中nnnxxnfxR)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf 带佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 1n01n01)(nnxx1nMxxnfxR)(!)(!1)()()(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf 带拉氏余项的麦克劳林带拉氏余项的麦
6、克劳林(Maclaurin)公式公式)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林公式麦克劳林公式 带佩氏余项的麦克劳林带佩氏余项的麦克劳林(Maclaurin)公式公式解解xnexf)()1(注意到代入公式，得).10()!1(!2112 nxnxxnenxxxe由公式可知!212nxxxenx 估计误差)0(x设设).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR!1!2111,1nex取.)!1(3 n其误差其误差)!1(neRn二、常用函数的麦克劳林公式二、常用函数的麦克劳林公式,)()(xkexf),2,
7、1(1)0()(kfk解解.)!12()1(!5!3sin212153mmmRmxxxxx 其中).10()!12(2)12(sin)(122mmxmmxxR,sin,1xxm得近似公式取其误差)10(6|!3)23sin(332xxxR)sin(x)()(xfk2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,)1(1m),2,1(m!)2(2mxmxxfcos)(.备选例类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx)1()1()(.xxxf备选例)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1
8、(!)1()()1(nnxxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2 )1(!n)1()1(n)1()1ln()(.xxxf备选例已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1(1)1(nnnxxn)10(1)1(n类似可得)()(xfkkkxk)1(!)1()1(1),2,1(k 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(11
9、12nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差1!)1()(nnxnMxRM 为)()1(xfn在包含 0,x 的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n;2)已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差;3)已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围.)(xf)0(fxf)0(2!2)0(xf nnxnf!)0()(已知例例1.计算无理数 e 的近似值,使误差不超过.106解解:xe!)1(nxe1nx令 x=
10、1,得e)10(!)1(!1!2111nen)10(由于,30ee欲使)1(nR!)1(3n610由计算可知当 n=9 时上式成立,因此e!91!2111718281.2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为说明说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过,105.076总误差为6105.076106105这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过.106因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.e!91!2111例例2.用近似公式!21cos2xx计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围.解解:
11、近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005.0244x解得588.0 x即当588.0 x时,由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005.2.2.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例3.求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1(243x 2)(14321x!21)1(2121243)(x)(2xo用洛必塔法则用洛必塔法则不方便不方便 !2x用泰勒公式将分子展到项,11)1(!)1()()1(nnxxnnnx!n)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()10(x3421)1(243x220 limxx 原式原式)(2216921xox 3
12、29x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1(!)1()()1(nnxxnnnx!n)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()10(3.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4.证明).0(82112xxxx证证:21)1(1xx21x2)121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx)10(3225)1(161821xxxx)0(82112xxxx内容小结内容小结1.泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式.)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(
13、!)(00)()(xRn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx2.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式(P140 P142),xe,)1ln(x,sin x,cosx)1(x3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,xsin例如4224642024612!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近12!)12()1(9!917!715!51
14、3!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近思考与练习思考与练习 计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式作业作业 P143 1;4;5;7;8;10(1),(2)xy xysin 播放播放关于公式的理解关于公式的理解xy xysin 关于公式的理解关于公式的理解xy xysin!33xxy o关于公式的理解关于公式的理解xy xysin!33xxy o!5!353xxxy 关于公式的理解关于公式的理解xy xysin!33xxy !5!353xxxy !7!5!3753xxxxy o关于公式的理解关于公式的理解xysin!11!9!7!5!3119753xxxxxxy o关于公式的理解关于公式的理解播放播放
