1、直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系 教材分析 1 1 教学过程 3 3 课程资源开发利用 4 4 教学方法和学法 2 2 教学设计说明及教学评价 5 5 勾股定理是“几何大厦”的重要基石之一，它揭示了 直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起 来，为学生以后学习三角函数等知识打下基础，在生产 、生活中也有着广泛的应用。本节课渗透了数形结合、 转化、从特殊到一般等数学思想方法。教材中关于勾股 定理的多种验证及勾股定理的拓展等内容，都可供学生 探究与挖掘，是进行研究性学习，培养学生探究能力和 创新精神的极好素材。 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 （二）教学目标 1.知识与技能
2、一、教材分析 初步理解并验证勾股定理，掌握“直角三角形已知两边求第三边” 的方法，并能够解决简单的实际生活中的问题。 2.过程与方法 在定理的探索过程中，培养学生观察、分析、归纳的能力； 在定理的验证过程中，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推 理的能力； 在问题的解决过程中，培养学生理论联系实际的能力。 3.情感、态度与价值观 通过介绍中国古代勾股定理证明和应用方面的成就，激发学生热 爱祖国及其悠久文化的思想感情，同时培养学生的民族自豪感和钻研 精神。 1. 1. 教学重点：教学重点： 勾股定理的探索、验证。 2. 2. 教学难点：教学难点： 经历探索、验证勾股定理的过程，进一步 体会数形结合
3、的思想。 （三）教学重点与难点 一、教材分析 教材分析 1 1 教学过程 3 3 课程资源开发利用 4 4 教学方法和学法 2 2 教学设计说明及教学评价 5 5 教学方法 采用“引导探索法”，由浅入深，由特 殊到一般地提出问题，引导学生动手操作、 自主探索、合作交流。教学过程体现了“问 题情境-定理探索-定理验证-定 理应用”的全过程。 学法指导 采用自主探索、合作交流的学习方 式。通过观察、猜想、分析、归纳 等手 段去体验定理的探索过程，通过画图、 度量、拼图、计算等方式去验证定理， 注重合情推理与逻辑推理相结合，完成 整个探究活动。 教学手段 依托多媒体，利用几何画板、拼图演 示等多种形
4、式，让学生积极参与教学。 教材分析 1 1 教学过程 3 3 课程资源开发利用 4 4 教学方法和学法 2 2 教学设计说明及教学评价 5 5 三、教学流程设计三、教学流程设计 问题情境问题情境 定理探索定理探索 定理验证定理验证 问题回放问题回放 定理应用定理应用 介绍史事介绍史事 定理证明定理证明 反思提升反思提升 如图，冬泳队员在长江边A处发现江中B处有大学生 求救，他们没有直接从A处游向B，而是沿岸边自A处跑 到离B最近最近的C处，然后从C处游向B处。 （1）A、B两点之间的距离是多少？ （2）若冬泳队员在岸上行进的速度是5m/s，在江中 行进的速度是2m/s，请分析他们的选择合理吗？
5、 三、教学过程：三、教学过程： （一）问题情境（一）问题情境: : 把问题转化为直角 三角形中已知两边的长 度求第三边长度，让学 生带着这个问题进行下 一环节的自主探究。 A B C 300 m 400 m ？ （二）定理探索：动手、发现、猜想（二）定理探索：动手、发现、猜想 早在3000多年前，我国古代的商 高提出： “勾三股四弦五”。说的是在 一个直角三角形中，如果两条直角边 的长是3和4，那么斜边长是5。 三、教学过程：三、教学过程： 问题： 三边长度的平方之间存 在着什么等量关系？ 请同学们利用手中的三角尺来验证一下他的说法： 画 MCN=90，在该角的两边分别量取BC=3cm， AC
6、=4cm，连结AB，量出AB的长度。 M C N B A 勾 股 弦？ 周髀算经 勾 广 三 股 修 四 径 隅 五 学生会发现： 。 这里一些学生可能会提出这样的问题：是否只有边长为 3，4，5的直角三角形才存在这样的关系呢？ 分组探究（ 单号完成第1小题；双号完成第2小题 ） 请用上述方法验证你所发现的直角三角形三边长 度的平方的等量关系是否仍然成立？ 1. 画一个ABC，使得ACB=90， BC=6， AC=8，量出第三边的长度。 2. 画一个ABC，使得ACB=90， BC=5， AC=12，量出第三边的长度。 这时教师进一步引导：如果直角三角形的两直角边 的长分别为a、b，斜边长为c
7、 ，那么a、b、c之间是否 存在同样的关系？ 提出猜想: 学生会发现 ： 。 （1）观察特例发现新知 毕达哥拉斯（公元前572前497年） 古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家. 观察并思考：毕达哥拉斯发现了什么？ AB C 正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积。 等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 。 即 （三）定理验证：（三）定理验证：验证学生前面所猜想的结论。 AB C 猜一猜：等腰直角三角形有上述性质， 一般的直角三角形也有这个性质吗？ (如：图中直角三角形ABC) 正方形P的面积_； 正方形Q的面积_. 正方形R的面积_. 9 16 (2)深入探究交流归纳 （三）定
8、理验证（三）定理验证 （方格图中每个最小正方形的边长均为1 ） ? 引导学生通过对R图形用“割”或 “补”的方法进行计算。 演示 P Q =25 A B C “割”的方法： =4S直角三角形 R P Q R 72 25 A BC “补”的方法: S大正方形-4S直角三角形 猜一猜：等腰直角三角形有上述性质， 一般的直角三角形也有这个性质吗？ P的面积+Q的面积=R的面积 由学生通过计算发现 即AC2+BC2=AB2 正方形P的面积_； 正方形Q的面积_. 正方形R的面积_. 9 25 16 （2）深入探究交流归纳 （三）定理验证（三）定理验证 （方格图中每个最小正方形的边长均为1 ） 利用“几
9、何画板”作一个动态变化的直角三角形，进 一步验证前面的猜想。 （2）深入探究交流归纳 （三）定理验证（三）定理验证 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾 股 弦 概括： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b， 斜边长为c，那么一定有 。 大正方形面积 中间小正方形面积 四个全等的 直角三角形面积 （四）定理证明：（四）定理证明：拼图证明，加深理解 B A b a C 请同学用课前准备好的直角三角形纸片拼成 如下图案,观察并思考勾股定理的证明方法。 （五）问题回放（五）问题回放 从问题中来， 到问题中去。 三、教学过程：三、教学过程： A B C 300 m 400 m
10、 ？ 解： （1）在直角三角形ABC中， C=90，AC=400m，BC=300m， 由勾股定理得 （2） （六）勾股定理的由来和发展历史（六）勾股定理的由来和发展历史: : 三、教学过程：三、教学过程： 三国时期吴国数学家赵爽在为周髀算经作注解时 ，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对 勾股定理最早的证明。 2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国 古代数学成就。 希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330公元 前275）在巨著几何原本给出一个公理化的证明。 1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定 理上的
11、贡献，发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列 而成。 1. 在定理被证明之前，许多国家的人民就已经发现并 在实际生活中应用这个定理。 2. 勾股定理在国外不称为“勾股定理”，比如古希腊 称它为“毕达哥拉斯定理”或“毕氏定理”，但毕达 哥拉斯等人对这个定理的证明要比我国三国时期吴国的数学 家赵爽要晚500多年。 （六）勾股定理的由来和发展历史 （七）定理应用（课后练习）（七）定理应用（课后练习）: : 练习1：求下列各图中直角三角形的未知边x 。 9 9 1212 x x x x 2525 2424 A A水平水平-基础题基础题 ( (供全班同学完成供全班同学完成) ) 三、教学过程：三、教学过程
12、： B B水平水平-提高题提高题 （供学有余力的同学选做 ） 练习2： 1. 若矩形的面积是21 ，宽是3m，求它的对角线长 。 2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是厘米和 厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？ （八）反思提升（八）反思提升: : 三、教学过程：三、教学过程： 勾股定理如何用文字语言、几何语言进行描述？ 在探索勾股定理的过程中应用到哪些数学思想方法？ 从中获得哪些数学活动经验？ 通过本节课的学习，你对“勾股文化”有何理解？ 教材分析 1 1 教学过程 3 3 课程资源开发利用 4 4 教学方法和学法 2 2 教学设计说明及教学评价 5 5 四、课程资源开发利用四、课程资源
13、开发利用: : 资源一：勾股定理证明 证法一： 证法二：（美国第20任总统詹姆士的证法 ） （证法选粹） 课程资源开发利用课程资源开发利用 证法三：（意大利著名画家达芬奇的证法 ） 课程资源开发利用课程资源开发利用 证法四：（三国时代魏国的数学家刘徽“出入相补法”的证明 ） 课程资源开发利用课程资源开发利用 资源二： 勾股定理的拓展（书本P50习题14.1第4题的拓展） 教材分析 1 1 教学过程 3 3 课程资源开发利用 4 4 教学方法和学法 2 2 教学设计说明及教学评价 5 5 五、教学设计说明及教学评价 荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，学习数学唯一正确的 方法是实现再创造。数学课程标准指出：“动手操作、 自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。” 为此 我的教学设计主要基于以下几点： 1围绕课标要求，创造性地使用教材； 2让学生动手、动脑；体验问题探究的乐趣，培养学 生的创新精神； 3体现以学生为主体、教师为主导的地位； 4借助多种媒体进行有效辅助教学； 5充分开发与利用相关的课程资源。 谢谢指导！
