1、 - 1 - 2020 北京延庆区高三一模 数 学 2020.3 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将答题纸交回。 第一部分（选择题，共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1. 已知复数是正实数，则实数 的值为 A. B. C. D. 2. 已知向量若 与 方向相同，则 等于 A. B. C. D. 3. 下列函数中最小正周期为 的函数是 A. B. C. D. 4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是 A. B.
2、C. D. 5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为, ， 则它的表面积为 A. 8 B. 12 C. D. 20 6. 的展开式中，的系数是 A. 160 B. 80 C. 50 D. 10 7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点 逆时针旋转到点 ，设直线与 轴正半 - 2 - 轴所成的最小正角为 ，则等于 A. B. C. D. 8. 已知直线，平面，那么“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决 定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种
3、产品的年产量的增长率分别为 和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取 ） A. 6 年 B. 7 年 C. 8 年 D. 9 年 10. 已知双曲线的右焦点为 ，过原点 的直线与双曲线 交于两点，且 则的面积为 A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11. 已知集合,且则 的取值范围是 12. 经过点且与圆相切的直线的方程是 13. 已知函数则 14. 某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商 品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3
4、种，后两天都售出的商品有 4 种，则该 网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品至少有 种. 15. 在中，是边的中点.若，则的长等于 ；若，则的面积等于 . - 3 - 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.（本小题 14 分） 如图， 四棱锥的底面是正方形，是 的中点，平面， 是棱上的一点，平面. （）求证： 是的中点； （）求证：和所成角等于 17.（本小题 14 分） 已知数列是等差数列，是的前 项和， . （）判断是否是数列中的项，并说明理由； （）求的最值. 从 ，中任选一个，补充在上面的问题中并 作答. 注：如果选
5、择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 18. （本小题 14 分） 三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周 的上网时长，数据如下表（单位：小时） ： 班 班 班 - 4 - （）试估计 班的学生人数； （）从这 120 名学生中任选 1 名学生，估计这名学生一周上网时长超过 15 小时的概率； （）从 A 班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，从 B 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，求 这 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时的概率. 19. （本小题 14 分） 已知函数其中 （）当时，求曲线在原点处的切线方程； （）若函数在上存在最大
6、值和最小值，求 a 的取值范围. 20.（本小题 15 分） 已 知 椭 圆的 左 焦 点 为且 经 过 点 分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于 两点（点在第一象限） ，且与线段交于点. （）求椭圆的标准方程； （）若，求直线的方程； （）若的面积是的面积的倍，求直线的方程. - 5 - 21.（本小题 14 分） 在数列中， 若且则称为 “数列” 。 设为“数列” ，记的前 项和为 （）若，求的值； （）若，求的值； （）证明：中总有一项为或. - 6 - 2020 北京延庆区高三一模数学 参考答案 一、选择题一、选择题: : （每小题每小题 4 4 分，共分，共 1010 小题，共
7、小题，共 4040 分分. . 在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的） 1. C 2D 3D 4C 5. B 6B 7A 8. C 9. B 10. A 二二、填空填空题题: : （每小题每小题 5 5 分，共分，共 5 5 小题，共小题，共 2525 分分） 11(,3)； 12. 3 (2) 3 yx ； 13 13 2 ； 1416,29； 157,42. 10. 10. 考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率） ，考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率） ，平行四边形的定义和性质平行四边形的定
8、义和性质 （相邻内角互补） ，三角形的性质（余弦定理、面积公式）（相邻内角互补） ，三角形的性质（余弦定理、面积公式）. . 15. 在ACD中， sin2sin45 ACCD ，在 ABD中， sin1sin3 ABBD ， 相除得：相除得： 3 sin3 5 ， 所以 7 2 sinsin(453) 10 A ， 所以 1 sin42 2 ABC SAB ACA . 三、解答三、解答题： （题： （共共 6 6 小题，共小题，共 8585 分分. . 解答应写出文字说明、演算步骤解答应写出文字说明、演算步骤. .） - 7 - 16.（）联结AC，设AC与BD交于F，联结EF， 1 分 因
9、为 / /PA平面BDE， 平面PAC平面BDE=EF, 所以 /PAEF 4 分 因为 ABCD是正方形， 所以 F是AC的中点 所以 E是PC的中点 6 分 （） （法一）因为 PO平面ABCD， 所以 POBC 7 分 因为 ABCD是正方形， 所以 BCCD 因为 POCDO 所以 BC 平面PDC 10 分 所以 BCPD 因为 PDPC 因为 BCPCC 所以 PD 平面PBC 13 分 因为 BE 平面PBC 所以 PDBE 所以 PD与BE成90角. 14 分 （法二）连接OF， 因为 PO平面ABCD， 所以 POCD， POOF. 7 分 因为 ABCD是正方形， 所以 O
10、FCD. 所以 ,OF OC OP两两垂直. 以,OF OC OP分别为x、y、z建立空间直角坐标系Oxyz.8 分 则(0,0,2)P，(0, 2,0)D，(4,2,0)B，(0,1,1)E， 9 分 (0, 2, 2)PD ，( 3, 1,1)BE , 10 分 0 ( 3)( 2) ( 1)( 2) 1PD BE （1 分） 0 13 分 所以所以 PD与BE成90角. 14 分 17. 解：选 （）因为 108 16,10aa， 所以3d 2 分 - 8 - 所以 18 7102111aad 4 分 所以 1 (1)11 (1) 3 n aandn 314n 6 分 令 3142024
11、n，则32038n 此方程无正整数解 所以2024不是数列 n a中的项. 8 分 不能只看结果； 某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半； 只有结果，正确给 1 分. （） （法一）令0 n a ， 即 3140n，解得： 142 4 33 n 当5n 时，0, n a 当4n时，0, n a 11 分 当4n 时， n S的最小值为 4 11 85226S .13 分 n S无最大值 14 分 只给出最小值-26，未说明 n=4 扣 1 分. n S无最大值 1 分 （） （法二） 2 1 ()325 222 n n n aa Snn ， 251 4 266 b a 1
12、1 分 当4n 时， n S的最小值为 4 325 16426 22 S .13 分 n S无最大值 14 分 选 （） 108 16,8aa， 4d 2 分 18 782820aad 4 分 1 (1)20(1)4 n aandn 424n 6 分 令 4242024n，则42048n 解得512n - 9 - 2024是数列 n a中的第 512 项. 8 分 （）令0 n a ， 即 4240n，解得：6n 当6n 时，0, n a 当6n时，0, n a 当6n时，0, n a 11 分 当5n 或6n 时， n S的最小值为 56 20 16 12 8 460SS . 13 分 n
13、S无最大值 14 分 选 （） 108 16,20aa， 2d 2 分 18 720 1434aad 4 分 1 (1)34(1)( 2) n aandn 236n 6 分 令 2362024n，则994n （舍去） 2024不是数列 n a中的项. 8 分 （）令0 n a ， 即 2360n，解得：18n 当18n 时，0, n a 当18n 时，0, n a 当18n时，0, n a 11 分 当17n 或18n 时， n S的最大值为 1718 18(340) 306 2 SS . 13 分 n S无最小值. 14 分 18 （本小题满分 14 分） 解： （）由题意知，抽出的 20
14、名学生中，来自A班的学生有6名根据分层抽样 方法，A班的学生人数估计为 6 12036 20 3 分 - 10 - 只有结果 36 扣 1 分 （）设从选出的 20 名学生中任选 1 人，共有 20 种选法，4 分 设此人一周上网时长超过 15 小时为事件 D, 其中 D 包含的选法有 3+2+4=9 种， 6 分 9 () 20 P D. 7 分 由此估计从 120 名学生中任选 1 名，该生一周上网时长超过 15 小时的 概率为 9 20 . 8 分 只有结果 9 20 而无必要的文字说明和运算步骤，扣 2 分. （）设从A班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，其中恰有(12)ii 人一
15、周上网超 过 15 小时为事件 i E,从B班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人， 此人一周上网超过 15 小时 为事件F 则所求事件的概率为： 21111 35332 21 21 67 15 1811 () 15 735 C CC C C P E FE F C C . 14 分 （）另解：从 A 班的 6 人中随机选 2 人，有 2 6 C种选法，从 B 班的 7 人中随机选 1 人， 有 1 7 C种选法， 故选法总数为： 21 67 15 7105CC种 10 分 设事件“此 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时”为E， 则E中包含以下情况： （1）从 A 班选出的 2 人
16、超 15 小时，而 B 班选出的 1 人不超 15 小时， （2）从 A 班选出的 2 人中恰有 1 人超 15 小时，而 B 班选出的 1 人 超 15 小时， 11 分 所以 21111 35332 21 67 15 1811 ( ) 15 735 C CC C C P E C C . 14 分 只有 21111 35332 21 67 15 1811 ( ) 15 735 C CC C C P E C C ，而无文字说明，扣 1 分 有设或答，有 11 ( ) 35 P E ，给 3 分 - 11 - 19 （本小题满分 14 分） （）解： 22 2 ) 1( )1 (2 )(1 x
17、x xfa时，当. 切线的斜率2)0( fk； 0)0(f 曲线)(xfy 在原点处的切线方程为：xy2. 5 分 （） 22 22 ) 1( 2) 12() 1(2 )( x xaaxxa xf 2 2222 222221 () (1)(1) axaxaaxxa xx （）（） 7 分 （1）当时，0a0 1 00)( 21 a xaxxf； 则的变化情况如下表：随、xxfxf)()( ）上单调递减，）上单调递增，在（在（, 11 , 0)( aa xf 9 分 x 0 （0， a 1 ） a 1 （， a 1 ） )(x f 0 )(xf 1 2 a 递增 ) 1 ( a f 递减 法法
18、1 1： 2 ) 1 ()(a a fxf的最大值为 10 分 ,1)0()(0)( 2 恒成立）时，（存在最小值，则若afxfxxf 1 1 12 2 2 2 a x aax 即： xa a xaax 1 2 1 12 2 22 ）（在), 0( x恒成立， 0 2 1 2 a a . 1001, 0 2 aaa， 13 分 所以a的取值范围为 1 , 0(. 14 分 法法 2 2： 2 ) 1 ()(a a fxf的最大值为； 10 分 当 1 x a 时，22ax ， 22 2110axaa ， 0)(,xfx时； 即 1 , 0 a x时， 22 ( )1,f xaa； - 12 -
19、 ) 1 ， a x时， 2 ( )0f xa （ ， 01)0()( 2 afxf存在最小值，则若， 所以a的取值范围为 1 , 0(. 14 分 用趋近说：0)(,xfx时，论述不严谨，扣 1 分. （2）当时，0a0 1 00)( 21 a xaxxf；. 则的变化情况如下表：随、xxfxf)()( x 0 （0，a） a （ ，a） )(x f - 0 + )(xf 1 2 a 递减 )( af 递增 ）上单调递增，）上单调递减，在（在（, 0)(aaxf 法法 1 1：1)()(afxf的最小值为. 2 ( )0( )1,f xxf xa若存在最大值，则，）时，恒成立 2 2 2 2
20、1 1 1 axa a x 即： xa a xaax 1 2 1 12 2 22 ）（在), 0( x恒成立， 101, 0, 0 2 1 2 2 aaa a a ，. 综上：a的取值范围是 1 , 0( 1,（. 法法 2 2：1)()(afxf的最小值为； 当xa时， 2 22axa ， 22 2110axaa ， 0)(,xfx； （论述不严谨，扣 1 分） 即0,xa时， 1, 1)( 2 axf；)xa ，时，)0 , 1)(xf 01)0()( 2 afxf存在最大值，则若，1.a 综上：a的取值范围是 1 , 0( 1,（. 20 （本小题满分 15 分） 1 2 a y a x
21、 1 - 13 - 解： （）法一：依题意可得 22 222 2, 21 1, . c ab abc 解得 2 2 2. a b c ， ， （试根法） 所以椭圆的标准方程为 22 1 42 xy . 3 分 法二：设椭圆的右焦点为 1 F，则 1 |3CF ， 24,2aa， 2c ， 2b ， 所以椭圆的标准方程为 22 1 42 xy . 3 分 （）因为点Q在第一象限，所以直线l的斜率存在， 4 分 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx，设直线 l与该椭圆的交点 为 1122 ( ,),(,)P x yQ xy 由 22 24 ykx xy 可得 22 (1 2)40kx， 5
22、分 易知0 ，且 1212 2 4 0, 12 xxx x k ， 6 分 则 2222 1212121 2 ()()1()4PQxxyykxxx x 7 分 2 2 22 41 10443 1 21 2 k k kk ， 所以 2 714 , 22 kk (负舍)，所以直线l的方程为 14 2 yx. 8 分 用Q到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分， 设点 11 (,)Q x y，3,PQ 3 , 2 OQ 29 , 4 OQ 22 11 9 , 4 xy 又 22 11 24,xy 解得： 11 27 , 22 xy - 14 - 所以直线l的方程为 1 1 y yx x ，即
23、 14 2 yx. （）设(,) mm M xy， 00 ,Q xy，则 00 ,Pxy，易知 0 02x， 0 01y. 由 2,0A ，(0,2)B，所以直线AB的方程为220xy. 9 分 若使BOP的面积是BMQ的面积的 4 倍，只需使得 4OQMQ ， 10 分 法一：即 3 4 M Q x x . 11 分 设直线l的方程为ykx，由 + 220 ykx xy 得， 22 (,) 1212 k M kk 12 分 由 22 24 ykx xy 得， 22 22 (,) 1 21 2 k Q kk ， 13 分 代入可得 2 1418 270kk，即： 2 7 79 20 2 kk（
24、约分后求解） 解得 9 28 14 k ，所以 9 28 14 yx . 15 分 法二：所以 444 (,) 333 mm OQOMxy ，即 44 (,) 33 mm Qxy . 11 分 设直线l的方程为ykx，由 220 ykx xy 得， 22 (,) 1212 k M kk 12 分 所以 88 (,) 33 233 2 k Q kk ，因为点Q在椭圆G上，所以 22 00 1 42 xy ， 13 分 代入可得 2 1418 270kk，即： 2 7 79 20 2 kk 解得 9 28 14 k ， 所以 9 28 14 yx . 15 分 法三：所以 00 333 (,) 4
25、44 OMOQxy ，即 00 33 (,) 44 Mxy . 11 分 点M在线段AB上，所以 00 33 2 20 44 xy，整理得 00 8 2 3 xy ， 12 分 - 15 - 因为点Q在椭圆G上，所以 22 00 1 42 xy ， 把式代入式可得 2 00 912 270yy，解得 0 2 21 3 y . 13 分 于是 00 842 2 33 xy，所以， 0 0 9 28 14 y k x . 所以，所求直线l的方程为 9 28 14 yx . 15 分 21.解： （）当 1 10a 时， n a中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,， 所以 3 716
26、 n Sn. 3 分 （） 若 1 a是奇数，则 21 3aa是偶数， 21 3 3 22 aa a ， 由 3 17S ，得 1 11 3 (3)17 2 a aa ，解得 1 5a ，适合题意. 若 1 a是偶数，不妨设 * 1 2 ()ak kN，则 1 2 2 a ak. 若k是偶数，则 2 3 22 ak a ，由 3 17S ，得217 2 k kk，此方程无整数解； 若k是奇数，则 3 3ak，由 3 17S ，得2317kkk，此方程无整数解. 综上， 1 5a . 8 分 （）首先证明：一定存在某个 i a，使得6 i a成立. 否则，对每一个 * iN，都有6 i a ，则在 i a为奇数时，必有 2 3 2 i ii a aa ； 在 i a为偶数时，有 2 3 2 i ii a aa ，或 2 4 i ii a aa . 因此，若对每一个 * iN，都有6 i a ，则 135 ,a a a单调递减， 注意到 * n a N，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个 i a，使得6 i a成立. 经检验，当2 i a ，或4 i a ，或5 i a 时， n a中出现1； 当6 i a 时， n a中出现3， - 16 - 综上， n a中总有一项为1或3. 14 分
