1、概率论与数理统计（第四版）浙江大学 盛骤2022-11-261概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。23u第一章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间 1.3 概率和频率 1.4 等可能概型（古典概型）1.5 条件概率 1.6 独立性u第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数 2.4 连续型随机变量及其概率密度 2.5 随机变量的函数的分布u第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布 4u 第四章 随
2、机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 u 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布5u 第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 u 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.
3、2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归6u 第十章 随机过程及其统计描述 10.1 随机过程的概念 10.2 随机过程的统计描述 10.3 泊松过程及维纳过程 第十一章 马尔可夫链 11.1 马尔可夫过程及其概率分布 11.2 多步转移概率的确定 11.3 遍历性u 第十二章 平稳随机过程 12.1 平稳随机过程的概念 12.2 各态历经性 12.3 相关函数的性质 12.4 平稳过程的功率谱密度概 率 论第一章概率论的基本概念78关键词：样本空间 随机事件频率和概率条件概率事件的独立性第一章 概率论的基本概念91 随机试验v确定性现象：结果确定v不确定性现象：结
4、果不确定确定性现象不确定性现象确定不确定不确定自然界与社会生活中的两类现象例：向上抛出的物体会掉落到地上 明天天气状况 买了彩票会中奖10概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。随机试验。它具有以下特性：1.可以在相同条件下重复进行2.事先知道可能出现的结果3.进行试验前并不知道哪个试验结果会发生 例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；112 样本空间随机事件(一一)样本空间样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间样本空间，记为S=e，称S中的元
5、素e为基本事件基本事件或样本点样本点S=0,1,2,；S=正面，反面；S=(x,y)|T0yxT1；S=x|axb 记录一城市一日中发生交通事故次数 例：一枚硬币抛一次记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y 记录一批产品的寿命x12(二)随机事件随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。S0,1,2,；记 A至少有10人候车10,11,12,S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察89路公交车浙大站候车人数，如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件必然事件。为方便起见，记为不可能事件不可能事件，不包含任何
6、样本点。13(三)事件的关系及运算事件的关系及运算v事件的关系（包含、相等）例：记A=明天天晴，B=明天无雨记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面 2 ABABBA1 ABAB：事件 发生一定导致 发生BABABASAB14v 事件的运算|ABx xAxBAB或：与 至少有一发生。121121,ninininiAAAAAAAA：至 少 有 一 发 生：同 时 发 生SBASABSBAAB A与B的和事件，记为,AB A B AB A与B的积事件，记为|ABx xAxBAB且：与 同时发生。当AB=AB=时，称事件A A与B B不相容的，或
7、互斥的。15 v“和”、“交”关系式1211nniiniiAAA AA；1211nniiniiAAAAA；AB AB ABABABABSABASA|A BABx xAxB且,AASABSAAA BA BA A 的记为,逆事件互若,称逆、互斥 例：设A A=甲来听课，B B=乙来听课 ，则：甲、乙至少有一人来甲、乙都来甲、乙都不来甲、乙至少有一人不来163 频率与概率(一)频率 定义：记 其中 A发生的次数(频数)；n总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率频率。例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为某人一共听了17次“
8、概率统计”课，其中有15次迟到，记A=听课迟到，则#频率 反映了事件A发生的频繁程度。An()nAfAnn；()nfA1 n；()15 1788%nfA()nfA试验序号n=5n =50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.516
9、0.5240.494表表 1 1 例：抛硬币出现的正面的频率18实验者nnHfn(H)德摩根204810610.5181蒲 丰404020480.5069K皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊24000120190.5005表表 2 219*频率的性质：且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p()nfA121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSA AAfAfA。若,两两互不相容，则 20(二)概率 定义1：的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义2：将概率视为测度，且满足：称P(A)为事件A的概率概率。()nfA10()1P A。2()1P S。12113
10、,()()kkkiiiiA AAPAP A。若,两两互不相容，则 212()()()()()ABP BAP BP AP BP A，若则有 3 ()()()()P ABP AP BP AB概率的加法公式：1 ()1()P AP A性质：AAS()()1P AP A()0P BAAB()()()P BP AP AB()()()()0P BP AP ABP BA()()P BP A()ABABAB()()()P ABP AP BAB2()()()BABP BABP BP AB。又，由 知()()()()P ABP AP BP AB#3。的推广：1111121()()()()(1)()nniiijii
11、j ninijknij k nPAP AP A AP A A AP A AA ()0()1P AAP AAS 不能；不能；224 等可能概型（古典概型）定义：若试验E满足：1.S中样本点有限(有限性)2.出现每一样本点的概率相等(等可能性)AP AS所包含的样本点数中的样本点数称这种试验为等可能概型等可能概型(或古典概型或古典概型)。23例1：一袋中有8个球，编号为18，其中13 号为红球，48号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球，记A=摸到红球，求P(A)解：S=1,2,8 A=1,2,3 38P A24例2：从上例的袋中不放回的摸两球，记A=恰是一红一黄，求P(A)解：11
12、235815()/53.6%28P AC CC()/,0,1,kn knkDN DNP AC CCkn0LmC（注：当Lm或L0，i=1,2,n；则称：12nAASABABAB1()(|)(|)()(|)iiinjjjP B P A BP BAP B P A B()(|)()iiP B AP BAP AijABABij与不相容1()()(|)njjjP AP BP A B为全概率公式全概率公式1()()njjP AP AB1()(|)njjjP BP A BB1B2BnSA证明：证明：定理：接上定理条件，称此式为BayesBayes公式。公式。37*全概率公式可由以下框图表示：设 P(Bj)=
13、pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,n易知：11njjpSP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA 1|njjjP AP BP A B38例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。()0.80,(|)0.20,(|)0.90P AP B AP B A已知 1 ()()P BP ABAB()(|)()(|)P A P B AP A P B A0.8 0.2 0.2 0.9 34%()()1682 (|)()()()34 17P ABP AB
14、P A BPBP ABP ABABAB与不相容Bayes公式全概率公式()()P ABP AB解：设A=甲出差，B=乙出差39 例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症 则有：已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？(|)5%,(|)5%,P A CP A C()(|)()P ACP C AP A()(|)0.087()(|)()(|)P CP A CP C P A CP C P A C若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987说明这种试验方法可在医院用解：考察P(C|A)的值
15、若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。406 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,221278(|)()910P AAP A2128(|)()10P AAP A()0,()0P AP B不放回抽样时，放回抽样时，即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响定义：设A，B为两随机事件，若P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(A)*P(B)即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立相互独立。41 注意：,1A BA BA BA BP
16、ABP AP BP ABP AABP AP ABP AP BP A P B相互独立相互独立相互独立相互独立当时1212112,2,kjnkiiiijnA AAnknP A AAP AA AA定义：设为 个随机事件，若对 均有：则称相互独立1 两两独立不能相互独立2 实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，而是由实际情形来判断其独立性。42 例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被击中的概率。()()()()CABP CP AP BP AB则：，()0.70.80.560.94P C 解：设 A=甲击中,B=乙击中C=目标被击中 甲、乙同时射击，其结果
17、互不影响，A，B相互独立43 例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的 概率。,1,2,3,4 iAiiA解：设第 个元件运行正常系统运行正常1432注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同1234AAA AA则：1234,A A A A由题意知，相互独立231234()()()()P AP AP A AAp ppp32512314()()P AP A A AA Appp另解，对吗？44 1,2p p 例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？设各局胜负相互独立。,1,2,5iiAi
18、P Ap i解：设第 局甲胜A 再设甲胜 22121231231121P AP A AA A AA A Apppp 三局二胜制：22213121PPPPP 123452313233422 11P AP A A AAApCp pCppp 五局三胜制：前三次有一次输前四次有两次输21211,2 1,2pppppp当当45总结：1.2.;3.01;1 1 1 2AnSeASAB ABAB AB AnfAnP AP SABP ABP AP BP AP AABP AP 样本空间 随机事件事件的关系：事件的运算：频率：概率的定义：满足当时，概率的性质：当时 1211 3 =4.|,()(|)()()(|)
19、,(|)()(|)5.nniijjinjjjjBP ABP AP BP ABP ABP B AP ABP A P B AP AB BBSP B P A BP AP B P A BP BAP B P A B条件概率：当为 的一划分时，事件独立性46复习思考题复习思考题 1 1,3.,A BABABABABA BA BABABA BAB设 和 为两事件即“至少有一发生”事件 为“恰有一发生”事件与“同时发生”事件的和事件。此结论成立吗？1.“事件A不发生，则A=”,对吗？试举例证明之。2.“两事件A和B为互不相容，即AB=,则A和B互逆”，对吗？反之成立吗？试举例说明之。4.甲、乙两人同时猜一谜，
20、设A=甲猜中，B=乙猜中，则AB=甲、乙两人至少有1人猜中。若P(A)=0.7,P(B)=0.8,则“P(AB)=0.7+0.8=1.5”对吗？5.满足什么条件的试验问题称为古典概型问题？12 10,19 ,6.AAS SA ASAP A一口袋中有个球 其中有 个白球及 个红球。从中任意取一球 设取到白球则取到红球且设样本空间为中有两个样本点 而 是其中一个样本点问对吗？477.如何理解样本点是两两互不相容的？8.设A和B为两随机事件，试举例说明P(AB)=P(B|A)表示不同的意义。10.什么条件下称两事件A和B相互独立？什么条件下称n个事件A1,A2,An相互独立？11.设A和B为两事件，
21、且P(A)0,P(B)0,问A和B相互独立、A和B互不相容能否同时成立？试举例说明之。12.设A和B为两事件，且P(A)=a,P(B)=b,问：(1)当A和B独立时,P(AB)为何值？(2)当A和B互不相容时,P(AB)为何值？,0,|1|9.ABP AP B AP BP B AP B AP B A 设 和 为随机事件问是否成立？是否成立？4813.当满足什么条件时称事件组A1,A2,An为样为本空间 的一个划分？14.设A,B,C为三随机事件，当AB，且P(A)0,P(B)0时，P(C|A)+P(C|B)有意义吗？试举例说明。15.设A,B,C为三随机事件,且P(C)0,问P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否成立？若成立，与概率的加法公式比较之。2022-11-26课件待续!
