1、通识教育平台数学课程系列教材通识教育平台数学课程系列教材1 1了解二次型及其矩阵表示。了解二次型及其矩阵表示。2 2会用正交变换法化二次型为标准形。知道化二次型为标准形会用正交变换法化二次型为标准形。知道化二次型为标准形的配方法。的配方法。3 3知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。本章学习要求：本章学习要求：对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。二次型就是二次多项式二次型就是二次多项式.
2、在解析几何中讨论的有心二次曲线在解析几何中讨论的有心二次曲线,当中心与坐当中心与坐标原点重合时标原点重合时,其一般方程是其一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1)方程的左端就是方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式的一个二次齐次多项式.为了便于研究这个二次曲线的为了便于研究这个二次曲线的几何性质几何性质,通过基变换通过基变换(坐标变换坐标变换),把方程把方程(1)化为不含化为不含x,y混合项的标准方程混合项的标准方程 ax2+cy2=f (2)在二次曲面的研究中也有类似的问题在二次曲面的研究中也有类似的问题.考察：方程考察：方程172137210721322yxyx表示表示 x y
3、平面上一条怎样的曲线？图形如何？平面上一条怎样的曲线？图形如何？将将 x y 坐标系逆时针旋转坐标系逆时针旋转/4，即令，即令,2222,2222vuyvux则得此曲线在新的则得此曲线在新的 u v 坐标系下的方程坐标系下的方程.19422vu上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子中的交叉项，使之成为标准方程中的交叉项，使之成为标准方程.而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换.综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变换将一个二次齐次
4、多项式化为只含有平方项的二次多项换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项式式.二次型就是二次齐次多项式二次型就是二次齐次多项式.定义定义第七章 二次型与二次曲面二次齐次多项式二次齐次多项式f(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2 a13xz+2 a23yz称为称为 其中其中aij 为实常数为实常数.取取 a21=a12,a31=a13,a32=a23,从而从而,2a12xy=a12xy+a21yx,2a13xz=a13xz+a31zx,2a23yz=a23yz+a32zy.f =a11x2 +a12xy+a13xz +a21yx+a22y2+a23yz+a
5、31zx+a32zy+a33z2=x(a11x+a12y+a13z)+y(a21x+a22y+a23z)+z(a31x+a32y+a33z)第七章 二次型与二次曲面zayaxazayaxazayaxazyx333231232221131211),(zyxaaaaaaaaazyx ),(333231232221131211=XT AX.称称 A 为二次型为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵的矩阵，它是一个对称矩阵.三元实二三元实二 次型次型 f三阶实对称矩阵三阶实对称矩阵 A一一对应一一对应AX例 2第七章 二次型与二次曲面例 1.26252 222fAxzyzxyzyxf并并用用矩矩阵阵形形
6、式式表表示示的的矩矩阵阵写写出出A.531321111 ),(zyxzyxf125113311上一页例 2第七章 二次型与二次曲面上一页.42222yzxzxyyxzyxzyxf22122101211),(例 2若二次型若二次型 f 的矩阵为的矩阵为22122101211A试写出试写出 f.例 2第七章 二次型与二次曲面练习.3243 222fAyzxyzyxf并并用用矩矩阵阵形形式式表表示示的的矩矩阵阵写写出出A.42302331011),(zyxzyxf 13410232310上一页例 2第七章 二次型与二次曲面上一页.22232222xzxyzyxzyxzyxf302021211),(练
7、习若二次型若二次型 f 的矩阵为的矩阵为302021211A试写出试写出 f.定义定义1 1第七章 二次型与二次曲面称称 n 元实二次齐次式元实二次齐次式nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),(nnxxaxa22222222nnnxa为为 记记 aij=aji,则则 ninjjiijnxxaxxxf1121),()(1,njijiijxxa或或记记 X=(x1,x2,xn)T,A=(aij)n n,则则f(x1,x2,xn)=X TAX,其中其中 A 称为二次型的矩阵，称为二次型的矩阵，第七章 二次型与二次曲面 由于由于aij =aji,所以所以 A T=A,A中中 a
8、ii 是是 xi2 的系数的系数,aij 是交叉项是交叉项 xixj 系数的一半系数的一半.注注:n 元实二次型元实二次型 fn 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A一一对应一一对应定义定义2 2称只含平方项的二次型称只含平方项的二次型 为为niiixf12n 元标准二次型元标准二次型 fn 阶对角阶对角 矩矩 阵阵一一对应一一对应第七章 二次型与二次曲面二次型二次型 f =X TAX 经过满秩线性变换经过满秩线性变换 X=CY 后还是二次型吗后还是二次型吗?对于二次型对于二次型 f =X TAX，作满秩变换，作满秩变换 X=CY ,则则 f =X TAX=(CY)TA(CY)=Y T(C TAC)Y
9、 .而而 (C TAC)T =C TAT(C T)T=C TAC ,所以所以 f =Y T(C TAC)Y 仍是关于新变量仍是关于新变量 Y 的二次型的二次型,且二次型的矩阵为且二次型的矩阵为对称矩阵对称矩阵 B=C TAC.满秩变换满秩变换 X=CYf=X TAXF =Y TBY B =C TAC定义定义3 3第七章 二次型与二次曲面对于对于 n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A 和和 B，若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 P 使使P TAP=B则则，记作记作 A B因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的
10、的矩阵是合同的.上一页合同矩阵的性质：合同矩阵的性质：.,)3(;)2(;)1(CACBBAABBAAAXTAXYTBY经满秩的线性变换经满秩的线性变换 X=PYAB左乘以左乘以PT且右乘以且右乘以P定义定义如果满秩变换如果满秩变换 X=CY 将二次型将二次型 f =X TAX 化成了标准二次型化成了标准二次型,niiiy12niiiy12 则则称称 的一个的一个为为 f =X TAX上一页这样的矩阵这样的矩阵 C 是否存在？是否存在？定理定理1 1对任意的实二次型对任意的实二次型 f=XTAX,一定存在满秩一定存在满秩线性变换线性变换 X=CY,使二次型化为标准形使二次型化为标准形.推论推论
11、 1 1任意给定一个实对称矩阵任意给定一个实对称矩阵A,一定存在可逆矩阵一定存在可逆矩阵 C,使得使得 CTAC 为对角矩阵为对角矩阵.定义定义设设 是是 n 维欧氏空间维欧氏空间 Rn 上的线性变换，若对任意的上的线性变换，若对任意的 X,Y Rn,有有|(X)(Y)|=|X Y|,则称则称 为为 Rn 上的上的第七章 二次型与二次曲面定理定理设设 是欧氏空间是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四个条件等价上的线性变换，则下列四个条件等价(互为互为充分必要条件充分必要条件).(1)为正交变换为正交变换.(2)把把 Rn 的标准正交基变为标准正交基的标准正交基变为标准正交基.(3)|()|=
12、|,Rn(保持向量长度不变保持向量长度不变).(4)(X),(Y)=(X,Y)(保内积不变保内积不变).定义定义正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为第七章 二次型与二次曲面定理定理 A 是正交矩阵是正交矩阵 ATA=E(或或AAT=E).正交矩阵有如下性质：正交矩阵有如下性质：定理定理 定理定理 设设 A 是正交矩阵是正交矩阵，则，则(1)|A|=1.(2)A 1=AT.设设 A 是正交矩阵是正交矩阵 A 的列的列(行行)向量组为相互正交的向量组为相互正交的单位向量组单位向量组.定理定理 1 1实对称方阵的特征值都是实数实对称方阵的特征值都是实数 .证证
13、设设 是实对称方阵是实对称方阵 A 的特征值，的特征值，X 是对应的特征是对应的特征向量，即向量，即.0,XXAX 边边同同时时取取共共轭轭，则则得得到到的的向向量量，将将方方程程两两数数后后的的所所有有分分量量换换成成共共轭轭复复表表示示将将向向量量用用XX.0,XXXA 将上式两边同时转置，由将上式两边同时转置，由 A 的对称性，得的对称性，得.TTXAX 而而,)(XXXXAXXTTT 因此，因此，.,0)(为为实实数数即即 XXT定理定理 2 2实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交.证证设设 1,2 是实对称方阵是实对称方阵 A 的两
14、个不同的特征值，的两个不同的特征值，X1,X2 是对应的特征向量，即是对应的特征向量，即.,222111XAXXAX 因为因为 A 的对称性，得的对称性，得21212AXXXXTT 21)(XAXT211)(XXT,211XXT 从而，从而，,0)(2121XXT 因此，因此，.,02121正正交交即即XXXXT定理定理 3 3 若若 是是 n 阶实对称方阵阶实对称方阵 A 的的 k 重特征值，则重特征值，则 A 对应于对应于 的线性的线性无关特征向量的最大个数均为无关特征向量的最大个数均为 k.实对称方阵相似于一实对称方阵相似于一 个对角阵吗？个对角阵吗？回答是肯定的！回答是肯定的！单击单击
15、 此处此处 可查阅进一步内容可查阅进一步内容定理定理 4 4对于任一个对于任一个n 阶实对称方阵阶实对称方阵 A,必存在一个正交方阵必存在一个正交方阵 P 使使 PTAP 为对角形，且为对角形，且 PTAP 的对角线上的元素均为的对角线上的元素均为 A 的的 n 个特征个特征值值(重数计算在内重数计算在内),P 的列向量为相应于的列向量为相应于 n 个特征值的标准正交个特征值的标准正交特征向量特征向量.证证设实对称方阵设实对称方阵 A 的特征值为的特征值为n 21（重根计算在内），则由定理（重根计算在内），则由定理3 知，知，.21的的特特征征向向量量个个正正交交向向量量仍仍是是对对应应于于所
16、所得得的的量量，将将它它们们正正交交化化，个个线线性性无无关关的的实实特特征征向向恰恰有有，重重特特征征值值的的某某个个对对于于 kkkAkiii且且化化特特征征向向量量个个两两两两正正交交的的单单位位将将其其单单位位化化得得到到的的特特征征向向量量个个两两两两正正交交的的个个特特征征值值，可可得得到到因因此此，对对应应于于,.21nnnA ).,2,1(niAiii 为为正正交交矩矩阵阵，即即则则令令QQn),(21 .1 QQT记记n 21),(21nAAAAQ ),(2211nn nn 2121),(.QA从而，从而，.个个特特征征值值的的为为为为对对角角阵阵，且且对对角角元元恰恰nAA
17、QQT定理定理 5 5任意一个任意一个 n 元元实二次型实二次型AXXxxxfTn),(21,11 ninjjiijxxa都存在正交变换都存在正交变换 X =QY 使得使得其中其中 1,2,n 就是就是 A 的全部特征值的全部特征值,Q 的的 n 个列向量是个列向量是 A 的对应于特征值的对应于特征值 1,2,n 的标准正交特征向量的标准正交特征向量.,2222211nnTyyyAXXf 第七章 二次型与二次曲面例 1求正交矩阵求正交矩阵 Q 使使 QTAQ 成对角形矩阵，并求此成对角形矩阵，并求此对角形矩阵对角形矩阵.320230002A其中其中 320230002|AE=(2)(2 6 +
18、5)=0,A 的特征值为的特征值为 1=1,2=2,3=5.1=1 时时,由由(E A)X=0,即即,0220220001321xxx上一页第七章 二次型与二次曲面解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 1 =(0,1,1)T;2 =2 时时,由由(2E A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 2 =(1,0,0)T;3 =5 时时,由由(5E A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 3=(0,1,1)T.上一页将将 1,2,3 单位化，得单位化，得,)21,21,0(01T,)0,0,1(02T .)21,21,0(03T 故所求的正交变换矩阵为故所求的正交变换
19、矩阵为2121Q=021211000对对应应于于特特征征值值1 1对对应应于于特特征征值值2 2对对应应于于特特征征值值5 5且且.500020001Q TAQ=第七章 二次型与二次曲面上一页第七章 二次型与二次曲面1.写出二次型写出二次型 f 的矩阵的矩阵 A,并求并求 A 的全部特征值的全部特征值 1,2,n(重数重数计算在内计算在内).2.求出各特征值的特征向量；若求出各特征值的特征向量；若 i 是是 k 重根时，找出重根时，找出 i 的的 k 个线性个线性无关的特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化无关的特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化.步骤：步骤：3.将所得的将所得的 n
20、个正交向量再单位化，得个正交向量再单位化，得 n 个两两正交的单位向量个两两正交的单位向量 P1,P2,Pn,记记 P=P1,P2,Pn.则则 X=PY 为所求正交变换，为所求正交变换，f 的标准形为的标准形为.2222211nnyyyf 例 1求一个正交变换求一个正交变换 X=QY 化二次型化二次型434232413121222222xxxxxxxxxxxxf成标准形成标准形.二次型的矩阵二次型的矩阵,0111101111011110A 111111111111|EA).3()1(3 A 的特征值是的特征值是 1=2=3=1,4=-3.上一页对于对于 4=-3,111111111111111
21、1EA 从而可取特征向量从而可取特征向量 1=(1,1,0,0)T,2=(0,0,1,1)T 和和 3=(1,-1,1,-1)T.上一页对于对于 1=2=3=1,0000000000001111通过求齐次线性方程组通过求齐次线性方程组(A-E)X=0,得到其基础解系得到其基础解系并正交化并正交化:3111131111311113EA 0000110010101001从而可取特征向量从而可取特征向量4=(1,-1,-1,1)T.将上述相互正交的特征向量单位化，得将上述相互正交的特征向量单位化，得,)0,0,21,21(1T,)21,21,0,0(2T,)21,21,21,21(3T.)21,21
22、,21,21(4T 则在正交变换则在正交变换432143212121210212121021210212121021yyyyxxxx下，二次标准形为下，二次标准形为.324232221yyyyf第七章 二次型与二次曲面例 2求一个正交变换化二次型求一个正交变换化二次型32312123222184444xxxxxxxxxf成标准形成标准形.二次型的矩阵二次型的矩阵,442442221AA 的特征多项式为的特征多项式为442442221|EA).9(2A 的特征值是的特征值是 1=2=0,3=9.上一页第七章 二次型与二次曲面对于对于 1=2=0,442442221EA000000221从而可取特
23、征向量从而可取特征向量 p 1=(0,1,1)T及与及与 p1 正交的另一特征向量正交的另一特征向量 p2=(4,1,1)T.上一页对于对于 3=9,542452228EA,000990542取特征向量取特征向量 p3=(1,2,2)T.第七章 二次型与二次曲面将上述相互正交的特征向量单位化，得将上述相互正交的特征向量单位化，得,)21,21,0(1T,)231,231,234(2T,)32,32,31(3T 属于特征值属于特征值0属于特征值属于特征值9则存在正交变换则存在正交变换321321 32231213223121312340yyyxxx使二次型化为标准形使二次型化为标准形.923yf
24、 上一页练习第七章 二次型与二次曲面 已知二次型已知二次型)0(2332),(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换化成标准形通过正交变换化成标准形23222152yyyf求参数求参数 a 及及有所用的正交变换矩阵有所用的正交变换矩阵.二次型二次型 f 的矩阵的矩阵特征方程为特征方程为=(2)(2 6 +9 a2)=0,A 的特征值为的特征值为 1=1,2=2,3=5.3030002|aaAE,3030002aaA第七章 二次型与二次曲面将将 =1(或或 =5)代入特征方程，得代入特征方程，得a2 4=0,a=2.因因 a 0,故取故取 a=2.这时，这时，.32023000
25、2A 1=1 时时,由由(E A)X=0,即即,0220220001321xxx解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 1=(0,1,1)T,2=2 时时,由由(2E A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 2=(1,0,0)T,第七章 二次型与二次曲面 3=5时时,由由(5E A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 3=(0,1,1)T.将将 1,2,3 单位化，得单位化，得,)21,21,0(01T,)0,0,1(02T .)21,21,0(03T故所求的正交变换矩阵为故所求的正交变换矩阵为2121T=021211000上一页第七章 二次型与二次曲面练习已知二
26、次型已知二次型32312123222132166255),(xxxxxxcxxxxxxf的秩为的秩为 2,(1)求参数求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程指出方程 f(x1,x2,x3)=1 表示何种二次曲面表示何种二次曲面.(1)此二次型对应矩阵为此二次型对应矩阵为.33351315cA,30012035133351315ccA因因 r(A)=2,解得解得 c=3.第七章 二次型与二次曲面这时，这时，333351315|AE=(4)(9),故所求特征值为故所求特征值为 =0,=4,=9.(2)由上述特征值可知二次型由上述特征值可知二次型 f 通过变
27、换，可化为标准形为通过变换，可化为标准形为,942322yyf那么那么 f(x1,x2,x3)=1 表示椭圆柱面表示椭圆柱面.设设 X=(x,y,z)T，则三元二次型，则三元二次型 XTAX 可以看作空间向量可以看作空间向量的函数，其中的函数，其中在标在标准基准基1，2，3下的坐标就是下的坐标就是 X.作满秩线性变换作满秩线性变换 X=CY，所得新的二次型，所得新的二次型 YTCTACY 就是关于空间向量就是关于空间向量在另在另一组基一组基1，2，3下的坐标下的坐标 的的二二次次齐齐次次式式，且且TzyxY),(.),(),(321321C 1AXXT1YYT同一空间曲面在不同空间直角坐标系中
28、的方程同一空间曲面在不同空间直角坐标系中的方程第七章 二次型与二次曲面当当 n=1 时，二次型时，二次型已经是标准形已经是标准形.21111)(xaxf).,2,1,;(),(1121njiaaxxaxxxfjiijninjjiijn 定理定理1 1对任意的实二次型对任意的实二次型 f=XTAX,一定存在满秩一定存在满秩线性变换线性变换 X=CY,使二次型化为标准形使二次型化为标准形.假设对假设对n-1-1元的二次型，结论成立元的二次型，结论成立.考虑考虑n元二次型元二次型当上面的二次型的矩阵当上面的二次型的矩阵 A 为零矩阵时，结论成立为零矩阵时，结论成立.下面假定下面假定 A 不为不为零矩
29、阵零矩阵.分两种情形讨论：分两种情形讨论：A 的主对角元中至少有一个不为零，不妨设的主对角元中至少有一个不为零，不妨设a1111不为零不为零.这时这时 ninjjiijniiinjjjnxxaxxaxxaxaxxxf22211211211121),(ninjjiijnjjjnjjjxxaxaaxaaxa22221111221111111)()(,)(22221111111 ninjjiijnjjjxxbxaaxa其中，其中，ninjjiijnjjjninjjiijxxaxaaxxb2222111122)(令令 ,222111111nnnjjjxyxyxaaxy或或 ,222111111nnnj
30、jjyxyxyaayx显然上述变换为一个满秩的线性变换，将原二次型化为显然上述变换为一个满秩的线性变换，将原二次型化为.),(22211121 ninjjiijnyybyaxxxf由归纳假定，对于由归纳假定，对于n-1-1二次型二次型 ninjjiijyyb22存在满秩线性变换存在满秩线性变换,33223333232323232222nnnnnnnnnnycycyczycycyczycycycz使之成为标准形，即使之成为标准形，即.223322222nnninjjiijzdzdzdyyb 于是满秩的线性变换于是满秩的线性变换,33222323222211nnnnnnnnycycyczycycy
31、czyz将原二次型化为标准形，即将原二次型化为标准形，即.),(2222211121nnnzdzdzaxxxfA 的主对角元全为零的主对角元全为零.此时此时 A 中至少有一个元素中至少有一个元素 aijij （i j）不为零，不妨设不为零，不妨设 a1212 0.0.令令 ,33212211nnyxyxyyxyyx则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为nnnnnnnxxaxxaxxaxxxf1,111211221222),(nnnnnnyyayyyayyyya1,12112121122)(2)(2nnnnyyayaya1,122122112222这
32、时，上式右端关于变量这时，上式右端关于变量nyyy,21的二次型中的二次型中21y的系数不为零，故可视为情形的系数不为零，故可视为情形 I I 处理处理.定理得证定理得证.第七章 二次型与二次曲面例 1化二次型化二次型因为标准形因为标准形中只含有平方项中只含有平方项.因此逐个将变量因此逐个将变量配成一个完全平方的形配成一个完全平方的形式式.令令,22333223211xyxxyxxxy.72232221yyyf32312123222112446xxxxxxxxxf为标准形，并写出所作的满秩线性变换为标准形，并写出所作的满秩线性变换.)(432121xxxxf232232)(4)(4xxxx32
33、2322126xxxx2321)22(xxx322322452xxxx2323233222232152)2(2)22(xxxxxxxxx2323223217)(2)22(xxxxxx则则所作的满秩线性变换为所作的满秩线性变换为.,233322211yxyyxyyx练习用配方法化二次型用配方法化二次型.62262222为为标标准准形形yzxzxyzyxf第七章 二次型与二次曲面因因 f 中含有中含有 x 的平方项的平方项.可将含可将含 x 的项归到一起的项归到一起,配成一个完全平方配成一个完全平方的形式的形式.f =(x2+2xy+2xz)+2y2+6z2+6yz=(x2+2xy+2xz+2yz
34、+y2+z2)+(2y2 y2)+(6z2 z2)+(6yz 2yz)=(x +y+z)2+y2+5z2+4yz =(x+y+z)2+(y2+4yz)+5z2=(x+y+z)2+(y +2z)2 +z2 ,令令,2 zzzyyzyxx.222zyxf则则第七章 二次型与二次曲面例 2用配方法化用配方法化 f =2xy+2xz 6yz 为标准形为标准形.令令zzyxyyxxzyzxyxf8422 22代代入入得得2222282)242(zzyyzzxx22226)44(2)(2zzzyyzx,6)2(2)(222zzyzx再令再令 zzzyyzxx 2 .622 222zyxf 从从而而上一页练
35、习用配方法化二次型用配方法化二次型.2323121为为标标准准形形xxxxxxf令令33212211yxyyxyyx 代代入入配配方方得得32223121yyyyy3yf 322223231yyyy49y23y )(23232231y2y21yy23y )()(2323232231y49y41y21yy23y )()(33322311yzy21yzy23yz令令 33322311zyz21zyz23zy即即.232221z2zzf 就就有有所用变换矩阵为所用变换矩阵为 10011121110021102301100011011C第七章 二次型与二次曲面.21sPPPC设设 A 为为 n 阶实对
36、称矩阵，由第一节定理阶实对称矩阵，由第一节定理 1 知，存在可逆矩阵知，存在可逆矩阵 C,使得使得 CTAC 为对角阵，即为对角阵，即而可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积，即而可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积，即因此，因此，).,(21nTddddiagDACC定理定理 1 1对任意对任意实对称矩阵实对称矩阵 A,存在一系列初等矩阵存在一系列初等矩阵 P1，P2,Ps,使使).,(212112nSTTTsddddiagDPPAPPPP由于由于,1221TTTTssCEPPPCPPEP或或,DACCT说明，若矩阵说明，若矩阵 A 经过一系列合同变换经过一系列合同变换(进行初等列变换后再
37、进行同样的初进行初等列变换后再进行同样的初等行变换等行变换)化为对角矩阵化为对角矩阵 D,则单位矩阵则单位矩阵 E 经过相同的一系列列变换化为矩经过相同的一系列列变换化为矩阵阵 C.这样，我们就得到利用矩阵初等变换化二次型为标准形的方法，即这样，我们就得到利用矩阵初等变换化二次型为标准形的方法，即.或者，若矩阵或者，若矩阵 A 经过一系列合同变换经过一系列合同变换(进行初等列变换后再进行同样的初进行初等列变换后再进行同样的初等行变换等行变换)化为对角矩阵化为对角矩阵 D,则单位矩阵则单位矩阵 E 经过相同的一系列行变换化为经过相同的一系列行变换化为矩阵矩阵 CT.CDEA)(TCDEA例 3.
38、121221110,AACCCT为为对对角角阵阵，其其中中使使求求满满秩秩矩矩阵阵100010001121221110EA12101000110022313123231cccc 12101000110002303123231rrrr 111010031100073001312cc 111010031100070001312rr故当故当 时，可使时，可使 111010031C.100070001ACCT例 4化化为为标标准准形形使使二二次次型型求求满满秩秩线线性性变变换换323121232221822 ,xxxxxxxxxfCYX100141010411001111EA 101030011300
39、0011111312rrrr 1010300113000010011312cccc 10103011233000100132rr 10103011236000100132cc 2121023001123600010012123rr2121023001120600010012123cc所以，所以，,21210112001TC将将二二次次型型化化为为标标准准形形且且满满秩秩线线性性变变换换CYX.236232221yyyf第七章 二次型与二次曲面但是通过配方法将二次型但是通过配方法将二次型 f 化成标准形后化成标准形后,对应矩阵的秩不变对应矩阵的秩不变,即即二次型二次型 f 的秩就等于它的标准形的
40、秩的秩就等于它的标准形的秩,也就等于标准形中的项数也就等于标准形中的项数.配方法不能保持配方法不能保持 R3 中向量的长度中向量的长度,从而不能保持几何图形不变从而不能保持几何图形不变.,2122yx也就是变成了也就是变成了xy平面上一个半径为平面上一个半径为.22的的圆圆比如比如,xy 面上圆周面上圆周 x2+y2=1,在变换在变换 x=x+y,y=x y 下下,变成变成(x+y)2+(x y)2=1.即即上一页比如比如,第二节例题第二节例题2中所给的二次型中所给的二次型32312123222184444xxxxxxxxxf在正交变换下的标准形为在正交变换下的标准形为 而用配方法得到而用配方
41、法得到.921yf,)22(2321xxxf故经过满秩线性变换故经过满秩线性变换,2233223211xyxyxxxy可将二次型化为标准形可将二次型化为标准形.21yf 注：注：同一个二次型有不同形式的标准形，但标准形的秩相同，即平方项的个同一个二次型有不同形式的标准形，但标准形的秩相同，即平方项的个数相同，并且正系数的平方项个数也相同！数相同，并且正系数的平方项个数也相同！这就是所谓的惯性定理这就是所谓的惯性定理.定义定义1 1第七章 二次型与二次曲面定理定理1 1一个一个 n 元元二次型二次型 f=XTAX 经过不同的满秩线性变换化为标准形经过不同的满秩线性变换化为标准形后，标准形中正平方
42、项的项数后，标准形中正平方项的项数 p 和负平方项的项数和负平方项的项数 q 都是由原二次型都是由原二次型唯一确定的，且唯一确定的，且),(Arqp其中其中 r(A)为矩阵为矩阵 A 的秩的秩.称二次型称二次型 f 的标准形中正平方项的项数的标准形中正平方项的项数 p 为二次型为二次型 f 的正惯性的正惯性指数，负平方项的项数指数，负平方项的项数 q 为负惯性指数为负惯性指数.若二次型若二次型 f 的标准形为如的标准形为如下形式下形式22122221rppzzzzzf则称为则称为，简称，简称.其中其中 r 为二次型的秩为二次型的秩.（规范形规范形是唯一的是唯一的）定义定义2 2第七章 二次型与
43、二次曲面对于两个对于两个 n 元二次型元二次型若它们的秩若它们的秩 r 相同，且正惯性指数相同，且正惯性指数 p 相同（从而负惯性指数也相同），相同（从而负惯性指数也相同），则这两个二次型可以通过满秩线性变换相互转化则这两个二次型可以通过满秩线性变换相互转化.也就可以归为一类也就可以归为一类.参数参数 r 和和 p 提供的分类的一个标准提供的分类的一个标准.设秩为设秩为 r 的的 n 元二次型元二次型 f =X TAX 经满秩线性变换化为规范经满秩线性变换化为规范形形22122221rppzzzzzf则则(2)若若 p=r 0;因因 A 是正定阵是正定阵,存在可逆阵存在可逆阵 P,使使PTAP
44、=E X Rn,X 0,而而 P 可逆，可逆，即即 A=(PT)1P 1,故故 X TAX=X T(P T)-1 P 1 X=X T(P 1)T P 1 X=(P 1 X)T(P 1 X)0.故故 PX 0,同理同理 P 1X 0,(1)A 是正定矩阵是正定矩阵;(2)对任意的非零向量对任意的非零向量 X,有有 X TAX 0.(3)A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.正定二次型的规范形的矩阵显然是正定二次型的规范形的矩阵显然是个单位矩阵个单位矩阵.即单位矩阵是正定矩阵即单位矩阵是正定矩阵.那么，那么，第七章 二次型与二次曲面 若若A有一个非正的特征值，不妨设有一个非正的特征值，不妨
45、设 i 0,存在正交阵存在正交阵P,使得使得.21nTAPP (2)对任意的非零向量对任意的非零向量 X,有有 X TAX 0;(3)A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.令令 X=P 1 ,其中其中 =(0,0,0,1,0,0),X TAX =(P 1 )T A P 1 则则 的第的第 i 个分量是个分量是 1，其余分量全为，其余分量全为 0.=i 0.=T(P 1)T AP 1 =T 矛盾矛盾!=T P AP T 上一页第七章 二次型与二次曲面因为因为 A 的全部特征值都大于的全部特征值都大于 0，则则 A 所对应的二次型的规范形所对应的二次型的规范形的正惯性指数就是的正惯性指数就
46、是 n,故故 A 是正定矩阵是正定矩阵.(1)A 是正定矩阵是正定矩阵(3)A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.上一页例 1.48455323121232221的的正正定定性性判判断断二二次次型型xxxxxxxxxff 的矩阵为的矩阵为524212425A,625,625,1321 可可算算出出其其特特征征值值为为所以所以 f 是正定二次型是正定二次型.第七章 二次型与二次曲面(1)设设定理定理 3 3 若二次型若二次型 XTAX 正定，则正定，则);,2,1(0)1(niaAii的的主主对对角角元元.0|)2(AA 的的行行列列式式上一页.1,njijiijTxxaAXX由由二二次
47、次型型的的正正定定性性有有的的向向量量，即即，其其余余分分量量全全为为个个分分量量为为取取第第.0)0,0,1,0,0(01ii).,2,1(0niaAiiiTi (2)又因为又因为A正定，故存在可逆矩阵正定，故存在可逆矩阵C,使使 CTAC=E,即即.)()(1111CCCCATT.0|)(|2111CCCAT从从而而，第七章 二次型与二次曲面例 2.判判断断下下列列矩矩阵阵的的正正定定性性,03|,01|,0|DBA故故 A,B,C,D 不是不是 正定矩阵正定矩阵.上一页.100012021,113142321,1221,8442DCBA另外，另外，C 的对角元的对角元,0422a第七章
48、二次型与二次曲面定理定理 4 4 n 元二次型元二次型 f=XTAX 正定的充要条件是正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式|A k|0,k=1,2,n.其中其中kkkkkkkaaaaaaaaaA212222111211)det(,|11111aaA,|222112112aaaaA.|AAn,上一页例 2.445433221232221是是否否正正定定判判断断二二次次型型xxxxxxxf520242023Af 的矩阵为的矩阵为因为因为 A 的顺序主子式为的顺序主子式为,03|1A,084223|2A,028|A所以，二次型所以，二次型 f 是正定的是正定的.第七章 二次型与二次
49、曲面练习f 的矩阵的矩阵.232 222的的正正定定性性判判断断设设fxyzyxf,300021011A由于由于 A1=1 0,0112 2111 2A|A3|=|A|=3A2 =3 0.故故 f 正定正定.上一页定义定义3 3第七章 二次型与二次曲面22122221rppzzzzzf(1)若若 p=0,r n 时时,则称则称 f 为为，A 为为(2)若若 p=0,r =n 时时,则称则称 f 为为A 为为(3)若若 0 p r n 时时,则称则称 f 为为，A 为为设秩为设秩为 r 的的 n 元二次型元二次型 f =X TAX 经满秩线性变换化为规范经满秩线性变换化为规范形形定理定理 5 5
50、设设A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,则下列命题等价则下列命题等价:(i)XTAX是负定二次型是负定二次型(或或A是负定矩阵是负定矩阵);(ii)对任意的非零向量对任意的非零向量 X，XTAX 0,故取故取 a=2.这时，这时，.320230002A 1=1 时时,由由(I A)X=0,即即,0220220001321xxx解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 1=(0,1,1)T；第七章 二次型与二次曲面 2=2 时时,由由(2I A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 2=(1,0,0)T,3=5时时,由由(5I A)X=0,解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为 3=
